山西省2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理)试题

1、山西省2020.2021学年高二上学期期末考试数学（理）试学校:姓名：班级：考号：一、单选题21 .命题0 （1,2）,%+ 一之2无”的否定是（） AoA.玉o（l,+o）, x0 + /2 Ao2B. *o（L+s）, Xo + /2*V0C. Vx0 6（l,+co） , XQ + 25/2XQ2D. Vx0 （L+s）, . + /2 Ao2 .设直线/的方向向量为，平面。的法向量为/；,则使/J_4成立的是（）A. 6/= （1,-1,2）, /? = （-1,1,1）B. a =（L1,2）, n = （-1,1,-2）C. 6/ = （ 1,-1,2）, n = （1,1,-1）

2、D. 6/ = （2,-L-l）, n = （1,1,1）3 .已知直线/过点（2,-1）,且在轴上的截距为3,则直线/的方程为（）A. 2x+y + 3 = 0B. 2x+ y-3 = 0C. x-2y-4 = 0D. x-2y + 6 = 04 .刘徽注九章商功曰：“当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，深一尺，积一千四 百四十一寸十分之三.王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七亳.以 徽术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇其中的“斛、斗、升”都是中国占代量器 名，也是容量单位，并且形状各异，常见的斗叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大 下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台）

3、，如果一个方斗的三视图如图所示， 则其容积为（）正视图俯视图B.63D. 126A. 60C. 845 .抛物线C：） = 2px的准线经过双曲线看-亍=1的左焦点，则抛物线C的焦点坐 标为（）A.（4,0）B. （-4,0）C. （0,-4）D.（0,4）6 .设则“4 = 1”是“直线ar+y + a + l = 0与直线x+y + 4 = 0平行”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7 .设7, 是两条不同的直线，a、p、/是三个不同的平面，下面四个命题中正确 的是（）A.若a_L，,则a/8 .若a_L，iua,则?_1_4C.若m/a,

4、 ua,则加D.若a/, yra = my yp = n ,则加8 .正方体ABC。 A4GA中，异面直线5。和CR所成角为（）D.7C49 .若圆：C:（x + JI + y2=l 关于直线/：xy + 7 = 0 对称，/：x），+ 4 贬=0, 则/与/1间的距离是（）10 .九章算术中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将 四个面都为直角三角形的四面体称之为螯膈.在螫脑PA8C中，P4_L平面A6C,24 = 4, AB = BC = 2,鳌脑P-ABC的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积 是（）A, 16乃B. 204D. 64兀11 .已知椭圆：C:+ =

5、l（4b0）的左顶点为A，上顶点为3,右焦点为尸，bA-bF = o,则椭圆C的离心率为（V5 + 1212 .已知双曲线c：与-1=1（。0乃0）的左、右焦点分别为小工，离心率为6, 过左焦点匕引渐近线的垂线,垂足为P , kPFR的面积是2 ,则双曲线C的方程为（） 16二、填空题13.以一1,2为圆心，且与圆C:（x-3）2+（y + l=9外切的圆的标准方程是14.正四棱锥尸一45CD中，R4 = 3, A5 = 2，则QA与平面尸5c所成角的正弦值为15 .给出下列命题：（1）直线y = k（x-2）与线段45相交，其中4（1/），6（4,2）,则&的取值范围是 卜川；（7 6、:。

6、J /（3）圆C: / + V = 4上恰有3个点到直线/:x-y + = O的距离为1 ；（4）直线y = x-1与抛物线y? = 4x交于A, 8两点，则以A6为直径的圆恰好与直 线x = -l相切.其中正确的命题有.（把所有正确的命题的序号都填上）三、双空题16 .倾斜角是453且过点（1,4）的直线/交圆U/ + V 2y 3 = 0于A, 6两点,则直线/的一般式方程, AB=.四、解答题17 .命题P：直线/：3x-4y一6=0与圆C：（xl + y=l相交，命题4：方程三一+J=1表示焦点在工轴上的椭圆.8 - m m - 2（1）若命题为真，求加的取值范围：（2）若命题入为真，

7、求？的取值范围.18 .动点夕到尸（L0）的距离比到y轴的距离大1.（1）求动点P的轨迹。的方程；（2）过点尸作斜率为1的直线/交曲线。于A，8两点，求八。46的面积.19 .如图，在四棱锥PA5C3中，四边形ABCO是平行四边形，且NBAP = /CDP = 90 （1）证明：平面POC_L平面4O；（2）若？A = P） = A5 = 2，ZAPD = 60 求四棱锥产一ABC。的体积.20 .已知直线/：翻一）3。+ 1 = 0恒过定点夕，过点夕引圆。：（工一1+）=4的两 条切线，设切点分别为A , B.（1）求直线A6的一般式方程；（2）求四边形PAC6的外接圆的标准方程.21 .如

8、图，已知三棱锥P-A8C,平面P4C_L平面A6C,点、E，尸分别为PC、BC 的中点，AB1BC, PA = AB = BC = 2, PC = 26B（1）证明：EF/平面PAB；（2）求平面PAC与平面尸6c所成角的大小.22 .已知椭圆。： +a=1（。/?0）的左、右焦点分别为匕，工，离心率为乎，过右焦点区作直线/交椭圆C于A , 8两点，AASR的周长为4&,点M（2,0）.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AM、6M的斜率人，上,请问人+及是否为定值？若是定值，求出其定值；若不是，说明理由.参考答案1. C【解析】【分析】否定命题的结论，同时把存在量词改为全称量词.【详解】22命

9、题“土。（1,+8）, % + 一之2应”的否定是“7%（1,+力），%+ 1 0+/w = 0 m = 5/2 即/方程为x-y + & = 0，战-4阕所求距离为d = I =3 .故选：D.【点睛】本题考查两平行线间的距离，解题时需由圆关于直线对称，即直线过圆心求出参数相，再则 平行间距离公式计算.10. C【分析】四个面都是直角三角形，由A5 = 6。得AS_L 6C,然后证明BC1PB,这样尸C中点O, 就是P-A5c外接球球心，易求得其半径，得面积.【详解】四棱锥P -A5c的四个面都是直角三角形，*：AB = BC = 2,又P4_L平面ABC，.AB是08在平面ABC上的射影,

10、Q41C4，8C_L尸5,取尸。中点。，则。是。一A5c外接球球心.由 A8 = SC = 2 得 AC = 2&，又以=4,则 PC = j8 + 16 = 20P = ,所以球表面积为5 = 4乃（OPf = 4;rx （遍=24乃.故选：C.【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是寻找外接球的球心：三棱锥的外接球的球心一定在过各 面外心且与此面垂直的直线上.11. D【解析】【分析】 表示出各点坐标，由丽丽=0得出。力,C的等式，变形后可求离心率.【详解】由题意 A（。,0）,6（0力）,尸（。,0）,则 BA = （a,b）,B户= （c-b）,BA - BF = ac + /?2 =

11、 0 , a2 c2 ac = 0 （） + 1 = 0 a ae = L = dl（上 舍去）.故选：D.【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到一个关于。，4C的等量关系.本题中由已知丽旃=0可得.12. B【分析】离心率为可得c?= 5/，月尸与渐近线垂直，则有比P| = ，从而|OP| 二 a,由APFM 的面积是2,可得=2,这样可求得力,得双曲线方程.【详解】如图，渐近线OP方程是丁 = 一，X,即饭+ 0 = 0,由于尸f_L。尸且K(c,0),1;1仁= ab = S所以 |月户| = fkL = b,所以 = Jc。b) = a ylb1 +cr由圆心距离等于两圆半径之

12、和求出所求圆的半径.【详解】设所求圆半径为，则由题意J( 1 一3)2 + (2 + 1尸=3 + r，r = 2，所以所求圆方程为：(x+l+(y2)2=4.故答案为：(x+1)-+(y 2) = 4.【点睛】本题考查求圆的标准方程，解题关键是掌握两圆外切的条件，由此求出圆半径.【分析】作AELPB,连接CE,则CELPB,于是有PB_L平面ACE,作AHCE交CE延长线于H , 可得A_L平面尸8C，从而NAPH是直线以与平面P8C所成的角.在RAPA”中计算 出这个角的正弦值即可.【详解】在正四棱锥尸A5CD中，取中点M,连接PM,则PM =打-12 =2应，作 AE_LP从 连接“，则

13、 CE_LP8, AE = CE ,由 PB CE = BC PM 得 CE= Ba = 2x2 =拽.AE = CE =,产3 333AC = 2小，由ACL得4石。是钝角， 作AHJ_C石交CE延长线于“，连接P”,由 CE_L尸8, AE_LP8,得 P8_L平面 ACE,平面 ACE, ：.PBAH9 PBCCE = E,，A/JL平面P8C，NAP”是直线以与平面P8C所成的角.ACE t,取AC中点。，连接上0,则EO_LAC,且上。=J(警_(必？= 理)B V14皿 ACEOV14AH =，CE 4722TV14在RfAPAH中,./人上口 A” 亍用. sm ZAPH = =

14、AP 36故答案为：姮. 6【点睛】本题考查求直线与平面所成的角，解题关键是作出直线与平面所成的角，就是所谓的一作二 证三计算.作图证明计算缺一不可.15. (2) (3) (4)【分析】根据两直线相交，点关于直线对称，直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系对各个 命题进行判断.【详解】(1)由于直线x=2与线段,48有公共点，因此k的范围是(yo,-1UL+8), (1)错;1 3(2)尸外的中点坐标为(一*,2x(-1)-| + l = 0即中点在直线2x)，+ 1 = 0上,又kp6=L,直线2x)，+ 1 = 0的斜率是2,相乘等于一 1，尸打与直线2xy + l = O垂 2直，

15、(2)正确;(3)圆心C到直线/的距离为1,圆半径为2,与直线/距离为1的两条直线一条与圆相交,一条与圆相切，因此圆上有3个点到直线/：x-y +JI=O的距离为1，(3)正确;(4)直线y = x 1过抛物线的焦点/(1,0),直线x = 1是抛物线的准线，设4（士,乂）,6区,月），由抛物线定义得|舫| 二玉+工2 + 1，45的中点何0*,上&）到 2直线x = 1的距离为d = 士玉+ 1 = 3ab| ,以A8为直径的圆恰好与直线x =1相 221 1切.（4）正确.故答案为：（2） （3） （4）.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查两直线相交，点关于直线对称，直线与圆的位置关系，

16、直线 与抛物线的位置关系等知识，在求直线与线段有公共点时，要研究斜率不存在的直线是否与 线段有公共点，以确定直线斜率范闱是两斜率之间，还是两斜率之外.16. x-y + 3 = 02应【分析】由点斜式写出直线方程整理成一般式即可，求出圆心到直线的距离，由垂径定理求弦长.【详解】由题意直线/的方程为：y 4 = x1,即x-y+3 = 0,圆标准方程为：/ + （），1尸=4,圆心为C（0），半径为r = 2，圆心到直线/的距离为d = ,一二=,AB = 2后才 =26 一 （& =2屈.故答案为：一），+ 3 = 0； 2母.【点睛】本题考查直线方程的一般式，考杳直线与圆相交弦长问题.求直线

17、与圆相交弦长一种结合垂 径定理计算.17. （D （-2,8）（2） （-2,2U5,8）【分析】（1）由圆心到直线的距离小于半径求得为真时机的范围.（2）由方程表示焦点在x轴上椭圆求出机的范闱，由p真且F为真得结论.【详解】1,解：（1）因为直线/：3x-4y-加=0与圆C：（x11 + V=1相交,所以解得一2相 0,（2） .椭圆焦点在x轴上，所以卜20,18 - m m - 2,.2tn5.a9为真，真q假.m 5 -2 m 8,一2 ? K 2或5 V机 8,所以加的取值范围为（一2,2U5,8）.【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数取值范闱，掌握复合命题的真值表是解题关键.Pq4

18、V夕真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真18. （1）2=4x或 y = 0（x0） （2） 2立【分析】（1）题意转化为动点夕到尸（L0）的距离等于其到直线x 二 l的距离，根据抛物线的定义 可得轨迹方程，注意点尸也可能在x轴负半轴上.（2）写出直线/方程y = x1,设交点为A（w，），J, 5（4,%），直线方程与抛物线方程 联立消元可得大的二次方程，由韦达定理得不十三,从而的|人目=玉+乙+ 2,再由求出。到直线/的距离，由底乘高除以2得三角形面积.【详解】解：（1）由题意可知动点。到尸（L0）的距离等于其到直线x 二 -l的距离，由抛物线的定义可知动点P的轨迹C的方程为y2 =

19、4a-或y = 0（x iov u 3(33i)2+(iZo)r3-PA1AC, PB1BC 所以四边形尸AC6的外接圆时以PC为直径的圆,PC的中点坐标为2,万所以四边形PACB的外接圆为(x 2)一 +【点睛】 本题考查求直线与圆相切的切点弦所在直线方程，求圆的方程，求圆的方程方法就是确定圆 心坐标和圆半径，写出圆标准方程.求直线方程就是求出直线斜率和直线所过的点，即可写 出直线方程，本题直线AB方程可以由四边形P4C6的外接圆方程与己知圆方程相减可得. 21. (1)证明见解析(2) 60【解析】【分析】（1）由中位线定理得族 P6,即可得线面平行；（2）建立解析中的空间直角坐标系，求出

20、两平面的法向量，由法向量的夹角求得二面角.【详解】（1）因为点石，尸分别为尸C, 6c的中点，所以EF ” PB.P3u平面PA6，所平面PA5，.所平面PA6.（2） AB = BC = 2, AB1BC,由勾股定理得AC = 2W./ PC = 2/3 . PA2 + AC2 = 4 + 8 = 12 = PC2，故PA_LAC.又平面PACJ_平面ABC,且平面PACfl平面A5C = AC, 故24_L平面45c.以A为坐标原点，垂直于AC, AP的直线为x轴，n为）轴正方向，而为z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则 4（0,0,0）, 6（衣衣0）,尸（0,0,2）, C（0,

21、272,0）,.故尸弓=（0,2虚,一2）, 8d = （&,0）.显然平面P4C的法向量；=（1,0,0）.设平面PBC的法向量m =（苞y,z），用.斤= 0，A in - BC = 025/Ty-2z = 0,-VTx+VTy = 0,令y = l有；_% 故;=一 r八cos =- in n1 _ 1Ixji+1+（互 5= 60,平面PAC与平面PBC所成角为60.【点睛】本题考查证明线面平行，考查求二面角.证明线面平行根据线面平行的判定定理证明即可, 而求二面角可以建立空间直角坐标系，用向量法求解.22. (1) y + y2 = 1 (2) K + &是定值，且为0【分析】(1)由乂6K的周长为4JJ,得到4a = 4j，即a = .再由离心率求得c，从而可得b,得椭圆方程.(2)直线/斜率不存在时，人+h=0,直线/与x轴不垂直时，设直线/的方程为y = k(x-l)(k0)9 A(X,yJ, 5(毛,)，由直线方程与椭圆方程联立消元，可得演+%/内，计算人十3，并代入n + w/r可得人+七=。.这样就得出结论.【详解】(1)由