专题24 三角函数与解三角形大题解题模板（理）（解析版）

1、专题24 三角函数与解三角形大题解题模板解三角形的的基本策略1、,主要解决两类问题：(1),；(2)若、成等差数列,则。2、大边对大角,小边对小角,两边之和大于第三边,两边之差大于第三边。3、值一定正,值可正可负但最多一个负,遇切化弦。4、求角或边的比值,一般通过正弦定理把边化成角通过三角函数恒等变换求出。5、求边或三角形面积,一般先通过余弦定理列出关于第三边的一元二次方程,通过解方程求出第三边,然后通过正弦定理求三角形面积。6、求范围：(1)先用正弦定理把边化成角,再用辅助角公式化一角一函数形式,注意角的范围；(2)先用余弦定理把角化成边,再应用基本不等式及其重要变形,注意三角形是否有要求。

2、已知条件应用定理一般方法解的情况一边和两角正弦定理由求第三角,由正弦定理求其它两边一解两边和夹角余弦定理和正弦定理由余弦定理求第三边,由正弦定理求较小边对应的较小角,由求第三角一解三边余弦定理由余弦定理求两角,由求第三角一解两边和其中一边的对角正弦定理或余弦定理由正弦定理求另一边的对角,由求第三角,利用正弦定理求第三边由余弦定理列关于第三边的一元二次方程,根据一元二次方程的解求,然后利用正弦定理或余弦定理求其它元素两解一解或无解模板例1（10分）在中,、分别为内角、的对边,且,(1)求的值；(2)若,且,求的面积。审题路线图：(1)通过正弦定理把边全化为角进行三角函数变换求的值；(2)通过正弦

3、定理形成关于边的方程解出边长应用正弦定理求三角形面积。规范解答：【解析】(1)在中,由正弦定理得, 2分即,又, 4分,； 6分(2)在中,由余弦定理可得,又, 8分有,即,。 10分构建答题模板：第一步：通过正弦定理把边全化为角,注意是否能约分。第二步：进行三角函数变换,求角的正弦或余弦值,注意正负号的选取。第三步：余弦定理列出关于第三边的一元二次方程,通过解方程求出第三边,然后通过正弦定理求三角形面积。第四步：反复回顾,注意正负值、范围选取等关键点及易错点,明确规范书写答题。变式1（10分）中,是上的点,平分,。(1)求；(2)若,求。【解析】(1)由正弦定理得, 2分平分,； 4分(2)

4、, 6分, 8分由(1)知,即。 10分变式2（12分）已知在中,、分别为角、所对的边,且。(1)求角的值；(2)若,则求的取值范围。【解析】(1)在中, 1分利用正弦定理可得, 2分,即,又,； 5分(2)解法一：若,则由正弦定理可得：, 6分, 9分由于, 10分,。 12分解法二：若,则由余弦定理可得：, 7分则, 8分又,则, 9分即, 10分又两边之和大于第三边,则, 11分。 12分课后练习：1（12分）在中,。(1)求证：是直角三角形；(2)若点在边上,且,求。【解析】(1)在中, 2分由余弦定理可知,故, 3分,即,是直角三角形； 5分(2)设,则, 7分在中, 8分, 10分

5、由正弦定理得,。 12分2（12分）已知在中,内角、所对的边分别为、,且满足。(1)求证：；(2)若为锐角三角形,且,求的取值范围。【解析】(1),由正弦定理知, 2分即, 3分又,且, 4分,即； 5分(2)由(1)可知, 6分由为锐角三角形,可知：, 解得, 9分由得,又,。 12分3（12分）在中,、分别为角、所对的边, ,且。(1)求锐角的大小；(2)在(1)的条件下,若,求的面积的最大值。【解析】(1)在中, 2分,即, 4分又为锐角,则； 5分(2)当,由余弦定理得：, 7分又,代入上式得：(当且仅当时等号成立), 9分(当且仅当时等号成立), 11分则的最大值为。 12分4（12

6、分）在中,、分别为角、所对的边,已知(),且。(1)当,时,求、的值；(2)若角为锐角,求的取值范围。【解析】(1)在中,当时,由正弦定理及得：, 1分又,可得, 2分解得、或、； 4分(2)余弦定理得, 6分即,或, 10分又由知,是正数,故即为所求。 12分5（12分）在中、为角、所对的边,。(1)求角的值；(2)若且,求的取值范围。【解析】(1)在中, 3分 则,或； 4分(2),由正弦定理得, 6分故,8分, 10分。 12分6（12分）已知在中,、分别是角、所对的边,且满足、是关于的一元二次方程的两根。(1)求角的大小；(2)设,设,的周长为,求的最大值。【解析】(1)在中,依题意有

7、, 2分又,； 4分(2)由,及正弦定理得, 6分, 8分故, 10分由得,当,即时。 12分7（12分）在斜中,、分别为角、所对的边,若向量,且。(1)求的值；(2)求的最大值。【解析】(1)在斜中,且、, 1分由,得, 3分,； 5分(2),又, 6分则, 9分有最小值,当且仅当时,取得最小值, 10分又,则有最大值,故的最大值为。 12分8（12分）已知向量,函数。(1)求函数的单调递减区间；(2)已知、分别是内角、的对边,为锐角,且恰是在上的最大值,求、和的面积。【解析】(1) , 3分 由(),得(), 4分的单调递减区间为()； 5分(2)由(1)知：,时, 6分由正弦函数图像可知,当时取得最大值,即, 8分由余弦定理得, 10分。 12分9（12分）在中,角、的对边分别为、,若,(1)求证：；(2)求边长的值；(3)若,求的面积。【解析】(1),则,即,由正弦定理得, 2分,； 4分(2),由余弦定理得,即, 6分由(1)得,； 8分(3),即,则, 10分为正三角形。 12分10（12分）已知函数。(1)求函数的最大值,并写出取最大值时的取值集合；(2)已知中,、分别为角、的对边,若,求的取值范围。【解析】