有理数混合运算的方法与技巧

1、有理数混合运算的方法技巧江苏省泰州市苏陈中学韩海鸥有理数的混合运算是加、减、乘、除、乘方的综合应用，既复习旧知识，又为 今后的学习打下基础，对这一单元的知识一定要学好，用活，切实掌握运算法则、 运算律、运算顺序。有理数的混合运算的关键是运算的顺序，为此，必须进一步对加，减，乘， 除，乘方运算法则和性质的理解与强化，熟练掌握，始终遵循四个方面：一是运 算法则，二是运算律，二是运算顺序，四是近似计算，为了提咼运算速度，要灵 活运用运算律，还要能创造条件利用运算律，如拆数，移动小数点等，对于复杂 的有理数运算，要善于观察，分析，类比与联想，从中找出规律，再运用运算律 进行计算，至此，便可在有理数的混

2、合运算中稳操胜卷。一、单元学习目标：1 进一步掌握有理数的运算法则和运算律。2. 能够熟练地按有理数运算顺序进行混合运算，并会用运算律简化运算。3. 能用计算器进行较繁杂的有理数混合运算，注意培养自己的运算能力及综 合运用知识解决问题的能力。二、理解运算顺序有理数混合运算的运算顺序：从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键例 1:计算：3+ 50 - 22X （ _1） 15 /（先算乘方）解：原式=3+ 50-4X （ _1） 1（化除为乘）=3 十口 4 . 5=3 -50 4 土=3冷_1 -冷（先定符号，再算绝对值）

3、从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括 号里的.例 2：计算：1 J _O.5 g i：2-J3 2 1 解原式=1_q2-9 = -5-7冷 -771 _162 _9 = -7 6。从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行；例3:计算：也可这样来算：解原式=1_1_1 ”：2_9 = 1池_7 丄 一7 481283解原式=42 21 14 _7 ,8 = 7_724 24 2483 248二、应用四个原则：1、整体性原则：乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正 负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。2、简明性原则：

4、计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来； 运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重 要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。4、分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进 行运算。如何分段呢？主要有：(1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种： 加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第 三级运算。在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再 算出这几个加数的和

5、.把算式进行分段，关键是在计算前要认真审题，妥用整体观察的办法，分 清运算符号，确定整个式子中有几个加号、减号，再以加减号为界进行分段，这 是进行有理数混合运算行之有效的方法.(2) 括号分段法，有括号的应先算括号里面的。在实施时可同时分别对括号 内外的算式进行运算。(3) 绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用， 从运算顺序的角度来说，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算 式分成几段，同时进行计算.(4)分数线分段法，分数线可以把算式分成分子和 分母两部分并同时分别运算。1例 2 计算：-0.25 2- ( 2 ) 4-(-1) 101+ (-2) 2 X

6、 (-3) 21解：原式=16 X 16-(- 1)+4 X9=-1+1+36=36说明：本题以加号、减号为界把整个算式分成三段，这三段分别计算出来的结 果再相加。四、掌握运算技巧(1) 、归类组合：将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合；将同类数 (如正数或负数)归类计算。(2) 、凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数(如互为相反数)相消。(3) 、分解：将一个数分解成几个数和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。(4) 、约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。(5) 、倒序相加：利用运算律，改变运算顺序，简化计算。例 计算2+4+6+2000分析：将整个式子记作S=2+4

7、+1998+2000.将这个式子反序写出.得S=2000+1998+4+2,两式相加，再作分组计算.解：(1)令 S=2 十 4+1998+200Q反序写出，有 S=2000+1998+4+2,两式相加，有 2S=(2+2000)+(4+1998)+ +(1998+4)+(2000+2)=2002+2002+20021000 个 2002=2002X 1000-2002000 S=1001000(6) 、正逆用运算律：正难则反，逆用运算定律以简化计算。乘法分配律a(b+c)=ab+ac在运算中可简化计算.而反过来，ab+ac=a(b+c) 同样成立，有时逆用也可使运算简便.例3计算：162 1

8、2311(1) -3215 宁(-8X 4)+2.5+(2+ 3 -4 12)X 24311313314(2)(-2 ) X (-荷)2X (-帀)+ 2X (厉)1616123分析：-32 25化成假分数较繁，将其写成(-32 25 )的形式.对(-+ g 41112 ) X 24,则以使用乘法分配律更为筒捷，进行有理数混合运算时，要注意灵 活运用运算律，以达到筒化运算的目的.心16112311解：(1)原式=(-32 25 ) X (- 32 )+6.25 +(2 +3 N 12 ) X 24=1 +150 +6.25+12+16-18-22=1.02+6.25-12 = 4.733(2)

9、原式=2113X亦+ 213314X15 2 X15131410X石=1五、理解转化的思想方法有理数运算的实质是确定符号和绝对值的问题。有理数的加减法互为逆运算，有了相反数的概念以后，加法和减法运算都可 以统一为加法运算.其关键是注意两个变：(1)变减号为加号；(2)变减数为其相 反数。另外被减数与减数的位置不变.例如(-12 ) -(+佝+(-20)-(-14).有理数的乘除也互为逆运算，有了倒数的概念后，有理数的除法可以转化为 乘法。转化的法则是：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。乘方运算，根据乘方意义将乘方转化为乘积形式，进而得到乘方的结果(幕)因此在运算时应把握“遇减化加遇除变乘，乘方

10、化乘”，这样可避免因记忆量太大带来的一些混乱，同时也有助于学生抓住数学内在的本质问题。总之，要达到转化这个目的，起决定作用的是符号和绝对值。把我们所学的 有理数运算概括起来。可归纳为三个转化：一个是通过绝对值将加法、乘法在先 确定符号的前提下，转化为小学里学的算术数的加法、乘法；二是通过相反数和倒数分别将减法、除法转化为加法、乘法；三是将乘方运算转化为积的形式若 掌握了有理数的符号法则和转化手段，有理数的运算就能准确、快速地解决了.例计算：(1) (-6)-(+5)+(-9)+(-4)-(-9)1 1(2) (-22 )宁 14 X (-4)2 1 2(3) 2 2+(2-5) X 3 X 1-(-5) 2解：(1)原式=(-6) +(-5)+(-9)+(-4)+(+9)=-6-5-9-4+9=-15八 54(2) 原式=(-) X 5 X (-4)=8 1(3) 原式=4+(-3) X 3 X (-24)=4+24=28六、会用三个概念的性质如果a. b互为相反数，那么a+b=O a= -b ;如果c，d互为倒数，那么cd=l， c=1/d ;如果 |x|=a(a 0)，那么 x=a 或-a.例6 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于 2，试求 x2-(a+b+cd)x+(a+b) 2000+