河南省新乡名校2020─2021学年高二数学下学期期末联考试题理₍含答案₎

1、河南省新乡名校2020-2021学年高二数学下学期期末联考试题 理（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合，若，则实数的取值范围是（ ）ABCD2已知复数（为虚数单位），则（ ）ABCD3已知等差数列的前项和为，若，则（ ）ABCD4党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化若到2035年底我国人口数量增长至亿，由2013年到2019年（依次对应的年份代号为到）的统计数据可得国内生产总值（）（单位：万亿元）关于年

2、份代号的回归方程为，且2020年到2035年关于也满足此回归方程，则由该回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值（单位：万元）约为（ ）ABCD5北斗导航系统由颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（ ）ABCD6设函数，则使不等式成立的实数的取值范围是（ ）ABCD7已知，若，则向量，夹角的正切值为（ ）ABCD8已知某个数据的平均数为，方差为，现加入和两个

3、新数据，此时个数据的方差为（ ）ABCD9设，随机变量的分布列是若，则（ ）A，B，C，D，10已知某物种经过年后的种群数量近似满足冈珀茨模型：，当时，的值表示2021年年初的种群数量若年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的，则的最小值为（参考值：）ABCD1l已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点若的中点坐标为，则的方程为（ ）ABCD12若函数与函数的图象在区间上有且仅有一个公共点，则实数的取值范围为（ ）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若二项式的展开式中第项与第项的系数相同，则其常数项是_14南宋著名数学家杨辉在1261年所著的详解九章算

4、法中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学史上的一个伟大的成就在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列，设该数列前项和为，若数列满足，则_15中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形若椭圆与双曲线的离心率分别为，且，则_16如图，正四棱锥的每个顶点都在球的球面上，侧面是等边三角形若半球的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球的体积与球的体积的比值为_三、解答题（共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17

5、在中，角，所对的边分别为，且（1）求；（2）若，求的值；求的面积18中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回为了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）关注没关注合计男女合计附：，其中（1）完成上面的列联表，试问是否有的把握认为“对嫦娥五号关注程度与性别有关”；（2）若将频率视为概率

6、，现从该中学高三的女生中随机抽取人，记被抽取的名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量，求的分布列及数学期望19如图，在三棱柱中，是上一点，是的中点，且平面（1）证明：；（2）若平面，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值20已知是抛物线：的准线上的任意一点，过点作的两条切线，其中，为切点（1）证明：直线过定点，并求出定点坐标；（2）若直线交椭圆：于，两点，求的最小值21已知函数（，）（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若关于的方程有两个实数根，且，求证：【选考题】请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22【选修4-4：坐标系与参数

7、方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程;（2）设直线与曲线相交于，两点，点，求的值23【选修4-5：不等式选讲】已知函数（，）（1）当时，解不等式；（2）若函数的最大值为，求的最小值新乡名校20202021学年下期期未联考高二数学（理）答案一、选择题题号123456789101112答案1【解析】因为，所以，所以，由于，所以故选：2【解析】因为，所以故选：3【解析】设等差数列的首项为，公差为，由，可得解得，所以，故故选：4【解析】到2035年底对应的年份代号为，由回归方程得，我

8、国国内生产总值约为（万亿元），又，所以到2035年底我国人均国内生产总值约为方元故选：5【解析】因为玉衡和天权都没有被选中的概率为，所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为故选：6【解析】函数的定义域为，所以函数是奇函数，并由解析式可知函数是增函数，原不等式可化为，解得，的取值范围是故选：7【解析】由题意知：，又，可得，由，又，则向量，夹角的正切值为故选：8【解析】设原数据为、，则，加入和两个新数据后，所得个数据的半均数为，所得个数据的方差为故选：9【解析】由分布列可知：，即联这方程组：，解得：故选：10【解析】因为当时，的值表示2021年年初的种群数量，所以有，即2021年年初的种群数量为，当年

9、后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的，所以有，即，所以，则，所以，即，得，所以的最小值为选：11【解析】设点、，则，两式作差得：，整理可得设线段的中点为，即，另一方面，所以，所以，解得，故椭圆的方程为故选：12【解析】由题意知方程，即在区间上有且仅有一个解令，则在上有且仅有一个零点，当时，所以，所以，故函数在区间上单调递增，又函数在区间上只有一个零点，所以结合考点有在性定理可得解得，即的取值范围是故选：二、填空题13 14 15 1613【解析】由已知条件可得，所以，二项式的展开式通项为，令，解得，因此，展开式中的常数项为故答案为：14【解析】因为每一行的数字之和构成的数列为等比数

10、列，且第一行数字和为，第二行数字和为，第三行数字和为，所以该等比数列首项为，公比，所以，所以，所以故答案为：15【解析】设椭圆与双曲线的标准方程为，（，），焦距为，由于是以为底边的等腰三角形，且，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，即，故，两边同除以，可得，又，可得故答案为：16【解析】设球、球的半径分別为，连接，如图，因为四棱锥的每个顶点都在球的球面上，侧面是等边三角形，在中，所以，所以，因为半球的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，所以，解得，则半球的体积与球的体积的比为故答案为三、解答題17【解析】（1）由得，由余弦定理知，又，所以（2）由正弦定理，有，又，所以，所以，所以

11、由，即，解得（舍去负根），所以18【解析】（1）列联表如下：关注没关注合计男女合计，所以有的把握认为“对嫦娥五号关注程度与性別有关”（2）因为随机选一个高三的女生，对此事关注的概率为，由题意知，所以随机变量的分布列为：故19【解析】（1）证明：连接，因为四边形是半行四边形，所以，三点共线，且是中点因为平面平面，且平面，平面，所以，所以是中点，即（2）因为平面，所以，因为平面平面，所以是二面角的平面角，因为面面，所以，所以，两两垂直，以坐标点，以，为，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，因为，所以设，则，,则，所以，设平面的法向量为，则，即取，得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成

12、角的正弦值为20【解析】（1）由题意，设，由，得，所以切线的程为：，又，所以的方程可化为：，同理，切线的方程为：因为直线、直线都过点，把的坐标代入两方程，得和故点，都在直线：上，而直线过定点，所以直线过定点（2）设直线的方程为（总在），由方程组消去可得：，因为，所以，所以，由方程组消去可得：，因为，所以，所以，所以所以的最小值为21，【解析】（1）因为，所以，当时，对任意的成立；当时，令，得；令，得综上，当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调减，在区间上单调递增（2）证明：当时，方程，即为由题意得，两式相减得：，即，故，所以，所以，令，则，设，则，因为，所以的，所以在区间上单调递增又当时，所以当时，即，所以当时，即22【解析】（1）由曲线的参数方程：（为参数），消去参数，可得