人教A版高中数学必修第二册第3课时余弦定理、正弦定理应用举例导学案(2)

1、余弦定理、正弦定理（大教A版）第3课时余弦定理、正弦定理应用举例学习目标、知识目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相 关术语；2、激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应 用转化思想解决数学问题的能力.2、核心素养L数学抽象：方位角、方向角等概念：2 .逻辑推理：分清已知条件与所求，逐步求解问题的答案；3 .数学运算：解三角形；4.数学建模：数形结合，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量, 从而得到实际问题的解.重点难点重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角

2、形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解: 难点：根据题意建立数学模型，画出示意图.学习过程一、预习导入阅读课本48-51页，填写。1、实际测量中的有关名称、术语名称定义图示基线在测量中，根据测量需要适当确定的线段叫做基线仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平而内，视线在水平线下方时与水平线的夹角翠角水平线 线视线方 向 角从指定方向线到的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或止西，方向角小于90。）北西南偏西60（指以正南方 向为始边，转 向目标方向线 形成的角）方位角从正北的方向线按时针到目标方向线所转过的水平角北0)120。小试牛刀1 .判断下列命题是否正

3、确.（正确的打7”,错误的打“X）（D已知三角形的三个角，能够求其三条边（）（2）两个不可到达的点之间的距离无法求得（）（3）方位角和方向角是一样的（）2 .若尸在。的北偏东44。50,方向上，则。在尸的 （）A.东偏北45。10,方向上 B.东偏北45。50,方向上C.南偏西44。50,方向上 D.西偏南45。50,方向上3 .从处望B处的仰角为a,从8处望d处的俯角为,则a, 的关系为（）A. aB. a=BC. a+=90 D. a+=180。4.如图，已知,4, B, C三地，其中.4,。两地被一个湖隔开，测得,45=3 km, 8=45。，C=30,贝上4,两地的距离为 kin.自主

4、探究题型一测量高度问题 例1济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征.李明同学想测量泉 标的高度，于是他在广场的,4点测得泉标顶端的仰角为60。，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m,到达3 点，测得泉标顶部仰角为80。.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？（精确到1 m） 跟踪训练一1、乙两楼相距200m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60。，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30。，则甲、乙两楼的 高分别是多少？题型二测量角度问题例2如图所示，.4, 8是海面上位于东西方向相距5（3+4）111皿人的两个观测点.现位于.4点北偏东45。 方向、8点北偏西60。方向的。点有一做轮

5、船发出求救信号，位于3点南偏西60。且与B点相距2073 nimle 的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 nmile.h则该救援船到达。点需要多长时间？跟踪训练二1、在海岸,4处，发现北偏东45。方向，距离H处（小一Dnimle的B处有一艘走私船，在工处北偏西75。的 方向，距离.4 2 nimle的C处的缉私船奉命以1冲 nimle的速度追截走私船.此时，走私船正以lOnmile/li 的速度从8处向北偏东30。方向逃南，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？题型三测量距离问题例3如图所示，要测量一水塘两侧.4, 8两点间的距离，其方法先选定适当的位置C,用经纬仪测出角a， 再分别测

6、出，4C，8C的长6, a则可求出$8两点间的距离.若测得C4=400m, C5=600m, ZACB=60, 试计算.铝的长.例4如图所示，4, B两点在一条河的两岸，测量者在H的同侧，且3点不可到达，要测出5的距离, 其方法在月所在的岸边选定一点C,可以测出击C的距离加，再借助仪器，测出NKC8=a, NC43=,在.15C中，运用正弦定理就可以求出XA若测出dC=60m, NA4c=75。，N3C4=45。，则乂，3两点间的距离为 m._跟踪训练三1.如图，X, B两点在河的同侧,且,4, 8两点均不可到达，测出,4, B的距离,测量者可以在河岸边选定两 点 C, D,测得 CD=a,同

7、时在 C,。两点分别测得/ACD=B，ZCDB=y, /BDA=6.在aADC 和HOC中，由正弦定理分别计算出KC和BC,再在诙中,应用余弦定理计算出,如若测得8邛 km, NJD8=NCD8=30。，ZACD=60 乙4c8=45。，求 4 8 两点间的距离.当堂检测1.已知4 5两地的距离为地km, B, 1两地的距离为地km,现测得NXBC= 120。，则工，1两地的距离为（）A. 10 kinB.小 kinC. 10y/5 km D. 10巾 km2 .某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平线上选工，3两个观测点，在a 处测得该水塔顶端。的仰角为G,在8处测

8、得该水塔顶端。的仰角为,己知,45=弓0/3,，C=200+sin 30。=400,由题意可知NMCQ= ZmC=30, AJ8 为等腰三角形./ 14002由余弦定理得乂。2=4)2+82 ZS CD cos 120, 4002 =.W2 +.W2-5) = 1W2, -1D2=, .ID=蛆里士故甲楼高为2005 m,乙楼高为m.例2【答案】 救援船到达。点需要的时间为lh.【解析】由题意,知45 = 5(3+/)nmile,/DBA = 90-60。=30。，ZDAB = 90-45=45% /. ZADB =180o-(45o+30o)=105.DF)ID在中，由正弦定理得-/nL /

9、g sin Z DAB sin /ADBABsmZD.lB 5(3 + ) sin 45 即 BD = ： / .=二=sin Z. WBsinl05?=5(3+向 sin 45=帖)sin 45 cos 60 + cos 45 sin 60又NDBC= NDBA + /ABC=60, 50=2073 nimle,.在Q3C中，由余弦定理，得CD =yjBDBC2 - IBDBCcos ZDBC=00+1 200 - 2*1即乂2(7=30 n mile, 则救援船到达D点需要的时间为群1 h.跟踪训练二 1、【答案】缉私船沿北偏东60。方向能最快追上走私船.【解析】 设缉私船用rh在。处追上

10、走私船，画出示意图，则有 8=10，BD=W,A在45。中，-.18=V3-h AC=29 NA4C=120。，由余弦定理, 得 5C2=AB2+AC2-2AB AC cosZBAC=(V3-1)2+22-2-(V3- 1)-2-cos 120。=6,AA 万BC=6,且 sinZABC= sinZBAC=-2 = 2 NA8C=45。，8C与正北方向成90。角.AZCBD=9O+3O0=12O0, 在BCD中，由正弦定理，得sinZBCD=BD-sin ZCBDCDIQrsin 120 Jigf 一 N5CD=30。,即缉私船沿北偏东60。方向能最快追上走私船.例3【答案】A, 8两点间的距

11、离为20附m. 【解析】在及。中，由余弦定理得AB2 =AC2+BC2-UC BCcos/ACB, ：.AB2=4002+6002-2x400x600cos 60=280 000.：.AB=2Q0y7 (m).即4 B两点间的距离为20077 m.例4【答案】2Oj6 .【解析】ZABC= 180-75-45=60%J D所以由正弦定理得，毫=靠团AC sin C 60xsin 45 ,一= sin 8 = sin 60。=2 喳(m).即M, 8两点间的距离为20玳m.跟踪训练三1.【答案】4，8两点间的距离为乎km.【解析】V ZADC= ZADB+ ZCDS=60% ZACD=60,.,.ZDAC=60, .AC=QC=乎.在BCD 中，NQBC=45。,也LDC2由正弦定理，得8c=仙、/sinNBDC=/；心sin 30。=乎. Sill Z LzO VSill -fJ*+在ABC中，由余弦定理，得AB1 = AC2+BC22AC- BCcos 450=+12xxx=1.AB=(km). .A, 8两点间的距离为# km.当堂检测1-3.DAB 4. 3