模糊数学教案01

1、理学院数学系 2-231室 张昆 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方 法法. . 众所周知，经典数学是以精确性为特征的众所周知，经典数学是以精确性为特征的. . 然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、 没有价值的没有价值的. . 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还 要好要好. . 例如例如, ,要你某时到某地去迎接一个要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子大胡子高个子 长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. . 尽管这里只提供了一个精确信息

2、尽管这里只提供了一个精确信息男人，而其他男人，而其他 信息信息大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中 年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头 脑的综合分析判断，就可以接到这个人脑的综合分析判断，就可以接到这个人. . 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各 个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、 医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功

3、的 应用应用. . 一一 经典集合经典集合 1. 1.经典集合具有两条基本属性：经典集合具有两条基本属性：元素彼此相元素彼此相 异，即无重复性；范围边界分明异，即无重复性；范围边界分明, ,即一个元素即一个元素x要要 么属于集合么属于集合A( (记作记作x A),),要么不属于集合要么不属于集合( (记作记作 x A) )，二者必居其一，二者必居其一. . 2. 2.集合的表示法集合的表示法 (1)(1)枚举法，枚举法，A= x1 , x2 , xn ； (2)(2)描述法，描述法，A= x | P(x). 3.3.集合的包含集合的包含 定义定义1 1 A包含于包含于B：A B 若若x A，则

4、则x B； A包含包含B：A B 若若x B，则则x A； A等于等于B：A=B A B且且 A B. . 定义定义2 2 若若A包含于包含于B，称，称A是是B的的子集子集；不含有任何；不含有任何 元素的集合称为元素的集合称为空集空集，用，用 表示；设有集合表示；设有集合U， 对于任意集合对于任意集合A，总有，总有A U，则称，则称U为为全集全集. 显然，任何非空集合显然，任何非空集合A，都有两个子集：，都有两个子集：A 及及 . 全集是个具有相对性的概念全集是个具有相对性的概念. 4.4.集合的幂集集合的幂集 定义定义3 3 集合集合A的所有子集所组成的集合称为的所有子集所组成的集合称为A的

5、的幂幂 集集，记为，记为 (A)，即，即 (A)=B|B A . 对于有限集合来说，对于有限集合来说，| (A)|=2|A|. . 5. 5.集合的运算集合的运算 定义定义4 4 并集并集：AB = x | x A或或x B ； 交集交集：AB = x | x A且且x B ； 余集余集：Ac = x | x A . 6.6.集合的运算规律集合的运算规律 幂等律：幂等律： AA = A， AA = A； 交换律：交换律： AB = BA， AB = BA； 结合律：结合律：( AB )C = A( BC )， ( AB )C = A( BC )； 吸收律：吸收律： A( AB ) = A，A(

6、 AB ) = A； 分配律：分配律：( AB )C = ( AC )( BC )； ( AB )C = ( AC )( BC )； 0-10-1律：律：AU = U ， AU = A ； A = A ， A = ； 还原律：还原律： (Ac)c = A ； 对偶律：对偶律： (AB)c = AcBc，(AB)c = AcBc； 排中律：排中律： AAc = U， AAc = . 7.7.集合的直积集合的直积 定义定义5 5 X Y = (x , y )| x X , y Y . 例例1 1 设设X = 1, 2 ，Y = a,b,c . 则则 X Y = (1,a), (1,b), (1,c

7、), (2,a), (2,b), (2,c) , Y X = (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2) . 对于有限集合来说，对于有限集合来说，| X Y |= | X | |Y |. 1. 1.映射映射 定义定义6 6 设设X 与与 Y是两个是两个非空集合，如果存在一个对非空集合，如果存在一个对 应规则应规则 f ，使得，使得 x X ，有唯一的元素，有唯一的元素 y Y 与之与之 对应，则称对应，则称 f 是是 X 到到 Y 的的映射映射，记为，记为 f ： X Y 定义域、值域、满映射、一一映射定义域、值域、满映射、一一映射. . 2.2. 集合集

8、合A的特征函数的特征函数 特征函数满足：特征函数满足： ., 0 ;, 1 )( Ax Ax x A ).(1)( );()()( );()()( xx xxx xxx A A BABA BABA c 取大运算取大运算, , 如如23 = 3 取小运算取小运算, , 如如23 = 2 扩张：点集映射扩张：点集映射 集合变换集合变换 3.3. 映射的扩张映射的扩张 定义定义1.2.101.2.10 ( (点集映射点集映射) )设设映射映射 f ：X Y，则称，则称 f ： X (Y) x | f(x) =B (Y) 为为X 到到Y的的点集映射点集映射. 定义定义1.2.111.2.11 ( (集

9、合映射集合映射) )设设映射映射T：X Y，则称，则称 T ： (X) (Y) A| (A) 为为X 到到Y的的集合映射集合映射. 3.3. 映射的扩张映射的扩张 定义定义7 7 ( (扩张原理扩张原理) ) 设设映射映射 f ：X Y，定义，定义 f (A) = y | f (x) = y，x A 例例2 2 设设X = a, b, c ，Y = 1, 2 . f ：X Y 且且f (a) =1，f (b) =2，f (c) =1. 则则 f ： (X) (Y) 且且 f ( ) = ，f ( a ) = 1 ，f ( b ) = 2 ， f ( c ) = 1 ，f ( a, b ) =

10、1, 2 ，f ( a, c ) = 1 ， f ( b, c ) = 1,2 ， f ( a, b, c ) = 1,2 . 1.1.二元关系二元关系 定义定义8 8 X Y 的子集的子集 R 称为从称为从 X 到到 Y 的的二元关系，二元关系， 特别地，当特别地，当 X = Y 时，时，称之为称之为 X 上的上的二元关系二元关系. 二元关系简称为二元关系简称为关系关系. 若若(x , y ) R，则，则称称 x 与与 y 有有关系，记为关系，记为 R (x , y ) = 1； 若若(x , y ) R，则，则称称 x 与与 y 没有没有关系，记为关系，记为 R (x , y ) = 0.

11、 映射映射R : X Y 0,1实际上是实际上是 X Y 的子集的子集 R上的特征函数上的特征函数 A(x,y). 定义定义9 9 设设R为为 X 上的上的关系关系 (1) 自反性自反性：若：若 X 上的任何元素都与自己有上的任何元素都与自己有 关系关系R，即，即R (x , x) =1，则称关系，则称关系 R 具有自反性；具有自反性； (2) 对称性对称性：对于：对于X 上的任意两个元素上的任意两个元素 x , y， 若若 x 与与y 有关系有关系R 时，则时，则 y 与与 x 也有关系也有关系R，即，即 若若R (x , y ) =1，则，则R ( y , x ) = 1，那么称关系那么称

12、关系R具具 有对称性有对称性； (3) 传递性传递性：对于：对于X上的任意三个元素上的任意三个元素x, y, z， 若若x 与与y 有关系有关系R，y 与与z 也有关系也有关系R 时，则时，则x与与z 也有关系也有关系R，即若，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则则 R ( x , z ) = 1，那么称关系那么称关系R具有传递性具有传递性. . 定义定义1010 设设X = x1, x2, , xm, ,Y= y1, y2, , yn，R 为从为从 X 到到 Y 的的二元关系，记二元关系，记 rij = =R(xi , yj )，R = (rij)m n， ，

13、则则R为布为布尔矩阵尔矩阵( (Boole) )，称为称为R的关系矩阵的关系矩阵. 布布尔矩阵尔矩阵( (Boole) )是元素只取是元素只取0或或1的矩阵的矩阵. . 关系的合成关系的合成 定义定义1111 设设R1 是是 X 到到 Y 的关系的关系, R2 是是 Y 到到 Z 的关系的关系, 则则R1与与 R2的的合成合成 R1 R2是是 X 到到 Z 上的一个关上的一个关 系系. (R1R2) (x, z) = R1 (x, y)R2 (y, z)| yY 例例3 3 设设 X= 1, 2, 3 ,Y= 1, 2, 3, 4 , Z= 1, 2, 3 , R1 = (x, y)| xy

14、是是X到到Y的关系的关系, R2 = (y, z)| y = z 是是Y 到到 Z 的关系的关系, 则则 R1= (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4) , R2 = (1,1), (2,2), (3,3) , R1与与 R2的合成的合成 R1 R2= (x, z) | xz = (1,2), (1,3), (2,3) . 设设 X = x1, x2, , xm, Y = y1 , y2 , , ys, Z = z1, z2, , zn，且，且X 到到Y 的关系的关系 R1 = (aik)m s， ， Y 到到 Z 的关系的关系 R2 = (bkj)s

15、 n， ， 则则X 到到Z 的关系可表示为矩阵的合成：的关系可表示为矩阵的合成： R1 R2 = (cij)m n， ， 其中其中cij = (aikbkj) | 1ks. 定义定义12 12 若若R为为 n 阶方阵，定义阶方阵，定义 R 2 = R R，R 3 = R 2 R 例例3 3 设设 X= 1, 2, 3 ,Y= 1, 2, 3, 4 , Z= 1, 2, 3 , R1 = (x, y)| xy 是是X到到Y的关系的关系, R2 = (y, z)| y = z 是是Y 到到 Z 的关系的关系, 则则R1 R2= (x, z) | xz. 1000 1100 1110 1 R 000

16、 100 010 001 2 R R1 R2 000 100 110 性质性质1：(A B) C = A (B C)； 性质性质2：Ak Al = Ak + l，(Am)n = Amn； 性质性质3： A ( BC ) = ( A B )( A C ) ； ( BC ) A = ( B A )( C A ) ； 性质性质4：O A = A O = O，I A=A I =A； 性质性质5：AB，CD A C B D. O为零矩阵为零矩阵，I 为为 n 阶单位方阵阶单位方阵. AB aijbij . 设设R为为 X = x1, x2, , xn 上的上的关系，则其关关系，则其关 系系矩阵矩阵R =

17、 (rij)n n 为 为 n 阶方阵阶方阵. (1) R具有具有自反性自反性 I R； (2) R具有具有对称性对称性 RT = R ； (3) R具有具有传递性传递性 R2R . . 性质性质: 若若R具有具有自反性，则自反性，则 I R R2 R3 下面证明：下面证明： R具有具有传递性传递性 R2R. . 记记R=(rij)n n, R2 =(rij(2)nn. 先先设设R具有具有传递性传递性. 若若rij(2) =0，则有，则有rij(2) rij . 若若rij(2) =1，则由于，则由于 rij(2) = (rikrkj) | 1kn = 1， 故存在故存在1sn，使得，使得 (

18、risrsj) = 1， 即即ris= 1, rsj= 1. 由于由于R具有具有传递性，传递性，ris= 1, rsj= 1， 则则rij =1. 综上所述综上所述 R2R. . 再再设设R2R，则对任意的，则对任意的 i , j , k，若有，若有 rij =1， rjk = 1， 即即(rijrjk) = 1，因此，因此 (risrsk) | 1sn=1， 即即rik(2) =1. 由由R2R，得得rik=1，所以，所以R具有具有传递性传递性. , , , , ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ), ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( ,

19、), ( , ),( , ) Xa b c d eX Ra ab bc cd de e a ba cb ab cc ac b d ee d 例设：则 上的关系 是一个等价关系。 满足：(1) I R；(2) RT = R ； (3) R2 =R R. 111 111 111 11 11 RR 由关系 的矩阵： 定义定义1313 设设 X 上的上的关系关系R具有具有自反性、对称性、传递自反性、对称性、传递 性，则称性，则称R为为 X 上的上的等价等价关系关系. 若若x与与y 有等价关系有等价关系R，则记为，则记为 x y. 设设 R是是X 上的等价上的等价关系，关系，x X. 定义定义x的等价的

20、等价 类：类： xR = y | y X ， y x . xR为集合为集合X上的一个等价类上的一个等价类. 定义定义14 14 设设 X 是非空集，是非空集，Xi 是是 X 的非空子集，若的非空子集，若 Xi = X，且，且XiXj = (i j )， 则称集合族则称集合族 Xi 是集合是集合 X 的一个分类的一个分类. 定理定理 集合集合X 上的任一个等价上的任一个等价关系关系R可以确定可以确定X 的的 一个分类一个分类. 即即 (1) 任意任意 x X，xR非空；非空； (2) 任意任意 x , y X，若，若x与与y 没有关系没有关系R，则，则 xRyR = ； (3) X = xR .

21、 9.9.集合的分类集合的分类 下面给出上述定理的证明下面给出上述定理的证明 (1) 由于由于R具有自反性，所以具有自反性，所以xxR，即，即xR 非空非空. (2) 假设假设 xRyR , 取取zxRyR，则，则z 与与x有关系有关系R，与，与y也有关系也有关系R. 由于由于R具有对称性，具有对称性， 所以所以x与与z有关系有关系R，z与与y也有关系也有关系R. 又由于又由于R具具 有传递性，有传递性，x与与y也有关系也有关系R. 这与题设矛盾这与题设矛盾. (3) 略略. 例例4 4 设设X = 1, 2, 3, 4, 定义关系定义关系 R 1 ：xixj； R 2 ：xi + xj为偶数

22、；为偶数； R 3 ：xi + xj = 5. 则关系则关系R1是传递的，但不是自反的，也不是是传递的，但不是自反的，也不是 对称的；容易验证关系对称的；容易验证关系R2 是是X上的等价关系；关上的等价关系；关 系系R3是对称，但不是自反的和传递的是对称，但不是自反的和传递的. 按关系按关系R2可将可将X分为奇数和偶数两类，即分为奇数和偶数两类，即 X = 1, 32, 4. 按关系按关系R3可将可将X分为两类，即分为两类，即 X = 1, 42, 3. 定义定义1515 设在集合设在集合L中规定了两种运算中规定了两种运算与与,并满并满 足下列运算性质：足下列运算性质： 幂等律：幂等律： aa

23、 = a ， aa = a ； 交换律：交换律： ab = ba ， ab = ba ； 结合律：结合律：( ab )c = a( bc )， ( ab )c = a( bc ) ； 吸收律：吸收律：a( ab ) = a， a( ab ) = a. 则称则称L是一个格，记为是一个格，记为(L ,). 例如例如(R,)是一个格是一个格. 定义定义1616 设设(L,)是一个格，如果它还满足下列运是一个格，如果它还满足下列运 算性质：算性质： 分配律：分配律：( ab )c = ( ac )( bc ) , ( ab )c = ( ac )( bc ) . 则称则称 (L ,)为分配格为分配格.

24、 若格若格 (L,)满足：满足： 0- -1律：在律：在L中存在两个元素中存在两个元素0与与1，且，且 a0=a，a0=0， a1=1，a1=a， 则称则称 (L,)有最小元有最小元 0 与最大元与最大元 1，此时又称，此时又称 (L,)为完全格为完全格. 例如例如( (R+,-+,-,),)是一个完全格是一个完全格. . x,y N+，x | y当且仅当当且仅当x整除整除y， 令令xy为为两个元素的最小公倍数，两个元素的最小公倍数， x y 为为两个元素的最大公约数，两个元素的最大公约数， 分别是这两个元素的最小上界和最大下界，分别是这两个元素的最小上界和最大下界， 因此，因此， 是格。是格

25、。 例例5：N+是所有正整数集合，在是所有正整数集合，在N+ 上定义上定义 一个二元关系一个二元关系 ： 定义定义1717 若在具有最小元若在具有最小元0与最大元与最大元1的分配格的分配格 (L,)中规定一种余运算中规定一种余运算c，满足：，满足： 还原律：还原律：(ac)c=a； 互余律：互余律：aac=1， aac=0， 则称则称(L,c )为一个为一个Boole代数代数. 若在具有最小元若在具有最小元0与最大元与最大元1的分配格的分配格 (L,)中规定一种余运算中规定一种余运算c，满足：，满足： 还原律：还原律：(ac)c = a ； 对偶律：对偶律：(ab)c = acbc，(ab)c

26、 = acbc， 则称则称(L,c ) 为一个软代数为一个软代数. 例例6 任一个集合任一个集合A的幂集的幂集 (A)是一个完全格是一个完全格. 格中的最大元为格中的最大元为A(全集全集)，最小元为，最小元为 (空集空集)， 并且并且( (A) , c ) 既是一个既是一个Boole代数，也是一代数，也是一 个软代数个软代数. 例例7 记记0,1上的全体有理数集为上的全体有理数集为Q，则，则 (Q ,)是一个完全格是一个完全格. 格中的最大元为格中的最大元为1，最小元为，最小元为0. 若在若在Q中定义余运算中定义余运算c为为ac =1- - a，则，则 (Q,c )不是一个不是一个Boole代

27、数代数, 但是一个软代数但是一个软代数. 一一 模糊子集与隶属函数模糊子集与隶属函数 定义定义1 1 设设U是论域，称映射是论域，称映射 A(x)：U0,1 确定了一个确定了一个U上的上的模糊子集模糊子集A，映射，映射A(x)称为称为A的的 隶属函数隶属函数，它表示，它表示x对对A的隶属程度的隶属程度. 使使A(x) = 0.5的点的点x称为称为A的过渡点，此点最的过渡点，此点最 具模糊性具模糊性. 当映射当映射A(x)只取只取0或或1时，模糊子集时，模糊子集A就是经就是经 典子集，而典子集，而A(x)就是它的特征函数就是它的特征函数. 可见经典子可见经典子 集就是模糊子集的特殊情形集就是模糊

28、子集的特殊情形. 例例1 设论域设论域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(单位：单位：cm)表示人的身表示人的身 高，那么高，那么U上的一个模糊集上的一个模糊集“高个子高个子”(A)的隶属的隶属 函数函数A(x)可定义为可定义为 140190 140 )( x xA 100200 100 )( x xA 也可用也可用Zadeh表示法：表示法： 654321 18 . 06 . 04 . 02 . 00 xxxxxx A 654321 9 . 08 . 06 . 042. 02 . 015. 0 xxxxx

29、x A 相等相等：A = B A(x) = B(x)； 包含包含：A B A(x)B(x)； 并并：AB的隶属函数为的隶属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)； 交交：AB的隶属函数为的隶属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)； 余余：Ac的隶属函数为的隶属函数为 Ac (x) = 1- - A(x). 例例2 设论域设论域U = x1, x2, x3, x4, x5(商品集商品集)， 在在U上定义两个模糊集：上定义两个模糊集： A =“商品质量好商品质量好”， B =“商品质量坏商品质量坏”，并设，并设 A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1). B = (0.1, 0.

30、21, 0.86, 0.6, 0). 则则Ac=“商品质量不好商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏商品质量不坏”. Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0). Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1). 可见可见Ac B, Bc A. 又又 AAc = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, AAc = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) . 幂等律：幂等律：AA = A， AA = A； 交换律：交换律：AB = BA，AB = BA； 结合律：结合律：(AB)C = A(BC)， (AB)C = A(BC) ； 吸收律：吸收律：A(AB

31、) = A，A( AB)= A； 分配律：分配律：(AB)C = (AC)(BC)； (AB)C = (AC)(BC)； 0-10-1律：律： AU = U，AU = A； A = A，A = ； 还原律：还原律： (Ac)c = A； 对偶律：对偶律：(AB)c = AcBc，(AB)c = AcBc； 对偶律的证明：对于任意的对偶律的证明：对于任意的 x U (论域论域)， (AB)c(x) = 1 - - (AB)(x) = 1 - - (A(x)B(x) = (1 - - A(x)(1 - - B(x) = Ac(x)Bc(x) = AcBc (x) 模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，模糊集的运算性质基本上与经典集合一致， 除了排中律以外，即除了排中