数理方程第一讲 定解问题1-1

1、数学物理方程 数学和物理的关系 课程的内容 数学和物理从来是没有分开过的 三个方程: 波动方程、热传导、拉普拉斯方程 四种方法: 分离变量法、行波法、积分变换法、 格林函数法 数学物理方程定义 用数学方程来描述一定的物理现象。 2 2 22 222 222 45 , y 0 , ln , 45 ( , ) , 3 2, 0 , xx t xx tt uux ypy q y ay x x uuf xt yy xyyx uuu xyz 二 阶 线 性 非 齐 次 偏 微 分 方 程 二 阶 线 性 齐 次 常 微 分 方 程 一 阶 线 性 非 齐 次 常 微 分 方 程 二 阶 线 性 非 齐

2、次 偏 微 分 方 程 二 阶 非 线 性 非 齐 次 常 微 分 方 程 二 阶 线 性 齐 次 偏 微 分 方 程 一、一、 波动方程的建立波动方程的建立 条件：均匀柔软有弹性的细弦，受初始小扰动在平 衡位置附近做振幅极小的横振动。不受外力影响。 例例1、弦的振动、弦的振动 研究对象：线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。( , )u x t 简化假设： (2)振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。 (1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。 cos1cos1 gds M M ds x T y xdx x T 牛顿运动定律： sinsinTTgdsma 横向：coscosTT 纵向

3、： ( , ) sintan (d , ) sintan u x t x u xx t x 其中： TT (d , )( , )u xx tu x t Tgdsma xx 2 2 (d , )( , )( , ) dd u xx tu x tu x t Tg xx xxt 其中： ddsx 2 2 ( , ) mds u x t a t 2 2 (d , )( , )( , )( , ) dd u xx tu x tu x tu x t xx xxxxx 22 22 ( , )( , ) dd ux tu x t Tgxx xt 其中： 22 22 ( , )( , ) dd ux tu x

4、t Tgxx xt 22 22 ( , )( , )ux tu x tT g xt 22 2 22 uu ag tx 一维波动方程 2 T a 令： -非齐次方程非齐次方程自由项 22 2 22 uu a tx -齐次方程齐次方程 忽略重力作用： 设作用在该弧段上的外力密度函数为 ，那 末该弧段 在时刻 所受沿轴方向的外力近 似地等于 ，于是纵向方程为 ( (, )( , )( , ), xxt t Tu xxtu xtF xt xu x ( ,)Fxt t t ( , ).F x tx 由微分中值定理得 MM (, )( , ), x xt t Tuxx tx F x txux 01. ,

5、x0 x 消去 并取 极限得 ( , )( , ), x xt t Tux tF x tu 2 ( , ), t tx x uauf x t0,0,xL t即 ( , ,)() zzxxyy tt tux y zT uuu， 2 ( , )( , ) tttt ur tTuur tau 设物体在设物体在内无热源内无热源. 在在中任取一闭曲面中任取一闭曲面 S， 以函数以函数u(x, y,z,t )表示物体在表示物体在t 时刻时刻, M = M (x, y,z ) 处的温度处的温度. 根据根据Fourier 热传导定律热传导定律, 在无穷小时段在无穷小时段dt 内流过物体的一个无穷小面内流过物体

6、的一个无穷小面 积积dS 的热量的热量dQ 与时间与时间dt 、曲面面积、曲面面积dS 以及以及 物体温度物体温度u 沿曲面沿曲面dS 的外法线的外法线n 的方向导数的方向导数 三者成正比三者成正比, 即即 , u d Qkd S d t n 三维热传导方程的导出三维热传导方程的导出 对于对于内任一封闭曲面内任一封闭曲面S，设其所包围的空间，设其所包围的空间 区域为区域为V，那么从时刻，那么从时刻t1到时刻到时刻t2经曲面经曲面S流出的热流出的热 量为量为 设物体的比热为设物体的比热为c(x, y, z)，密度为，密度为(x, y, z)，则在，则在 区域区域V内，温度由内，温度由u(x, y

7、, z, t1)变化到变化到u(x, y, z, t2)所所 需的热量为需的热量为 2 1 1 t t S u QkdSdt n 2 1 212 ( , , , )( , , , ) t t VV u Qcu x y z tu x y z tdvcdvdt t 其中其中k=k(x, y, z)是物体在是物体在M(x, y, z)处处 的热传导系数，取正值。我们规定的热传导系数，取正值。我们规定 外法线方向外法线方向n所指的那一侧为所指的那一侧为dS的正的正 侧。上式中负号的出现是由于热量侧。上式中负号的出现是由于热量 由温度高的地方流向温度低的地方。由温度高的地方流向温度低的地方。 故当故当

8、时，时， 热量实际上热量实际上 是向是向-n方向流去。方向流去。 0 u n 根据热量守恒定律，有根据热量守恒定律，有 21 QQ 即即 2 1 12 ( , , , )( , , , ) t t VS u cu x y z tu x y z tdvkdSdt n 假设函数假设函数u(x, y, z, t)关于关于x, y, z具有二阶连续偏导具有二阶连续偏导 数，关于数，关于t具有一阶连续偏导数，那么由高斯具有一阶连续偏导数，那么由高斯 （Gauss）公式得）公式得 由于时间间隔由于时间间隔t1,t2及区域及区域V是任意的，且被是任意的，且被 积函数是连续的，因此在任何时刻积函数是连续的，因

9、此在任何时刻t，在，在内内 任意一点都有任意一点都有 方程方程(1.2.6)称为非均匀的各向同性体的热传称为非均匀的各向同性体的热传 导方程，如果物体是均匀的，此时导方程，如果物体是均匀的，此时k, c及及均均 为常数为常数 2 1 0. t t V uuuu ckkkdvdt txxyyzz . uuuu ckkk txxyyzz (1.2.6) 令令 ，则方程，则方程(1.2.6)化为化为 它称为三维热传导方程。它称为三维热传导方程。 若考虑物体内有热源，其热源密度函数为若考虑物体内有热源，其热源密度函数为F(x, y, z, t)，则，则 有热源的热传导方程为有热源的热传导方程为 2 k

10、 a c 222 22 222 . uuuu aau txyz 2 ( , , , ). t uauf x y z t (1.2.7) (1.2.8) 其中其中. F f c ( , ,)() zzxxyy t c u x y ztk uuu， 2 ( , )( , ) tt cu r tkuu r tau 同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历 史，即个性。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态 的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上 的约束情况的条件。 定解条件定解条件 其他条件：能够用来说明某一具体物理现象

11、情况的 条件。 初始时刻的温度分布： B、热传导方程的初始条件 0 (, )|() t u M tM C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 只含边界条件 A、 波动方程的初始条件 0 0 |( ) ( ) t t ux u x t 1、初始条件、初始条件描述系统的初始状态描述系统的初始状态 系统各点的初位移 系统各点的初速度 (2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力 的作用, 其为： A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为： 0 |0, x u ( , )0u a t 或： 0 x a u T x ， 0 x a u x ， ( , )0 x u a

12、t (3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的 支承, 其为: x a x a u Tku x 或 0 x a u u x B、热传导方程的边界条件 (1) 给定温度在边界上的值 |sufS给定区域v 的边界 (2) 绝热状态 0 s u n (3)热交换状态 牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流 到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。 11 ()d dd d u dQk uuS tkS t n 交换系数； 周围介质的温度 1 k 1 u 1 S S u uu n 1 k k 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件 .uf , u f n u uf

13、n 2 0 0 0 (,0) |( ) () |( ) ttxx t t t uauxt uxx ux 弦振动的Cauchy问题 2 0 0 (,0) |( ) () txx t ua uxt uxx 包含初值条件的定解问题称为初边值问题初边值问题 （Cauchy Cauchy 问题）问题） ), ,()( ),( ),( 0,),( 0)( 0 2 tzyxfu n u zyxzyxu tzyxuuuau t zzyyxxt 包含初值条件和边界条件的定解问题称为混合问题混合问题 (初边值问题初边值问题) ) 热传导方程的混合问题热传导方程的混合问题 0, 0 )0( )(),( )0,0( 0 00 2