2021届高考数学复习压轴题训练球2₍含解析₎

1、球1已知三棱锥的高为1，底面为等边三角形，且，都在体积为的球的表面上，则该三棱锥的底面的边长为ABC3D解：设球的半径为，由球的体积为可得，解得因为三棱锥的高为1，所以球心在三棱锥外如图，设点为的外心，则平面在中，由，且，得因为为等边三角形，所以，所以故选：2在中，顶点在以为直径的圆上，点在平面上的射影为的中点，则其外接球的表面积为ABCD解：如图，顶点在以为直径的圆上，为的外心，又平面，且，平面，可得平面平面，则的外心即为三棱锥外接球的球心在中，由余弦定理可得，设外接圆的半径为，则，得其外接球的表面积为故选：3已知，在球的球面上，直线与截面所成的角为，则球的表面积为ABCD解：设的外心为，在

2、中，由，得，则，再由正弦定理可得，设球的半径为，由题意可知，平面，又直线与截面所成的角为，在中，有球的半径，球的表面积为故选：4已知三棱锥的各个顶点都在球的表面上，底面，是线段上一点，且过点作球的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为ABCD解：因为，由勾股定理可得，设面所截圆的圆心为，外接球的球心为，则有，取的中点，连结，则，故，设，则，设球的半径为，则，故与垂直的截面圆的半径，所以，故所得截面圆面积的最小值为，而最大截面圆的面积为，所以，解得，所以球的表面积为故选：5在三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积是ABCD解：如图，设为三棱锥外接球的球心，为外接圆的圆心，连

3、接，在中，则由余弦定理可得，从而，故的外接圆半径因为，所以，所以外接球半径，故三棱锥的外接球的表面积为故选：6已知正三棱柱中，侧面的面积为4，则正三棱柱外接球表面积的最小值为ABCD解：如图：设，球的半径为，外接球的球心为，底面三角形的中心为，由侧面的面积为4，可得，外接球的表面积取最小值时，外接球的半径最小，当且仅当，即，时等号成立此时外接球取得最小值：故选：7如图，在三棱锥中，且，则四面体的体积的最大值为ABCD解：过作与垂直的平面，交于，过作的垂线，垂足为，如图所示：，则三棱锥的体积为：，故取最大值时，三棱锥的体积也取最大值由，可得，都在以，为焦点的椭圆上平面与线垂直，三角形与三角形全等

4、，即三角形为等腰三角形，又为定值，取最大值时，三棱锥的体积也取最大值在中，动点到，两点的距离和为2，在以为焦点的椭圆上（长轴、焦距分别为、，此时，故的最大值为，此时，故三棱锥的体积的最大值是故选：8在三棱锥中，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为ABCD解：如图，设外接圆的圆心为，连接，连接由题意可得，且，因为平面平面，且，所以平面，且设为三棱锥外接球的球心，连接，过作，垂足为，则外接球的半径满足，所以，解得，从而，故三棱锥外接球的表面积为故选：9已知三棱锥的四个顶点，均在球的球面上，是边长为4的等边三角形，分别是，的中点，则，球的表面积是解：由题意可知为正三棱锥，取中点，连接，所以，且，所以平

5、面，所以，又、分别为、的中点，可得，而，所以，而，所以，即是等腰直角三角形，因为斜边，所以且两两垂直，则为以为顶点的正方体一部分，所以，即，所以球的表面积是故答案为：，10在三棱锥中，侧面与底面垂直，则三棱锥的外接球的表面积为解：在三棱锥中，侧面与底面垂直，平面，设的外接圆的半径为，外接圆圆心为，则，解得，过作平面，则，外接球的半径为，球心为，外接球的表面积为故答案为：11在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，若和的面积分别为1和，则四棱锥的外接球的表面积为解：如图，在四棱锥中，即，则为等腰直角三角形，为矩形，又平面平面，且平面平面，平面，则，设，则，可得等腰三角形底边上的高为，和的面积分别为1和

6、，解得，则，设，则为三棱锥外接球的球心，则四棱锥的外接球的表面积为故答案为：12在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则棱锥外接球的体积为解：如图，设的中点为，的中点为，连接、，则，则为三棱锥外接球的球心，设半径为，又，且，则，由，且，可得平面，解得三棱锥外接球的体积为故答案为：13在平面四边形中，已知，沿对角线折起得到四面体，当与平面所成的角最大时，该四面体的外接球的半径为解：因为，作，垂足为，所以，因为，所以，即，设到平面的距离为，与平面的夹角为，则，当最大时，取得最大值，设为外接球球心，到平面的距离，所以在过外心且垂足于面的直线上，外心为的中点，解得，故答案为：14三棱锥的底面是边长为12的等边三角形，二面角为，则三棱锥的外接球的表面积为解：如图，设为中点，为正外心，依题意有，为二面角的平面角，