知识点一极限与连续

1、求极限的常用方法 利用极限的定义数列极限的定义：limA；=6/OV0,30.当nNH寸，有k n-x1函数极限的定义(XT*。)：lim/(x) = 4O Vw0,0,当0|兀-兀|耐,有 f(x)-A 0), liin cii/x = l(a 0).A-+X这一结论可以推广为：2 利用两个重要极限sin x lim20 Xfi+Pn=e 或 lullI n)X)11111/r-xJ、由重要极限及变量替换可以求下列极限:Urn l+9(x) z/w =/.Inn *山 处)=1, liin 1 + 炉(x) U2 = j f 0(p(x)Xfliin(p(x) = 0, lim g(x) =

2、 AxQ其中，“T%,极限过程改为其它情形也有类似的结论.2、 liin /(X)= 1, lim g(x) = s设心心,则利用重要极限有：lull f(x)s = lunl + f(x) -1 * 円=/-V-.V0A-.V0limg(x)(f(x) l) = A 其中 利用无穷小的性质和等价无穷小替换求极限1、无穷小量乘以有界函数仍是无穷小量；2 .熟悉常见的无穷小量：当xT0时，有siiix taiix aicsuix aictaiixln(x + l)ex -1 ；1-1 =COSX 一AT2一1 xlna (a 0,a h 1) ： (l + x)-1 ax (ghO的常数)，等等

3、.3、求极限过程中，可以把积和商中的无穷小量用与之等价的无穷小量替换，加与减 不能替换.4、无穷小量与无穷大量之间的关系：如果/(x)为无穷大，则亠为无穷小;反之， /如果/(X)为无穷小，且/(x) H 0,则 丄为无穷大./U) 利用极限与左右极限的关系lim/(X)存在的充要条件是/Uo-0) = /(xo + 0)XT% 利用极限的和、差、积、商运算法则应当注意的是：参与运算的每个函数的极限都要存在，而且函数的个数只能是有限个， 在作商的运算时，还要求分母的极限不为零.利用Stolz定理：设数列伉单调增加且limb”=2D,若Um学二* = +s或存在,则有lim学=111“丨一：也,

4、由此可以证明下面的平均值定理”7 r 一爲lim = = lmi an刃 THfjlim“ = lima”n-x V -n-x 利用函数的连续性函数 y = /W 在X = X 处连续，则 11111 /(X)= /(xo) 利用导数的定义 利用定积分的定义求和式的极限 利用洛必达法则求未定式的极限或利用带有佩亚诺(Peano )型余项的泰勒公式 求极限(3) 无穷大量与无穷小量 无穷人量是绝对值无限增人的一类变量，它不是什么绝对值很人的固定数：无穷小 量以零为极限的一类变量，它也不是什么绝对值很小的固定数. 无穷人/V)的倒数厶是无穷小量：无穷小/(X)(f(X)H0)的倒数是无穷大./W

5、无穷小是以零为极限的变量，因此，和、差、乘积的极限运算法则自然也适用于无 穷小，但商的极限运算法则不适用于无穷小，因为这时分母的极限为零，另外，无穷小与有 界函数的乘积仍是无穷小. 两个无穷小之商的极限，一般说来随着无穷小的不同而不同，从而产生了两个无穷小之间的“高阶”、“同阶”、“等价”等概念，它们反映了两个无穷小趋于零的快慢程度. 如果/(X)以月为极限，则f(x)-A = o(x)是无穷小;反之亦然.3、连续函数(1) 函数/(X)在心处连续定义的三种不同表达形式是 映心巳哪+心)/(兀)=0; lun/(%) = /(%0);ATV0,30 ,使当x-xQ | J时，|/(x)-/(X

6、o)|这最后一种表达形式与lnn/(x) = A的表达形式十分相似，差异在于极限定义中的不等式; XT.o0|x-xo |v5 这里变成 Tx-x0 S;f(x)-Ae 变成 T f(x)-f(x0).因为在探讨连续性时，必须要求f(x)在兀处有定义，且极限值月必须为/(x0).(2) 连续函数的和、差、积、商在它们共同有定义的区间仍为连续函数.(3) 连续函数的复合函数仍为连续函数.(4) 单调连续函数有单调连续的反函数.(5) 一切初等函数在其定义区间内都连续.(6) 闭区间a,b上的连续函数/(x)有下列重要性质：/W必在a,b上有界且取得最人值M与最小值加(有界、最人、最小值定理)/(

7、x)必在a,b上取得介于/(a)与/(b)之间的任何值(介值定理); /(X)必在a,b上取得最大值M与最小值加之间的任何值； 如果/(a) /(b)/7,&_ J7 +厉,7_& +丁7_/7,7收敛，并求其极限。证明：设该数列通项为 ,则A：* =可,令+ X,贝 |Jf(2)=2,+2 = / (暫)，+2 - 2 = /( ) - /(2),由拉格朗日中值定理得:存在：介于X, 2之间，使得/(x)-/(2) = /()(x-2),由题意得- X卄2 _ 2| = |/(xn)-/(2)| = |/ (歹”)卜卜” -20xH 7,0爲7,|广(即| =即a =(篇)|,则xn+2-2

8、 = axn-2,0a/l - cosx) 利用左右极限的关系求极限limlarctanl (00数_5) !雪(仃尹+二守,x0/W = 50, x = 0年韦 1)n-+x利用夹逼法则求极限9n + 1/n求极限&k设0求lim(Y町严和lim(Yci：n严HT+oc Y“ttyc 厶1/=!z=l答案：max厲iit 1mm a.lixJ0利用导数的定义求极限limZC = A,求皿sm/g-smb f x-af x-ciA cos/?/(x)在x = a处可导,f (ci) 0 ,求 lim (；/-+X/(d + l/“)/(a)go xcia利用定积分求和式的极限Inn J1 +

9、cos + Jl + cos 节 + Jl + cos 等 n-oc j j VYVe2-fV) a2V27t2、limn-xsin兰n+ 1sill n +1/2sill +苛3、 111111“卞 n + l n + 2 n + n10、利用单调有界准则求极限27thi21、xtt = & +& + 省卫 0(/? = 1,2,.)n、利用泰勒公式求极限v 亍/2 + 1- Jl + xR lim7 (cos x 一 ex ) sin x22、limcos2 xsm2 x - x2 (1 - x2)4/31.v-0 X。练习提高: OS数学- 9)12凹q啤凹竺 XTOX求极限1+V1 +

10、 46Z21122245（提示：用等价无穷小代换或洛必达法则2、(06 数_)lim S(li)XTO l-cosx（提示：用等价无穷小代换）23、（06数一数二12）数列满足0 兀 龙,兀申（1）证明兀极限存在.并求之：（2）（提示：1、利用单调有界公理，2、利用重要极限）1、0, 2、严4、（03数一 4） lllll（COSX）U1+v：）（提示：先写成指数形式）A-05、（00 数一 12）（提示：讨论左右极限）6、（07 数三 4）亡+亍+ 1lim (siii x + cos x)十 2 x + x3 77、(06 数三 4)hill(8、（05 数三 12n1 + x 1. 1U

11、11()一。1厂 X（提示：用洛必达法则）9、(05 数三 4) 11111 Sin X- (COS x-b) = 5,则 w b- a to e x - a10、(04 数三 911111(go sill X XCOS XL）1321,-4411.设0 人3,兀+=屮心乜）（/2 = 1,2，），证明数列兀的极限存在，并求极限。311(提示：用单调有界公理,= 3-14sin t x12、求极限11111(,求极限/(X),并指出其间断点的类型。 f sinx,X = O可去间断点，x = k兀gZ)为第二间断点).xx - 113、lun7 jinx14.YTO Xx当xtO时，函数/(x

12、)= MXsint2dt与g(x) = x + x4比较是()的无穷小Jo(A)等价 (B)同阶非等价(C)高阶 (D)低阶(B) 设&0,00为任意正数，当XT+8时，将1/0 ,1/11/X,厂按从低阶到高阶的顺 +1, x c在(Y+ C15 (08数三4)设函数f(X)= 0 f= limAln(l +X XTO J-Sill XS111X1 = limf. sin x 1=-lull=.VTO 才S111X-Xgo 6x 617、18、2 x (05 数三 4)极限limxsinrY+11 4- r 1(05 数三 9)求上).go i-e x x3/2题型一无穷小及其阶1、(09

13、数 1, 2, 3)(1)当兀一0时，f(x) = x-smax 与 g(x) =)等价无穷小，(A) Cl = L/? = (B) Cl = lb = (C) Cl = 1,/? = (D) CI = 1,Z? = (A )应选(E).(B) 111 1 + ；(C)+-1 (D) 1-cosyx.6 6 6 66、(04 数一 4)把时的无穷小量a = cos尸力，/? = tanJFdf, y = sinr3t/r 使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A) a、卩、丫 (E) a,y,/3. (C)队 a,.(D)队 Y，a. B 題型三讨论函数的连续性与间断点的类型X1、求函数/(x) = (l +旷5在(0,2龙)内的间断点，并判断类型2、X工32、( 09数二，数三)函数f(X)= 的可去间断的