嵌套函数零点问题---徐明进---教师版

1、嵌套函数零点问题一、基础知识: 1、嵌套函数定义：设)，= /), . = g(x),且函数g(M的值域为了)定义域的子集， 那么)，通过/的联系而得到自变量X的函数，称)，是X的嵌套函数，记为y = /g(x) 2、嵌套函数函数值计算的步骤：求y = g/(x)函数值遵循由内到外”的顺序，一层层 求出函数值。例如：已知/(x) = 2g(x) = Y五，计算g/(2)解：2) = 2? =4 .g/(2) = g(4) = 123、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求工的解，则遵循“由外到内”的顺序，一 层层拆解直到求出x的值。例如：已知/( = 2，&(戈)=/_2工，若g/(x) =

2、 O, 求x,解：令z = /(x),则8(/) = 0 =/-2/=0解得/ = 01=2当p=0 = /(x) = 0 = 2=0,则xe0；当f = 2 = /(x) = 2 = 2、=2,则x = l； 综上所述：x = 由上例可得，要想求出g/(x) = 0的根，则需要先将/(x)视为整体，先求出/(x) 的值，再求对应x的解，这种思路也用来解决嵌套函数零点问题，先回顾零点的定义：4、函数的零点：设/(x)的定义域为。，若存在玉)eO,使得/(与)=0,则称x = x0为 /(的一个零点5、嵌套函数零点问题的特点：考虑关于x的方程g/(x) = 0根的个数，在解此类问题时， 要分为两

3、层来分析，第一层是解关于/(X)的方程，观察有几个/(X)的值使得等式成立： 第二层是结合着第一层/(x)的值求出每一个/(x)被几个x对应，将x的个数汇总后即为 g/(x) =。的根的个数6、求解嵌套函数y = g/(x)零点问题的技巧：(1)此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出了(x),g(x)的图像(2)若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于/(x)的方程g/(%) = 0中/(x)解 的个数，再根据个数与/(x)的图像特点，分配每个函数值(x)被几个x所对应，从而确 定工(工)的取值范围，进而决定参数的范围复合函数：二、典型例题1-丰 1例1 ：设定义域为R的函数/

4、(%)= |%-1|,若关于x的方程.x = 1f1 (x)+bf (x) + c =。由 3 个不同的解 0工2，*3 则 X： +X； +X； = 思路：先作出了(X)的图像如图：观察可发现对于任意的儿，满足 = /(1)的X的个数 分别为2个(%0,%工1)和3个(% = 1),已知有3个解，从而可得/(x) = l必为 /2(x) + (x) + c = 0的根，而另一根为1或者是负数。所以%)=1,可解得:2=0,占=1，匕=2 ,所以x：+x；+x；=5 答案：5例2：关于X的方程(一小2一卜2 = 0的不相同实根的个数是()A. 3B. 4C. 5D. 8思昭:可将k2一视为一个

5、整体，即(工)=卜2一1卜则方程变为产3, + 2 = 0可解得： f = l或1 = 2,则只需作出，工)=k2-1的图像，然后统计与1=1与，=2的交点总数即可, 共有5个答案：C例 3：已知函数/(x)=lx + L-lx-|,关于 X 的方程/2(x) + d/(x)|+Z? = 0 XX(。力/?)恰有6个不同实数解，则。的取值范围是 思路：所解方程/2(x)+a|/(x)|+z?=o可视为|/(工)+叩3卜/?=0,故考虑作出-,x则|/(x)|的图像X|/(x)的图像:/W=2x,0 x 12x,1 x 0二 x-如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有X力(x) = 2,0

6、v4(x)v2,所以一。= /(x) +力(x)e(2,4), 解得-4vv2 ：答案：-46/ -22|r-，l-l,0x0时，f(x) = 1,则关于x的方,(x 2口 2程6/(x)丁 -x)i=o的实数根个数为()A. 6B. 7C. 8D. 9得/ (1) = /(x) = _,，只需统计思路:已知方程6/(x)2/(x) l = 0可解， 丁 = _!_,)，= 一，与y = /(X)的交点个数即可。由奇 函数可先做出x 0的图像，x 2时， /(%) = l/(x-2),则x2,4的图像只需将 不(0,2的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像 完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图

7、像。通 过数形结合可得共有7个交点 答案：B【重要提醒】在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。例5：已知函数4x + 3,若方程/(x)T+(x) + c = O恰有七个不相同的 实根，则实数的取值范围是()A. (2,0)C. (0,1)D. (0,2)第9页共20页思路：考虑通过图像变换作出/(x)的图像(如图)，因为/(x)+zy.(x) + c = o最多只 能解出2个/(x),若要出七个根，则/(x) = l/(x)0,l),所以 。/(式)+ &(x)(1,2),解得：e(2,1) , 答案：B例6、已知函数/(%) = 00+1的零点个数判断正确的是()Mj时，

8、有。时，零点 MaB.当00时，有3个零点：当”0时，有2个零点 MHIC.无论。为何值，均有2个零点 D.无论。为何值，均有4个零点思路：所求函数的零点，即方程/(工)=-1的解的个数，先作出/(x)的图像，直线y = ca + l为过定点(0,1)的一条直线，但需要对。的符号进行分类讨论，当。0时，图像 21如图所示，先拆外层可得力(X)=一二 0）已知函数/*） =（ ）,则实数1k一2是关于x的方程/2（x） + /（x） +，= 0.lg（T）（X 0设定义域为R的函数fM = 一 ，若关于x的方程 + 4x + 4,xo)-x2 -2x (x0)则关于x的函数y = 2/2(x)

9、3/(x) + l的零点的个数为【答案】7已知函数/(%) = x+l,x 0则函数y = /(/。)一1的零点个数为ax+ ,x 0【答案】3则下列关于函数y = /(/Cv)+1的零点个数的判断正确的是()4、当。0时，有4个零点：当avO时，有1个零点B、当0时，有3个零点：当。无论。为何值，均有4个零点 【答案】A已知函数f(x)=0)(2)零点，下列判断不正确的是() A.若，= Lg(x)有一个零点4C.若f = -2,g(x)有三个零点函数g(x) = /2(x)+ /(%) +.关于 g(x)的B .若一2v，vLg(x)有两个零点4D.若fv-2,g(x)有四个零点【答案】D

10、则关于x的方程 f2(x) + bf(x) + c = o有5个不JX+ - (X H 0)已知函数/(x)= X0(x=0)同的实数解的充要条件是()A、一2且c0 B、2且cvOC、bv-2且c = 0D、人之一2且c = 0【答案】C则函数y = /(x)+l的零点个数为(A、2B、3C、4D、5【答案】Cax + ,x02时，关于x的方程/(x) = a的实数解的第15页共20页个数为()A、2B、3C、4D、5【答案】C21+2已知函数/(“=2，则函数物(x) = /x)_2/(x)二的零点个2数为(A、4B、5C、6【答案】AD、7已知函数/(*)=|log5(l-x)| , X

11、1(x 2) +2,xNl1，则方程/ X + -2=。的实根个数不可能()A、8B、7C、6D、5【答案】D已知/)是定义在R上的偶函数，对于任意的XR，都有/(2 + x)+/(x) =。，当xwO,l时,/(x)=-x2 + l ,若d/2-八(x)+3 = 0在区间一1,5上有5个根,则这定义在r上的函数、）=氐不,关于x的函数g（x）=/2（x）+va）+1有5个 2不同的零点X，工2，工3，羽，兑，贝Ijx：+X；+X；+X；+X；=（）设函数/（x） = 竺一，若八/卜）=工恒成立，则实数。的值为2x + 3【答案】-3设“X）是定义在（0,+8）上的单调函数，对于任意的x0,有

12、/（x）f /M+- =3 ,则/= X7【答案】-2设函数/(可=匚石,71(6=/(%)，加(x)=(/(x)，则/刘 7(-2)=3【答案】-0),则“ f 都恰好有两个零点”的()A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件【答案】C已知函数/) = /+以，则“。0”是“/(/)的最小值与/(X)的最小值相等”的()A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件【答案】A已知函数/(x)的定义域为若对任意不巧w。,当王 七时，都有/区)工/(七)，则称函数/0)在0上为非减函数.设函数/(x)在0,1上为非减函数，且满足以

13、下三个条件：VI11/(0) = 0；/(：) = J(x)：/(17)= 2 /(X).则/(；) + /(；)=()323o35A、 1B、二C、 2D、二22【答案】BJT % 0已知函数/(x) =1 J,若关于x的方程/2(x) 3/(x) + a = 0(aeR)有8 2x +1, x 0个不等的实数根，则。的取值范围是()119A. (0,)B, (一,3)C. (L2)D. (2,一)434【答案】D设定义域为/?的函数/3）=网一 0, x = .7个不同实数解的充要条件是（）则关于x的方程/（x）2 + （X）+ c = 0有Ab0KcOKc0 C.b7?0Hc = 0【答

14、案】C关于%的方程（V If - N - 1 + % =。，给出下列4个命题：存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根:存在实数h使得方程恰有4个不同的实根:存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根:存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根。 其中假命题的个数是（）AOBAC.2D.3【答案】A己知定义R的函数/(x)Txl-l,关于x的方程/2(幻一/3)一攵=0,给出下列四个命题中真命题的序号有存在出值使方程恰有2个不同的实根存在k值使方程恰有4个不同的实根存在女值使方程恰有5个不同的实根存在k值使方程恰有8个不同的实根【答案】己知函数/*)=1p一1|L = 1,关于X的方程/2(x) + /

15、(x) + c = 0有3个不同的实数解*，4，X3，则占2 +W? +&2=【答案】5已知函数/(%)=k一2| 关于x的方程/-(x) + (x) + c = O有5个不同的实数解 L , x = 2,xpx2,x3,x4,x5,则/(2+当+均+七+工5)=()A.lB.lC.D.481216【答案】B第17贞共20页已知函数/(x) = k l,若关于X的方程/(/)= ?(/?)恰有四个互不相等的实数根 匹，,占,口，则X勺工3工4的取值范围是.【答案】(一 3,0)己知函数/&) = cos2x + asinx在区间(0,球内恰有8个零点，则实数。的取值范围与 最小正整数的值分别为

16、()A(-l,l),2B.(-l,l),4C.-l,l,2P.-l,l,4【答案】A已知函数/(a) = |lgx|,若0 a bQf (a) = f(b),则。+力的取值范围是()A.(2 无司C.(3,+oo)D.3,+co)【答案】C第#页共20页函数),=_L的图像与函数y = 2sin 4x(2 b关于X的方程/*) = ?(? e R)恰有3个互不相等的实数根玉,勺,与，则x3的取值范围是Q已知两条直线/,：y = 和： 丁 = 在斤（m 0） ,4与函数y = |log2 乂的图像从左到右相交于点A, B，A与丫 = |1。&闻的图像从左到右相交于C，D.记线段AC和80在X轴上

17、的投影长度分别为。，.当机变化时，的最小值为（） aA 167288 后C.8 班D4 班【答案】B)gx|(0x10)的取值范围是()A.(l,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)【答案】c|log3 x|,0x3已知函数/（x） = 1jr.若存在实数内,占，石，心，当M 与V、4时满-cos（x）,3 xyj3.值范围是【答案】（0,4/2|sinxLxe-,l,己知函数/（x） = n.根，则X+X2+X3+X4+X5的取值范围是（）4(0,4)8（-况乃）D(况 10)【答案】Dsin 7rx,0x1a+O+c的取值范围是()A.(1,2010) B.(1,2011)C.(2,2011)D.2,20