立体几何证明方法汇总

1、CB中位线定理例题：已知如图：平行四边形ABCD中，BC 6，正方形ADEF所在平面与平面 ABCD垂直，G, H分别是DF , BE的中点.(1) 求证：GH /平面CDE ;(2) 若CD 2, DB .2，求四棱锥F-ABCD的体积.练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC-ABC 中，AC=3BC=4 AB=5 AA=4，点 D是 AB的中点。求证：AC/平面CDB;12.如图，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱侧棱长为 1,底面边长为2,E是棱BC的中点。(1)求证：BDi平面CiDE ；(2)求三棱锥 D D1BC的体积.3、如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱

2、PD 底面ABCD， PD4, DC3，E是PC的中点。(1) 证明：PA/平面BDE ;(2) 求 PAD以PA为轴旋转所围成的几何体体积。例2、如图，在矩形ABCD中，AB 2BC ,P,Q分别为线段 AB,CD的中点，EP丄平面ABCD .求证：AQ /平面CEP ；（利用平行四边形）练习：如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面,E、F分别是 AB、PD的中点。求证： AF /平面PCE ; pC 如图，已知 AB 平面ACD , DE/AB , ACD是正三角形, 面 BCE ;AD = DE = 2AB ，且F是CD的中点求证:AF/ 平C如图，已知P是矩形ABCD所在平面外一点，P

3、D 平面ABCD , M N分别是AB PC中点。求证:MN / 平面 PAD、已知正方体ABCD- A1B1C1D1，0是底ABCD对角线的交点求证：CQ面ABl D1 .AB 比例关系，求证：MN/平面PCD(利练习：如图，四边形ABCD为正方形，EA 平面ABCD ,1上，且满足CM CA ,求证：EM/平面FBC ;4EF/AB，AB = 4,AE=2, EF=1 . (n)若点 M 在线段 ACD例题3、P是平行四边形 ABCD平面外一点，M、N分别是 用比例关系) 面面平行-线面平行例题4、如图矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE/CF, BCF=CEF= 90 ,AD

4、= ,3 ,EF=2。(I)求证：平面ABE/平面CDF(II )求证：AE/平面DCF ;(利用面面平行-线面平行)练习：1、如图所示，四棱锥 P ABCD中，底面ABCD为正方形,PD 平面 ABCD, PD AB 2, E, F ,G分别为PC、PD、BC的中点.(1)求证：；PA/ 面 EFG ；(2)求三棱锥P EFG的体积.2、如图，在直三棱柱ABC AEG 中，aCB900E，F,G分别是AA1, AC，BBi的中点，且CGC1GGBi(I )求证:CG/ 平面 BEF ；3、如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD CD,AB/CD,CD 2AB 2AD

5、.在EC上找一点M，使得BM /平面ADEF，请确定M点的位置，并给出证明.C4、(2012山东文)如图，几何体 E ABCD是四棱锥， ABD为正三角形， CB CD,EC BD .(I )求证：BE DE ；(n )若/ BCD 120 , M为线段AE的中点,求证：DM /平面BEC .例题：如图，已知四棱锥P ABCD。若底面ABCD为平行四边形，E为PC的中点，在DE上取点F,过AP和点F的平面与 平面BDE的交线为FG，求证：AP/FG 。证明：连AC与BD,设交点为0,连0E卅B练习：1、如图，在四棱锥P ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长

6、为2的菱形, BAD 60， N是PB中点，过 A、N、D三点的平面交 PC于M .求证： AD/MN ;C2、（2012浙江高考）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A iBiCiDi中，AD / BC，AD丄AB，AB= . 2。AD=2，BC=4,AA i=2，E是DDi的中点，F是平面 BiCiE与直线 AA i的交点。（1）证明：EF / AiDi;3如图，四边形 ABCD是矩形，平面 ABCD 平面BCE，BE EC.（1）求证：平面 AEC 平面ABE ;（面面垂直性质）BFi（2） 点F在BE上，若DE/平面ACF，求 的值。（线面平行的性质 一）BE2C例、如图，在正方体

7、 ABCDA）BiCi Di 中，E、F、G分别是AB、AD、CiDi的中点.求证：平面DiEF /平面BDG .练习:(1)GC如图所示，在正方体EG/平面 BBDD;ABCD- ABiGDi 中，E、F、G H 分别是 BC CC、CiDi、A1A 的中点求证:(2)平面BDF/平面BiDH例题:已知在正方体ABCD- Ai Bi Ci Di中，E,F分别是C1 D1和D1 A1上的点，点P在正方体外，平面PEF与正方体相交于AC,求证：EF /平面ABCD菱形的对角线互相垂直：例题。已知E, F分别是正方形 ABCD边AD , AB的中点, 直于ABCD所在平面。 求证：EF丄平面 GM

8、C .练习：如图ABCD- A1B1C1D1是底面为正方形的长方体，求证:(1) BD 平面 ACC1A（2）BDAC1等腰三角形底边的中线垂直底边例1、如图，在三棱锥PABC 中，AC BC 2，AP BP AB, PCAC 求证：PC AB;练习：1、在三棱锥A-BCD中，AB=AC,BD=DC,求证:BC AD圆的直径所对的圆周角为直角例题3、如图AB是圆O的直径，C是圆周上异于 A、BABC，（ 1）图中共有多少个直角三角形？（2）若AHH，求证：AH 平面PBC.ACB 90 ,的任意一点，PA 平面BPC，且AH与PC交于B练习：如图，四棱锥P-ABCD 的底面是边长为1的正方形，

9、Dp利用勾股定理例4、在长方体 ABCD AiBiCiDi中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱 AAi 2 , E是侧棱BBi的中点。求证：AE 平面A1D1E ； 证明： ABCD A1 B1C1 D1为长方体,PA CD, PA 1, PD ,2 ,求证：（1）PA 平面 ABCD（2）求四棱锥P-ABCD的体积. 间接法，用线面垂直的性质定理（I b,b lb）例题：如图，四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB 60，AB 2AD, PD 底面 ABCD，证明：PA BD ;练习1:如图，在直三棱柱 ABC A3G中，AC=3，BC=4 ,AB=5 , AA| 4，

10、点D是AB的中点。（I）求证：AC BC1 ；练习2：如图，四边形 ABCD为矩形,BC 平面ABE，F为CE上的点，且BF 平面ACE. 求证：AE BE ；证明：因为BC平面ABE，AE平面ABE，例1如图，AB是OO的直径，PA垂直O O所在的平面，C是圆上不同于 A, B的任意一点，求证：平面 PACL平面PBCAArEsCDA求证：（1） EF/平面 ABC； （2）平面 A,FD 平面 BB1C1CA练习1：如图，棱柱 ABC A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，A1B2、如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，E、F分别是A1B例1:如图，在四棱锥 PABCD中，侧面 PAD

11、丄底面 ABCD，侧棱PA= PD, O为AD中点，求证:PO丄平面 ABCD3、如图， ABCD是正方形，SA丄平面ABCD BKSC于K,连结DK, 求证（1）平面SBCL平面KBD赴理.0A1C 的中点，点 D 在 B1C1 上, A1D B1C。平面(1)(2)C例2 :如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是 DAB 60且边长为a的菱形，侧面 PAD是等边三角形，且PAD垂直于底面ABCD .若G为AD的中点，求证：BG 平面PAD ;求证：AD PB练习：1、如图AB是圆O的直径，C是圆周上异于 A、B的任意一点， PA 平面ABC，(1)图中共有多少个直角三角形？( 2

12、)若AHPC，且AH与PC交于H ,平面PBC中，平面 PAD丄平面 ABCD ,E、F分别是AP、AD的中点P为半圆周上异于 A，B两点的任2、在四棱锥P ABCD AB=AD，/ BAD=60 ， 求证：平面 BEF丄平面 PAD3、如图，正方形 ABCD所在平面与以 AB为直径的半圆 O所在平面 ABEF互相垂直, 点，求证：Oi直线 AP!平面 PBC 平面 PBCL平面 APC寸24、如图，三角形 ABC中，AC=BC= AB，ABED是2ABED丄底面 ABC，且，若 G、F分别是EC、BD的中 ABC ;(U)求几何体ADEBC的体积V。边长为a的正方形，平面C点，(I)求证：G

13、F/底面5、如图，A B, C, D为空间四点在 ABC中,AB 2, AC BC x2 .等边三角形 ADB以AB为轴运动.(I)当平面 ADB 平面ABC时，求CD ;五、体积问题1.如图，ABCD A.B.C.D,是正四棱柱侧棱长为(1) 求证：BDi / 平面 Ci DE ;(2) 求三棱锥D DiBC的体积.1,底面边长为2, E是棱BC的中点练习1：三棱锥P ABC中，PAC和PBC都是边长为 2的等边三角形，AB 2,0、D分别是AB PB 的中点.(1)求证：0D/平面PAC (2)求证：平面 PAB丄平面ABC ;(3)求三棱锥A PBC的体积.2、如图，长方体ABCD Ai

14、BiCiDi中，AB AA 1, AD 2, E是BC的中点（I）求证：平面A1AE平面D1DE ; （II）求三棱锥A A1DE的体积.AiD13、如图，在四棱锥P-ABCC中，PD垂直于底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC / AB, BAD 90,且AB 2AD 2DC 2PD 4 （单位：cm），E为PA的中点。（1）如图，若主视方向与AD平行，请作出该几何体的左视图并求出左视图面积;（2）证明：DE/平面PBC ;4、已知某几何体的直观图（图1）与它的三视图（图2），其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形.已知D是这个 几何体的棱AG上的中点。（I）求出该几何体的体积；（3

15、3 ）（H）求证：直线 BCi/ /平面ABi D ；AB（川）求证：平面AB1D 平面AA1 D .5、已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据,（I）求这个组合体的体积；（n）若组合体的底部几何体记为 ABCD A B1C1D1，其中A1B1BA为正方形（ i）求证：A1B 平面AB1C1D ； （ii）求证：P为棱A1B1上一点，求AP PC1的最小值六:等体积法求高（距离）：h如：三棱锥V f BEC1Vb EFC11SBEC1 h =3S efC1BE例题（2010广东文数）如图，弧 AEC是半径为a的半圆，AC为直径， 点E为弧AC的中点，点B和点C为线

16、段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC 平面BED,FB= 5a（1）证明：EB FD（2）求点B到平面FED的距离练习1:已知ABC- A1B1C1是正三棱柱，棱长均为 、5, E、F分别是AC A1C1的中点,(1)求证：平面 AB,F /平面BEC(2)求点A到平面BEC,间的距离2、如图，在四棱锥 P ABCD中,C1CPD 平面ABCD ；四边形ABCD是菱形,作与PD平行的平面交 PB与点E ,ABCD的两对角线交点为 F (I)求证:点D到平面PBC的距离.3、如图4,在四棱锥 P ABCD中，平面PAD平面ABCD ,AB / DC , PAD是等边三角形，已知 BD 2

17、AD 4 ,AB2DC2,5 .(1)求证：BD 平面PAD ;(2)求三棱锥A PCD的体积.4.如图，己知 BCD中,BCD 90 , BC CD 1,AB 平面 BCD ,C例题边长为AC2, BCD 60 ,DE ; (n)若 EF经过ACCDADB 600,E,F分别是AC,AD上的动点且=篇=，(。 1)(1)求证：不论 为何值，总有EF 平面ABC;1(2)若 =_,求三棱锥A-BEF的体积.25、(2012广东文数)如图5所示，在四棱锥 P ABCD中，AB 平面PAD , AB/CD,PD AD , E是PB中点,1F是DC上的点，且DF AB 2PH 平面 ABCD ;，PH为PAD中AD边上的高。(1)证明:(2)若PH1,AD 2, FC 1 ,求三棱锥E BCF的体积;(3)证明:EF 平面PAB.6、(2012佛山一模)如图，三棱锥P ABC 中，PB 底面 ABC，BCA 90o,PBBC CA4，E为PC的中点,M为AB的中点，点F在PA上,且 AF 2FP.(1)求证：BE平面PAC ；(2)求证：CM/平面BEF ；(3)求三棱锥FABE的体积7、如