习题课 振动与波动

1、大学物理习题课大学物理习题课 振动与波动振动与波动 习题课内容习题课内容 振动振动 波动波动 内容总结内容总结 习题解答习题解答 内容总结内容总结 习题解答习题解答 振动内容总结振动内容总结 简谐运动定义与判据简谐运动定义与判据 简谐运动的描述简谐运动的描述 简谐运动的合成简谐运动的合成 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 简谐运动定义与判据简谐运动定义与判据 定义定义：物体运动时，离开平衡位置的位移按：物体运动时，离开平衡位置的位移按 余弦（或正弦）函数的规律随时间变化的运余弦（或正弦）函数的规律随时间变化的运 动。动。 判据判据 动力学判据动力学判据: 受到与对平衡位置的位移成正比受到与对

2、平衡位置的位移成正比 而反向的合外力作用。而反向的合外力作用。 能量判据：动能与势能不断相互转化，总能量能量判据：动能与势能不断相互转化，总能量 不变。不变。 运动学判据：位置随时间变化符合正弦或余弦运动学判据：位置随时间变化符合正弦或余弦 形式。形式。 简谐运动的描述简谐运动的描述 数学形式数学形式 x= A cos ( t+ ) 基本特征量基本特征量 角频率角频率 振幅振幅A 初相初相 能量能量 动力学方程动力学方程 222 2 1 2 1 )( 2 1 kAkx dt dx mEEE pk 0 2 0 2 2 x dt xd k m T m k 2, 0 0 2 2 0 2 0 arct

3、an, x vv xA 简谐运动的合成简谐运动的合成 同方向的两个同频率振动同方向的两个同频率振动 合振动振幅决定于两个振动振幅和相差合振动振幅决定于两个振动振幅和相差 同方向不同频率振动同方向不同频率振动 频率差很小时存在拍现象，拍频为分振动频率差频率差很小时存在拍现象，拍频为分振动频率差 相互垂直的两个同频率振动相互垂直的两个同频率振动 圆、椭圆或线段圆、椭圆或线段 相互垂直的两个不同频率的振动相互垂直的两个不同频率的振动 利萨如图利萨如图 简谐运动的动力学方程简谐运动的动力学方程 0 2 2 2 x dt xd 阻尼运动阻尼运动 受到与运动速度相反的阻力作用，不断克服阻力做受到与运动速度

4、相反的阻力作用，不断克服阻力做 功，运动能量不断被消耗而减少，振幅不断减小。功，运动能量不断被消耗而减少，振幅不断减小。 三种情况三种情况 欠阻尼欠阻尼 过阻尼过阻尼 临界阻尼临界阻尼 02 2 0 2 2 x dt dx dt xd 受迫振动受迫振动 在驱动力作用下的振动。在驱动力作用下的振动。 稳态的振动频率等于驱动力的频率；稳态的振动频率等于驱动力的频率； 驱动力频率等于振动系统固有频率时发生驱动力频率等于振动系统固有频率时发生 共振现象，此时系统可以最大限度地从外共振现象，此时系统可以最大限度地从外 界吸收能量。界吸收能量。 重点内容重点内容 重点概念重点概念相位相位 初相、相差、同相

5、、反相初相、相差、同相、反相 重点公式重点公式x = A cos ( t+ ) 振幅、相位、频率、初相振幅、相位、频率、初相 重点方法重点方法旋转矢量法旋转矢量法 简谐运动与圆周运动的联系简谐运动与圆周运动的联系 波波 动内容总结动内容总结 行波行波 简谐波简谐波 波动的微分方程与波的传播速度波动的微分方程与波的传播速度 波的能量波的能量 惠更斯原理惠更斯原理 波的叠加与驻波波的叠加与驻波 多普勒效应多普勒效应 行波行波 波函数的一般形式：波函数的一般形式： 波形曲线：某一时刻的波形曲线：某一时刻的yx曲线。曲线。 波的传播表现为波形曲线以波速波的传播表现为波形曲线以波速u的平移。的平移。 (

6、) x yf t u x y 简谐波简谐波 波函数形式：波函数形式： 注意简谐波形曲线与简谐振动曲线的区别。注意简谐波形曲线与简谐振动曲线的区别。 coscos2 2 xtx yAtA uT T u T 各量关系： 周期 波速 波动的微分方程与波的传播速度波动的微分方程与波的传播速度 波动方程：波动方程： 22 222 1yy xut 棒中波速：棒中波速： 拉紧绳中波速：拉紧绳中波速： 各向同性介质中横波波速：各向同性介质中横波波速： /Eul lt Fu/ /Gut 液体、气体中纵波波速：液体、气体中纵波波速：/Kul 波的能量波的能量 简谐波在一个周期内的平简谐波在一个周期内的平 均能量密

7、度：均能量密度： 波动在传播振动形式的同时传播能量。波动在传播振动形式的同时传播能量。 22 1 2 wA 平均能流：平均能流： PwuS 平均能流密度（波的强度）：平均能流密度（波的强度）： 22 1 2 IwuA u 在均匀媒质中，平面波的强度不变，球面波强度与在均匀媒质中，平面波的强度不变，球面波强度与 半径的平方成反比。半径的平方成反比。 2222 1122 A rA r 惠更斯原理惠更斯原理 惠更斯原理：介质中任一波阵面上的惠更斯原理：介质中任一波阵面上的各点各点， 都可以看作是都可以看作是发射子波的波源发射子波的波源，其后任一，其后任一 时刻，这些时刻，这些子波的包迹子波的包迹就是

8、就是新新的的波振面波振面。 应用该原理可以解释波的衍射、反射及折应用该原理可以解释波的衍射、反射及折 射现象。射现象。 波的叠加与驻波波的叠加与驻波 波的叠加原理波的叠加原理：几列波可以保持各自特点通过同一介：几列波可以保持各自特点通过同一介 质，在波相遇或叠加的区域内，任一点的位移，为各质，在波相遇或叠加的区域内，任一点的位移，为各 波单独在该点产生位移的合成。波单独在该点产生位移的合成。 波的干涉加强和减弱条件波的干涉加强和减弱条件 两列频率、振动方向和振幅都相同而传播方向相反两列频率、振动方向和振幅都相同而传播方向相反 的简谐波叠加形成驻波。表达式为：的简谐波叠加形成驻波。表达式为： t

9、xAy cos 2 cos2 其实质是稳定的分段振动，有波节和波腹。其实质是稳定的分段振动，有波节和波腹。 注意：波从波疏介质到波密介质的界面反射时存在注意：波从波疏介质到波密介质的界面反射时存在 半波损失，此点只能是波节。半波损失，此点只能是波节。 多普勒效应多普勒效应 接收器接收到的频率依赖于波源或观察者运动的接收器接收到的频率依赖于波源或观察者运动的 现象称为现象称为多普勒效应多普勒效应。 R RS S uv uv S S R R vu vu 相向运动相向运动 相背运动相背运动 机械波机械波 一般情况一般情况 cos cos R RS S u V u V 例例1. 两个谐振子作同频率同振

10、幅的简谐振动。第一个振子的振两个谐振子作同频率同振幅的简谐振动。第一个振子的振 动表达式为动表达式为 x1= Acos( t + )，当第一个振子从振动的正方向回，当第一个振子从振动的正方向回 到平衡位置时，第二个振子恰在正方向位移的端点。到平衡位置时，第二个振子恰在正方向位移的端点。 (1) 求第二个振子的振动表达式和二者的相差；求第二个振子的振动表达式和二者的相差； (2) 若若 t =0 时，时，x1= A/2，并向，并向 x 负方向运动，画出二负方向运动，画出二 者的者的 x-t 曲线及相量图。曲线及相量图。 解：解：(1) 由已知条件画出相量图，可见由已知条件画出相量图，可见 第二个

11、振子比第一个振子相位落后第二个振子比第一个振子相位落后 /2， 故故 = 2 1 = /2， 第二个振子的振动函数为第二个振子的振动函数为 x2= Acos( t + + ) = Acos( t + /2) A1 A2 x O A1 A2 x O 3 2 (2) 由由 t = 0 时，时，x1= A/2 且且 v 0，则，则sin 0 0 0= - /2 故振动表达式为：故振动表达式为：) 2 2cos( tAy 波函数为：波函数为： 2 )(2cos u x tAy 入射波函数为：入射波函数为： 2 )(2cos u x tAy 即即 2 2 2cos x u tAy 入射波到达界面入射波到

12、达界面P点的振动为点的振动为 )2cos( 22 3 2cos 24 32 2cos tA tA u tAyP 由于从波疏到波密介质界面发生半波损失，由于从波疏到波密介质界面发生半波损失，P点反点反 射的振动为射的振动为tAyP2cos 反射波的波函数：反射波的波函数： 3 4 22 252 22 22 x yAt AtxAtx uu cos coscos 反 合成驻波合成驻波: 反入驻 yyy 2 2cos 2 cos2 ) 2 2 2cos() 2 2 2cos( tx u A x u tAx u tA 波节的位置为波节的位置为 4 ) 12( kx 在在OP区间区间 4 x 在在 处为入

13、射波、反射波干涉相消的处为入射波、反射波干涉相消的 静止点。静止点。 4 3 x 例题例题5 飞机在上空以速度飞机在上空以速度v=200m/s作水平飞行，发出频作水平飞行，发出频 率为率为 02000Hz的声波，静止在地面的观察者测的声波，静止在地面的观察者测 定飞机发出的声波频率，当飞机越过观察者上空定飞机发出的声波频率，当飞机越过观察者上空 时，观察者在时，观察者在4s内测出的频率从内测出的频率从 12400Hz降为降为 2 1600Hz，已知声波在空气中的速度为，已知声波在空气中的速度为 u=340m/s。 试求飞机的飞行高度试求飞机的飞行高度h。 A M B 在在M点接收到飞机在点接收

14、到飞机在A点发出的声波，飞机相对观察点发出的声波，飞机相对观察 者的速度为者的速度为 cos AM vv 按照多普勒效应公式按照多普勒效应公式 001 cos vu u vu u AM 解出解出275. 0cos 1 01 u v 在在M点接收到飞机在点接收到飞机在B点发出的声波，飞机相对观察点发出的声波，飞机相对观察 者的速度为者的速度为 cosvvBM 002 cos vu u vu u BM 解出解出4125. 0cos 2 02 u v A M B 由几何关系由几何关系 ctgctghvtAB m vt ctgctg vt h 3 22 1008. 1 cos1 cos cos1 co

15、s 故故 A M B 例例6：已知：已知 t = 2s 时一列简谐波的波形如图，求波函数及时一列简谐波的波形如图，求波函数及 O 点的振动函数。点的振动函数。 x(m) 0.5 y(m) O u = 0.5m/s 123 解：波函数标准方程解：波函数标准方程 x T t Ay2cos 已知已知 A = 0.5m， = 2m，T = / u = 2 / 0.5 = 4s 由由 2 5 . 0 4 2 2cos5 . 0)5 . 0, 2(5 . 0 xty 得得 2 2 3 即即 2 所以波函数为所以波函数为 )m( 22 cos5 . 0 xty O 点的振动函数为点的振动函数为)m( 22

16、cos5 . 0 O ty 例例7 如图如图, 一列沿一列沿x轴正向传播的简谐波轴正向传播的简谐波 方程为方程为 (m)（1） 在在1，2两种介质分界面上点两种介质分界面上点A与坐标原点与坐标原点O 相距相距L=2.25 m.已知介质已知介质2的波阻大于介质的波阻大于介质1 的波阻的波阻,假设反射波与入射波的振幅相等假设反射波与入射波的振幅相等, 求：求： （a）反射波方程反射波方程;（b）驻波方程驻波方程; （c）在在OA之间波节和波腹的位置坐标之间波节和波腹的位置坐标. y LO A x 12 ) 200 (200cos10 3 1 x ty y LO A x 12 解解 （a）设反射波方程为设反射波方程为 （2） 由式由式（1）得得A点的反射振动方程点的反射振动方程 （3） ) 200 (200cos10 0 3 2 x ty(m) ) 200 (200cos10 3 1 L ty A (m) 由式由式（2）得得A点的反射振动方程点的反射振动方程 （4） 由式由式( (3) )和式和式( (4) )得：得： 舍去舍去 ) 200 (200cos10 0 3 2 L ty A 2 -4-3.52 0 L 2 0 (m) 所以反射波方程为：所以反射波方程为： 2 ) 200 (200cos10 3 2 x ty(m) （b） ) 4 200cos() 4 co