(新教材)数学必修二课件：4.3指数函数与对数函数的关系

1、4. 3指数函数与对数函数的关系,ii.新版课程标准知道对数函数y = logn-与指数函数$二 “互为反函数（d0且详1）汉互提示如果您在现石木年件叫it芳中出”字他泉折吴同井宥幻灯片可正名恋i学业水平要求ii:水平一ii 借助教材实例归纳卅反函数的概念（数学抽象）2 -借助教材实例归纳出反函数的性质.（数学抽象）3 借助教材实例会求简单的函数的反函数.（数学运算）i 水平二唯利川反函数与原函数图像冲调性等性质的关系解决相关的问题.;（逻辑推理）必备知识素养奠基二1 .反函数的定义定义:如果在函数y=f (x)中,给定值域中任意一个y的值， 只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函 数

2、称为 y=f(x)的反函数.记法:y=ft(x) 【思考】函数f(x)=x2有反函数吗?为什么？提示:没有.若令y=f (x) =1,则x= 1,即x值不唯不符 合反函 数的福义.2 .反函数的求法对调尸f (x)中的x与y,然后从x二f(y)中求出y得至j.【思考】什么样的函数一定有反函数?提示:单调函数.3 .函数与其反函数的性质的关系(1)图像:关于直线y=x对称；(2)定义域、值域:原函数的定义域与其反函数的值域中 函数的值域与其反函数的定义域相同.(3)单调性:原函数与其反函数的单调性相同.【思考】在茉求反函数解析式的情况.下，怎样求反函数的定义域、值域？h提示:分别求原函数的值域.

3、定义域.【素养小测】1 思维辨析(对的打“二，错的打“ x”)一次函数y=kx+b(kho)一定有反函数()反比例函数y二(xho)一定肴反函数.()点(1, 0) 一定在指数函数尸护反函数的图像上提示：civ 次函数y二kx+b(kho)定是单调函数， 因11匕一定肴反函薮.(2)v 对应值域中的任意一个yx二是唯一的符合反函数 的定义.定过点clo).2 函数 y=log3a. y=tog?xc. y=3x的反函数是（）b. y=3*d. y=-3x【解析】选c,因为函ay=log3xfxof所以*=3*交换x.y的位置，得y二3崩以富数y二log3x的反函数是y=3若函数f (x) =2

4、 口的反函数为f1 (x)jfj l(l)【解析】令25则x=0.所以f i(l)=o.答案：0八三关键能力素养形成八三类型一判断函数是含有反函数【典例】1 下列函数中，存在反函数的是（xx0t=0rr()10-1/是有理数2是无理数g&)10x12345h (x)-12042d.x12345kx)-2-10342.判断下列函数是否有反函数(1)f(x)= ; (2) g (x) =x2-2x.【思维弓!】很据反函数的定义判断x + 1 x-1【解析】1 选d因为偷)=1时以为任意的正实数，即对 应的x不唯一，因此f(x)的反函数不存在；因为g(x)二1 时.x为任意的有理数即对应的x不唯一.

5、因此g ix)的反 囱数不存在；因为h(x)=2时,x=2或x=5,即对应的x不唯一，因此h (x)的反富数不存在；因为心)的值域2, t, 0, 3, 4中任意一个值，都只有唯 一的x与之对应，因此心)的反函数存在2xi)ay=f(x)fajy= 1 是田反比例函数丫二向右平移一个单位屈胡八个单位得到，在(8 : l) (:u+8)上都是减函数.因nr枉意给定值域中的台值， 只有唯一的x与之对应，所以f(x)存在反函数.(2)令 g(x) = 3即 x? 2x 3=0,解得乂=或乂 二 3, 即对应的x不唯一 因此g(x)的反函数不存在.【内化悟】怎样说明函数的反函数不存在？提示:选取值域中

6、的一个值y,求出对应的自变量的值x,当自 变量的值不唯一时，函数的反函数不存在.【类题通】判定函数存在反函数的方法(1)逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，如果 都是唯一的，则函数的反函数存在.确定函数在定义域上的单调性，如果函数是单调函 数， 则函数的反函数存在. 利用原函数的解析式，解出自变量x,如果x是唯一的，则 函数的反函数存在.【习练破】判断下列函数是否存在反函数.(l)y=-2- (2)y=2x2+4x, xe (1, +8).【解析】（1）尸1-2是由函数y二j向左平移1个单位，向下 平移2个单幽到，在（-8,_1）,（-1,+8）上是减函 数，因此任意给 甜域中的一个值，冥

7、有唯一的x值与之 对应，所以函数存在反 函数.(2)y=-2x2+4x=-2(x-l)2+2fxaki 轴为 x=lfs (lf+co)上是减函数因此任意给定值域中的一个值只有唯一的x值与之对应所以函数存在反函数.【加练固】判断函数丫二i xi的反函数是否存在.【解析】y=l,即冈=1,解得x二1,即对应的x不唯一，因此f(x)的反函数不肯在.类型二求函数的反函数【典例】1 -函数尸a. y=x2-2x+2 (xl)c. y=x2-2x(xl) tx-1 d-+1(x$ 1)的反函数是()b. y=x2-2x+2 (xml) y=x2-2x(x$ 1)2 .函数f（x）二的反函数是（）-x2,

8、x07ax,x0b.（x）二 2x 0c(x)二f2x,x0 d.f*(x)=【思维弓口按照求反函数的步骤求反函数.【解析】1 选b因为y 对其中的x和y得x i?lay=x2-2x+2(xl)+l(xl)fpjfwyi52 选 b 令 y 二 f(x)=(2x5x 辿当 x 0b55y=2x q对调真中的x和得 x=2y 揭得 y x5wu(fax)= 5x0;旨 x v obiy=-x2 0,一 x ,xvo-【内化悟】对调x, y后，求x时应注意什么?提示:要注意x的范围.【类题通】反函数的求法(1)先确定原函数的值域，即反函数的定义域. 对调原函数解析式中的x和y,解出y写出反函数.【

9、习练破】函数f（x）=的反函数fr（x）a/x-l【解析】令y二 得x二 得疾 卤数f(x)药皮卤，对调其中的乂和%0+4x(x)=x3+l【加练固】函数f（x）=x2（xw-l）的反函 数是fr（x）二【解析】令f(x)=y=x2(xvl),j!|x=v1勰嚅函如 帕卓/-类型三原函数与其反函数性质的应用角度1求值【典例】若函数f(x)=，则fr的值为()a. 5b.-5c.d. 4【思维弓i反函数的自变量值即原函数的函数值-【解析】选b 令=2所以所以fj(2) = 5-x-1【素养探】在利用反函数求值的过程中，常常用到核心 素养中的逻 辑推理，需要根据原函数与反函数定义域、值域 之间的

10、关系灵活求值，不用求出反函数.本例的条件不变，试求f （尸（2）,你能得出一个一般的结论吗? 类比过程,你能直接求出fr（f（2）吗？【解析】ff (2)=f(5)=因为 f(x)=l-八1,可以得出 f(fi()二 x.xh : l类比过程干u(响二2 x + 2一5辛-5 + 2角度2求点【典例】函数f(x)=loga(x-l)(a0, a,hl)的反函数的图像 过定点世纪金榜导学号()a. (0, 2)b. (2, 0)c. (0, 3)d. (3, 0)【思维弓!】利用原函数与反函数的图像关于y=x对称求占八、gg恒过函数和它那么（乙0）关于y二x的对称点是（0.2）,即2）为反函数图

11、像上的定占八、【类题通】1定义域、值域关系的应用原函数的定义域是反函数的值域,值域是反函数的定义 域，在 求值的过程中，可以利用这一关系，转化已知函数 的求值， 不必求出反函数或原函数.2.图像的应用原函数的图像与反函数的图像关于直线y=x对称，点p (x, y)关于y=x的对称点是p (y, x),利用这一关系可以 将已知 一条曲线上的点转化到另一条曲线上，直接求点 或求值.【习练破】1 设函数 f(x)-21g (2x-l),贝！ jft (0)的值为()a.ob. 1c. 10d.不存在【解析】选b.令f(x)二。得:2lg(2x-1)=0=xx 1所以和(0)=1.2.设函数 f (x) =loga (x+b) (a0, ah 数的图像过点(2, 8),贝！ la+b等于a. 6b.5c.41）的图像过点1）、其反函0d. 3【解析】选c-a m(x)=loga(x+b)(a05aal)k)图像过 点(2j)其反函数的图像过点(28).则所叫i (2+