复变函数第二章-2 (1)

1、1 2.3 2.3 初等函数初等函数 2 对于复数对于复数 ，称，称iyxz )sin(cosexpyiyezew xz 为为指数函数指数函数。 n对于任意的实数对于任意的实数 y 有有 , cossin iy eyiy 即，即，欧拉欧拉(Euler)公式公式。 l指数函数指数函数 在全平面上有定义在全平面上有定义。 z ew 定义定义 u等价于：等价于： , 2, 1, 02)Arg(kkye ee z xz l指数函数指数函数 在全平面上解析在全平面上解析，且且 。 l复变量的指数函数复变量的指数函数 是实变量指数函数是实变量指数函数 在复平面上在复平面上 的解析拓广。的解析拓广。当当y=

2、0时，有时，有 。 2.3.1 2.3.1 指数函数指数函数 xz ee z e x e () zz ee z ew 3 指数函数的性质指数函数的性质 u指数函数的指数函数的非零性非零性，即总有，即总有 由于由于 ，所以，总有，所以，总有 。 0 z e u加法定理加法定理： 111, zxiy 222. zxiy 由定义有由定义有 )sin(cos)sin(cos 2211 2121 yiyeyiyeee xxzz )sin()cos( 2121 21 yyiyye xx 21 zz e 即即 1212 zzzz eee 0 z e 0 xz ee 1212 zzzz eee 设设 证证 4

3、 l从欧拉公式可知，对于任意整数从欧拉公式可知，对于任意整数k有有 1)2sin()2cos( 2 kike ik 再由指数运算法则得到再由指数运算法则得到 1 2z zzk iz eeee u复变量指数函数复变量指数函数 当当 趋向趋向 时没有极限。时没有极限。 z e z 因为，当因为，当z沿实轴正向趋向于沿实轴正向趋向于 时时,有有 0 limlim zx zx z x ee 而当而当z沿实轴负向趋向于沿实轴负向趋向于 时，有时，有 u周期性周期性：指数函数是：指数函数是以以2ki为周期为周期的周期函数的周期函数. 因此，因此，z趋向趋向时的极限不存在。时的极限不存在。 证证 0liml

4、im 0 x x z xz z ee 5 【例【例2.15】 计算计算 和和 的值。的值。 解解: 根据指数定义根据指数定义 3 3 4 (cossin) 44 i eei 4/1expi 1 44 exp1/4 i ie 3 4 i e 1 4 cossin 44 ei 3 22 () 22 ei 33 11 22 22 eei 1 4 1 1 2 ei 6 【例【例 2.16】利用复数的指数表示计算】利用复数的指数表示计算 。 3 1 ) 21 2 ( i i 解解 因为因为 1 1 13 (arctan) 2 3 arctan2 25 125 i i ie ie . 2 , 1 , 0k

5、 故所求之值有故所求之值有3个，即个，即 ， 及及 i e 6 i e 6 5 i e 2 3 , 22 i 3 , 22 i i。 , 也就是也就是 1 11 3 (2)(arctanarctan2) 322 iki ee 7 2.3.2 2.3.2 对数函数对数函数 复变量的对数函数也是定义为指数函数的反函数。复变量的对数函数也是定义为指数函数的反函数。 定义定义 满足方程满足方程 的函数的函数 ，称为，称为对数函数对数函数。) 0( zzew)(zfw 记作记作 。 Lnwz 令令 ， ，则，则 i rez ivuw iivu ree 所以所以 u er ，kv20, 1, 2,k （）

6、。 即即 lnur，kv2 0, 1, 2,k （）。 由于由于 ，而，而 zr 是是z的辐角，故恰有的辐角，故恰有Argzv LnlnArgwzziz，. 0z ，故有，故有 8 0, 1, 2,k （） 其中：其中： l 是通常正数是通常正数 的自然对数。的自然对数。 l对数函数对数函数 为为多值函数多值函数。并且。并且每两个值相差每两个值相差 的整数倍的整数倍。 u如果规定如果规定 取主值取主值 ，就得，就得 的一个单值的一个单值 “分支分支”，记作，记作 ，把它称为，把它称为 的的主值主值。 故故 因此，因此， 可表示为可表示为Lnz l对于每一个固定的对于每一个固定的k, 上式为一单

7、值函数上式为一单值函数, 称为称为 的的一个分支一个分支。 Lnz l当当 时时 的主值的主值 ，这就是实变数对数函数。，这就是实变数对数函数。 LnlnArgwzziz，. 0z zln z Lnwz i2 Argz zarg zln Lnz Lnz 0 xzxzlnlnLnz lnlnargzziz ikzz2lnLn 9 【例【例2.17】 求求 , 及它们相对应的主值。及它们相对应的主值。Ln( 1) 解解: 1)因为因为 Ln( 1)ln1(2)(21)ikki 【例【例 2.18】求】求 。Ln(23 ) i 解解: 因为因为 2313i 3 arg(23 )arctan 2 i

8、所以所以 13 Ln(23 )ln13(arctan2) 22 iik 2Ln 主值为：主值为： i ) 1ln( 2) （k=0,1,2, ） ik22ln2Ln 主值为：主值为： 2ln ，故，故11 , arg( 1) (k=0,1,2, ) (k=0,1,2, ) 10 【例【例2.19】计算】计算 及及 ln( 23 ) i 解解 根据定义，根据定义， )32arg(32ln)32(iiiiLn ) 2 3 arctan(13ln 3 1 i ln( 23 ) i lni iiii 2 arg1lnln 11 u遇到的三种对数函数遇到的三种对数函数: 1) 实变量的对数函数实变量的对

9、数函数 。 它对一切正数它对一切正数x有定义，且是单值的；有定义，且是单值的； 2) 复变量的对数函数复变量的对数函数 Lnz 。 它对于一切不为它对于一切不为0的复数的复数z有定义，且每个有定义，且每个z对应无穷多值；对应无穷多值； 3) 复变量对数函数的主值复变量对数函数的主值 。zln 它对于一切不为它对于一切不为0的复数的复数z有定义，且为单值，即取有定义，且为单值，即取Lnz 无穷多值中的一个，其虚部等于无穷多值中的一个，其虚部等于z的主辐角。特别，当的主辐角。特别，当z为正为正 实数时，主值实数时，主值lnz恰与实数的对数相一致。恰与实数的对数相一致。 利用辐角的相应性质，容易验证

10、，对数函数具有下列性质。利用辐角的相应性质，容易验证，对数函数具有下列性质。 ln x 12 u对数函数的性质：对数函数的性质： (1) (1) 运算性质运算性质 1 212 Ln()LnLnz zzz 1 12 2 Ln()LnLn z zz z l注意：注意： LnLn n znz 1 LnLn n zz n 其中其中n为大于为大于1的整数。的整数。 不成立不成立 （） （） 13 【例如【例如】 2222 LnLnln22 2ln220, 1, 2, i zr erik rikk , 2, 1, 042ln2 2ln2Ln2 11 1 kkir kirz 可见，可见， 的值比的值比2Ln

11、z的值多。的值多。 2 Lnz 另外，在实数范围内，另外，在实数范围内， 的自变量的自变量z可取负实数，而可取负实数，而2Lnz 2 Lnz 的自变量的自变量z只能取正实数只能取正实数，所以不正确。所以不正确。 同样有：同样有： zzLn 2 1 Ln ，因为，因为 zzLn2Ln 2 14 (2) (2) 解析性解析性 l主值主值w=lnz，在除去原点及负实轴的复平面上是解析的，在除去原点及负实轴的复平面上是解析的， 且且 1 (ln )z z 因为因为 lnlnarg(arg).wzzizz z dw dedz zd w 11ln 其中，其中， 除原点外在其他点都是连续的，而除原点外在其他

12、点都是连续的，而argz在原在原 点与负实轴上都不连续。点与负实轴上都不连续。 在除去原点和负实轴的复平面内在除去原点和负实轴的复平面内 处处连续。处处连续。 ln z 在区域在区域 内的反函数内的反函数w=lnz是单值是单值 的。由反函数的求导法则可知的。由反函数的求导法则可知 ln z w ez zvarg 因此，因此，lnz在除去原点及负实轴的平面内解析。在除去原点及负实轴的平面内解析。 15 l 又由于又由于 （k为整数），因此为整数），因此: Lnz的的各分支在除去原点及负实轴的平面内也解各分支在除去原点及负实轴的平面内也解 析，并且有相同的导数值。析，并且有相同的导数值。 今后，我

13、们应用对数函数时，都是指它在除去原点今后，我们应用对数函数时，都是指它在除去原点 及负实轴的平面内的某一单值分支。及负实轴的平面内的某一单值分支。 Lnln2zzk i 16 【例【例2.20】 求下列函数在复平面上的可导和解析点集求下列函数在复平面上的可导和解析点集. 解：解： 由对数函数的解析特征可得，除满足以下方程的点集外，由对数函数的解析特征可得，除满足以下方程的点集外， f(z)在复平面上的其它区域解析，在复平面上的其它区域解析， 0)241Re(ziand 0)241Im(zi 即即 021 x and 024y 可得：可得： 2 1 xand 2y 因此，因此，f(z)在复平面上

14、除去在复平面上除去 的其它区域内解析。的其它区域内解析。 2 2 1 y x )241ln()(zizf 17 2.2.3 2.2.3 幂函数幂函数 定义定义 函数函数 规定为规定为 a wz Lnaaz ze （a为复常数，为复常数， ），）， 0z 称为复变量的称为复变量的幂函数幂函数。 还规定还规定：当：当a为正实数且为正实数且z=0时，时， 。0 a z （由于（由于 是多值函数，所以是多值函数，所以 一般也是多值函数。）一般也是多值函数。） Lnz Lnaz e u幂函数的性质幂函数的性质： 1) 幂函数幂函数 是是多值函数多值函数。 a z 18 4) 当当 时，时，0a 00 L

15、n0 1 z zee 3) 当当 （n为正整数）时，为正整数）时， 11 Lnz nn ze 0,1,1kn（） 是一个是一个n值函数值函数； 1 a n arg2 1 zk i n n ze 2) 当当a为正整数为正整数n时时 是是一个单值函数一个单值函数； u幂函数的性质幂函数的性质： zin n kzizn znn ezeezw arg 2argln Ln 19 5) 当当a为有理数为有理数 （ 与与 为互质的整数，为互质的整数， ）时，）时， q p pq0q Lnln2 pppp zzi k qqqq zee ，k为整数。为整数。 由于由于p 与与q互质，当互质，当k取取0，1，q-

16、1时，时， q pki q p ki ee 1 )2(2 是是q个不同的值。但若个不同的值。但若k再取其他整数的值时，将重复出现上再取其他整数的值时，将重复出现上 述述q个值之一，所以个值之一，所以 q p zw 是是q值函数，有值函数，有q个不同的分支个不同的分支。 u幂函数的性质幂函数的性质： 20 6) 当当 为无理数或复数（为无理数或复数（ ）时，）时， 是是无穷多值函数无穷多值函数。 aIm0a 例如：例如： )22(ln22ln22ln22lnkikkik ee 2 2(cosln2sinln2) k ei 0, 1, 2,k （） 由于由于Lnz的各个分支在除去原点和负实轴的复平

17、面内是解的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解 析的，因而不难知道析的，因而不难知道 的相应分支在除去原点和负实轴的相应分支在除去原点和负实轴 的复平面内也是解析的。的复平面内也是解析的。 a zw 7) 解析性解析性： 的的各个分支在除去原点和负实轴的复平各个分支在除去原点和负实轴的复平 a zw 面内是解析的面内是解析的。 a z 1(1)Ln2(1)ln2(arg2 2) 2 iiiik ee u幂函数的性质幂函数的性质： 21 【例【例2.21】 求求1) , 2) 的值的值. 解：根据幂函数定义计算解：根据幂函数定义计算 1) kiiii ee 203ln3Ln 3 3lnsin

18、3lncos 2 ie k (0, 1, 2,)k 2) ln1arg(1) 2 Ln(1) 1 iiiiik ii iee )2lnsin2ln(cos ) 4 2( 2ln)2 4 ( )2 4 (2ln ie e e k ik kii i 3 i i1 22 【例【例2.22】求】求 的模和主辐角。的模和主辐角。 解：解： 1(1) ln1arg(1) 2 (1)Ln(1) 1 iiiiik ii iee )2 4 2(ln)2 4 2(ln )2 4 (2ln)1( kik kii e e (0, 1, 2,)k i ei 2 22 i ii 1 12 23 所以所以 (ln22)(l

19、n22) 1 44 2 (ln22)(ln22) 44 (2)(ln22) 44 (2)(ln22) 44 2 12 2 2 2 2 2 kik i i kik kik kik iiee e e ee (0,1,2,)k 因此因此 ： 的模为：的模为： i ii 1 12 )2 4 ( 22 k e 主辐角为：主辐角为： 4 2ln 24 2.3.4 2.3.4 三角函数三角函数 l欧拉公式将三角函数与指数函数联系起来，即欧拉公式将三角函数与指数函数联系起来，即 yiyeiysincos yiye iy sincos 可得可得 1 cos() 2 iyiy yee，)( 2 1 sin iyi

20、y ee i y l表明：正弦函数和余弦函数可以用指数函数来表示。表明：正弦函数和余弦函数可以用指数函数来表示。 若将这两个等式右端的实数若将这两个等式右端的实数y改为复数改为复数z，它们仍有意义。，它们仍有意义。 因此就可以用它们来作为复变量的正弦和余弦函数的定义。因此就可以用它们来作为复变量的正弦和余弦函数的定义。 25 定义定义 函数函数 与与 分别称为复变量分别称为复变量z的的余弦函数余弦函数 与与正弦函数正弦函数。记作。记作 与与 ，即，即 2 iziz ee cos, 2 iziz ee z zcossin z i ee iziz 2 i ee z iziz 2 sin 26 u

21、性质性质 （1） 及及 均为单值函数；均为单值函数； zcossin z （2） 及及 均为以均为以 为周期的函数；为周期的函数； zcossin z2 （3） 为偶函数，为偶函数， 为奇函数；为奇函数； zcossin z 1 12122 cos()coscossinsinzzzzzz（4） 22121 sincoscossin)sin( 1 zzzzzz 1cossin 22 zz（5） （6） 解析性解析性 在复平面上均为解析函数，且在复平面上均为解析函数，且cos , sinzz (cos )sinzz (sin )coszz 27 注意注意： 域内不再成立。域内不再成立。 例如例如，

22、当，当 时，时， iyz )( 2 1 coscos yy eeiyz 随随 而模而模 也无限增大。也无限增大。yiycos 1) 在实数域内成立的不等式在实数域内成立的不等式 及及 在复数在复数 2) 和和 都是无界的。都是无界的。 1sinx1cosx zsinzcos 3) 及及 不总是非负的，可能取任何复数值。不总是非负的，可能取任何复数值。 z 2 cosz 2 sin 例如例如 22 ( 3 )( 3 )3333 2 2 () sin ( 3 ) 224 iiii eeeeee i ii 就是一个负数。就是一个负数。 还可检验还可检验 是一个虚数。是一个虚数。 )1 (cos2i

23、28 u其他复变函数的三角函数的定义如下：其他复变函数的三角函数的定义如下： sin tan, cos z z z cos cot, sin z z z 1 sec, cos z z 1 csc. sin z z 29 2.3.5 2.3.5 反三角函数反三角函数 反三角函数作为三角函数的反函数定义如下反三角函数作为三角函数的反函数定义如下: 定义定义 如果如果 , 则则 w 叫做复变量叫做复变量 z 的的反余弦函数反余弦函数,zw cos 记为记为 , 即即Arccosz Arccoswz l将将 两端同乘以两端同乘以 , 得得)( 2 1 cos iwiw eewz iw e2 12 2

24、iwiw eze 或或 012)( 2 iwiw zee 于是有于是有 ，再由对数函数的定义即得，再由对数函数的定义即得 1 2 zzeiw 2 Ln(1)iwzz 所以所以 可见，可见，反余弦函数反余弦函数是是多值函数多值函数。 2 ArccosLn(1)zizz 30 用同样方法可定义反正弦函数用同样方法可定义反正弦函数 及反正切函及反正切函 Arcsinz 数数 ，并且它们对应的函数有如下关系：，并且它们对应的函数有如下关系： Arctanz 2 ArcsinLn(1),ziizz ArctanLn. 2 iiz z iz 它们均是多值的。它们均是多值的。 31 2.3.6 2.3.6 双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数 定义定义 sh, 2 zz ee z ch, 2 zz ee z th, zz zz ee z ee cth zz zz ee z ee 分别称作复变量分别称作复变量 z 的的双曲正弦函数双曲正弦函数、双曲余弦函数双曲余弦函数、 双曲正切函数以双曲正切函数以及及双曲余切函数双曲余切函数。 l双曲函数与三角函数之间有如下双曲函数与三角函数之间有如下关系关系： chcosziz， zzisinish zzitanithzzicoticoth 32 u双曲函数的特点：双