轨迹问题(上课ppt课件

1、 1.曲线与方程的关系曲线与方程的关系 普通的，在平面直角坐标系中，假设某普通的，在平面直角坐标系中，假设某 曲线曲线C(看作点的集合或适宜某种条件的点的看作点的集合或适宜某种条件的点的 轨迹轨迹)上的点与一个二元方程上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数的实数 解建立了如下关系：解建立了如下关系： ( 1 ) 曲 线 上 的 点 的 坐 标 都 是 这 个曲 线 上 的 点 的 坐 标 都 是 这 个 ; (2)以这个方程的解为坐标的点均是以这个方程的解为坐标的点均是 .那么，这个方程叫做曲线的那么，这个方程叫做曲线的 方程，这条曲线叫做方程的曲线方程，这条曲线叫做方程的曲线. 方程的解

2、方程的解 曲线上的点曲线上的点 2.求轨迹方程的根本思绪求轨迹方程的根本思绪 (1)建立适当的直角坐标系，设曲线上的恣建立适当的直角坐标系，设曲线上的恣 意一点动点坐标为意一点动点坐标为M(x,y). (2)写出动点写出动点M所满足的所满足的 . (3)将动点将动点M的坐标的坐标 ,列出列出 关于动点坐标的方程关于动点坐标的方程f(x,y)=0. (4)化简方程化简方程f(x,y)0为最简方式为最简方式. (5)证明或检验所求方程表示的曲线上证明或检验所求方程表示的曲线上 的一切点能否都满足知条件的一切点能否都满足知条件. 几何条件的集合几何条件的集合 代入几何条件代入几何条件 留意：第留意：

3、第2步可以省略，假设化步可以省略，假设化 简过程都是等价交换，那么第简过程都是等价交换，那么第5可以可以 省略；否那么方程变形时，能够扩展省略；否那么方程变形时，能够扩展 或减少或减少x、y的取值范围，必需检查的取值范围，必需检查 能否纯粹或完备即去伪与补漏能否纯粹或完备即去伪与补漏. 3.求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：假设动点满足的几何条件直接法：假设动点满足的几何条件 本身就是一些几何量本身就是一些几何量(如间隔与角如间隔与角)的等量的等量 关系，或这些几何条件简单明了且易于关系，或这些几何条件简单明了且易于 表达，我们只需把这种关系转化为表达，我们只需把这种关系

4、转化为x,y的的 等式就得到曲线的轨迹方程；等式就得到曲线的轨迹方程； (2)定义法：某动点的轨迹符合某一根定义法：某动点的轨迹符合某一根 本轨迹本轨迹(如直线、圆锥曲线如直线、圆锥曲线)的的 ,那么那么 可根据定义采用设方程求方程系数得到动可根据定义采用设方程求方程系数得到动 点的轨迹方程；点的轨迹方程； (3)代入法代入法(相关点法相关点法)：当所求动点：当所求动点M 是随着另一动点是随着另一动点P(称之为相关点称之为相关点)而运动，而运动， 假设相关点假设相关点P满足某一曲线方程，这时我满足某一曲线方程，这时我 们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把 相

5、关点代入曲线方程，就把相关点所满足相关点代入曲线方程，就把相关点所满足 的方程转化为动点的轨迹方程；的方程转化为动点的轨迹方程； 定义定义 (4)参数法：有时求动点应满足的几何参数法：有时求动点应满足的几何 条件不易得出，也无明显的相关点，但却条件不易得出，也无明显的相关点，但却 较易发现这个动点的运动经常遭到另一个较易发现这个动点的运动经常遭到另一个 变量变量(角度、斜率、比值、截距或时间等角度、斜率、比值、截距或时间等) 的制约，即动点坐标的制约，即动点坐标(x,y)中的中的x,y分别随另分别随另 一变量的变化而变化，我们可称这个变量一变量的变化而变化，我们可称这个变量 为参数，建立轨迹的

6、参数方程；为参数，建立轨迹的参数方程； (5)交轨法：在求两动曲线交点的轨迹交轨法：在求两动曲线交点的轨迹 问题时，经过引入参变量求出两曲线的轨问题时，经过引入参变量求出两曲线的轨 迹方程，再联立方程，经过解方程组消去迹方程，再联立方程，经过解方程组消去 参变量，直接得到参变量，直接得到x,y的关系式的关系式. 例例1、过点、过点P(2,4)作两条相互垂直的直线作两条相互垂直的直线 l1、l2，l1交交x轴于轴于A点，点，l2交交y轴于轴于B点，点， 求线段求线段AB中点中点M的轨迹方程的轨迹方程. 例例2 如图，知圆如图，知圆A：(x+2)2+y2=1与点与点 A(-2，0)，B(2，0)，

7、分别求出满足以下，分别求出满足以下 条件的动点条件的动点P的轨迹方程的轨迹方程. (1)PAB的周长为的周长为10； (2)圆圆P与圆与圆A外切外切(P为动为动 圆圆心圆圆心)； (3)圆圆P与圆与圆A外切且与直线外切且与直线x=1相切相切(P为为 动圆的圆心动圆的圆心). 例例3 知双曲线知双曲线 =1(m0,n0)的顶的顶 点为点为A1、A2，与，与y轴平行的直线轴平行的直线l交双曲线交双曲线 于点于点P、Q， 求直线求直线A1P与与A2Q的交的交 点点M的轨迹方程的轨迹方程. 22 22 xy mn 例例4 自抛物线自抛物线y2=2x上恣意一点上恣意一点P向其向其 准线准线l引垂线，垂足

8、为引垂线，垂足为Q，衔接顶点，衔接顶点O 与与P的直线和衔接焦点的直线和衔接焦点F与与Q的直线交的直线交 于于R点，求点，求R点的轨迹方程点的轨迹方程. 1.曲线与方程关系的了解曲线与方程关系的了解. (1)曲线方程的本质就是曲线上恣意曲线方程的本质就是曲线上恣意 一点的横、纵坐标之间的关系，这种关一点的横、纵坐标之间的关系，这种关 系同时满足两个条件：曲线上一切点系同时满足两个条件：曲线上一切点 的坐标均满足方程；适宜方程的一切的坐标均满足方程；适宜方程的一切 点均在曲线上点均在曲线上. (2)假设曲线假设曲线C的方程是的方程是f(x,y)=0,那么那么 点点P0(x0,y0)在曲线在曲线C

9、上的充要条件是上的充要条件是 f(x0,y0)=0. (3)视曲线为点集，曲线上的点应满足视曲线为点集，曲线上的点应满足 的条件转化为动点坐标所满足的方程，那的条件转化为动点坐标所满足的方程，那 么曲线上的点集么曲线上的点集(x,y)与方程的解集之间建与方程的解集之间建 立了一一对应关系立了一一对应关系. 2.求轨迹方程方法本质分析求轨迹方程方法本质分析. (1)轨迹问题的本质就是用动点的两坐轨迹问题的本质就是用动点的两坐 标标x,y一一对应的提示曲线方程解的关系一一对应的提示曲线方程解的关系.在在 实践计算时，我们可以简单地以为，求曲实践计算时，我们可以简单地以为，求曲 线方程就是求曲线上动

10、点的坐标之间的关线方程就是求曲线上动点的坐标之间的关 系系.当两坐标之间的关系为直接关系当两坐标之间的关系为直接关系f(x,y)=0， 就是曲线方程的普通方式就是曲线方程的普通方式; 当当x,y的关系用一个变量的关系用一个变量(如如t变量变量)表示时，表示时， 坐标之间的关系就是间接关系，这时的表示坐标之间的关系就是间接关系，这时的表示 式就是曲线的参数方程式就是曲线的参数方程.所以处理问题时，所以处理问题时， 应该紧紧围绕寻觅点的两坐标之间的关系展应该紧紧围绕寻觅点的两坐标之间的关系展 开探求开探求. (2)定义法求轨迹是不同于其他求轨迹定义法求轨迹是不同于其他求轨迹 的思想方法，它从动点运动的规律出发，整的思想方法，它从动点运动的规律出发，整 体把握点在运动中不动的、不变的要素，从体把握点在运动中不动的、不变的要素，从 而得到了动点运动规律满足某一关系，简单而得到了动点运动规律满足某一关系，简单 地说，就是在思想的初期，先不用设点的坐地说，就是在思想的初期，先不用设点的坐 标，而直接找动点所满足的几何性质标，而直接找动点所满足的几何性质(往往往往 是间隔的等量关系是间隔的等量关系). 由于解析几何研讨的几何对象的局限性，由于解析几何研讨的几何对象的局限性， 直线、