选修立体几何中的向量方法PPT学习教案

1、会计学1 选修立体几何中的向量方法选修立体几何中的向量方法 空间“距离”问题 1. 空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算， 利用公式 或 (其中 ) ，可将两点距离问题 转化为求向量模长问题 2 aa 222 zyxa ),(zyxa 第1页/共15页 如图，60的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个 二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB4，AC6，BD 8，求CD的长. B A C D 注注: :利利用用本本题题中中的的向向量量关关系系我我们们还还可可以以倒倒过过来来求求二二 面面角角的的大大小小. . 第2页/共15页 例1：如图1：一个结晶体的形状为

2、四棱柱，其中，以顶点A为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点 为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ A1 B1 C1 D1 A B C D 图1 解：如图1，设 BADADAAAB， 1 1 60 11 DAABAA 化为向量问题 依据向量的加法法则， 11 AAADABAC 进行向量运算 2 1 2 1 )(AAADABAC )(2 11 2 1 22 AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以 6| 1 AC 回到图形问题 这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。1 AC 6 第3页/共15页 思考： （1）本题

3、中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？ （2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等 ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角 都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的 长可以确定棱长吗? A1 B1 C1 D1 A B C D 11 BBBCBABD 60 120 11 BCBABBABC，其中其中 分析: 分析: 1111 DAABAABADxAAADABaAC，设设 11 AAADABAC 则由则由 )(2 11 2 1 222 1 AAADAAABADABAAADABAC )cos3(23 222 xxa 即即 ax cos63 1 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。 第4页/共15页 （3

4、）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？ 设AB=1 （提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离） A1 B1 C1 D1 A B C D H 分析：面面距离点面距离 . 11 HACHAA于点于点平面平面点作点作过过 解： . 1 的的距距离离为为所所求求相相对对两两个个面面之之间间则则HA 111 AAADABBADADAABA 且且由由 . 上上在在 ACH 3 360cos211)( 2 2 ACBCABAC . 160cos60cos)( 1111 BCAAABAABCABAAACAA 3 1 | cos 1 1 1 ACAA ACAA ACA 3 6 sin 1

5、ACA 3 6 sin 111 ACAAAHA 所求的距离是 。 3 6 问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？ 第5页/共15页 n A P O 2、向量法求点到平面的距离 ： 第6页/共15页 例例 2:2: 如图，已知正方形如图，已知正方形 ABCD 的边长为的边长为 4，E、F 分分 别是别是 AB、AD 的中点，的中点，GC平面平面 ABCD，且，且 GC2， 求点求点 B 到平面到平面 EFG 的距离的距离. D A B C G F E x y z 第7页/共15页 A P D C B M N 第8页/共15页 解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz 则D(0,0,

6、0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, ) 2aa2aaa A P D C B M N z x y 第9页/共15页 n a b C D A B CD为a,b的公垂线 则 | | n ABn CD A，B分别在直线a,b上 已知a,b是异面直线，n为的法向量 3. 异面直线间的距 离 即 间的距离可转化为向量 在n上的射影长， 21,l lCD 第10页/共15页 1111 0 1 3.4, 2,90 , ABCABCAAABC ACBCBCAEABCEAB 例 已知：直三棱柱的侧棱底面中 为的中点。求与的距离。 z x y A B C C1 ).4 , 2

7、, 0(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(, 1 BAECxyzC则解：如图建立坐标系 ),4 , 2 , 2(),0 , 1 , 1 ( 1 BAEC 则的公垂线的方向向量为设).,(, 1 zyxnBAEC 0 0 1 BAn ECn 即 0422 0 zyx yx 取x=1,则y=-1,z=1,所以 ) 1 , 1, 1 ( n ).0,0, 1 (,ACAC 在两直线上各取点 . 3 32 | | 1 n ACn dBAEC 的距离与 E A1 B1 第11页/共15页 1、E为平面外一点,F为内任意一 点, 为平面的法向量,则点E到平面的 距离

8、为: n | | n EFn d 2、a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b 上的点, 是a,b公垂线的方向向量, 则a,b间距离为 | | n EFn d n 第12页/共15页 D A B C G F E x y z (2, 2,0),( 2, 4,2),EFEG nEF nEG ， |BE|2 11 . 11 n d n 220 2420 xy xyZ 1 1 (,1), 3 3 n B(2,0,0)E 例例 2 2: : 如图，已知正方形如图，已知正方形 ABCD 的边长为的边长为 4，E、F 分分 别是别是 AB、AD 的中点，的中点，GC平面平面 ABCD，且，且 GC2， 求点求点 B 到平面到平面 EFG 的距离的距离. 第13页/共15页 3如图 3-5，已知两条异面直线所成的角为， 在直线 a、b 上分别取 E、F，已知 AE=m，AF=n， EF=l，求公垂线 A A的长 d. EFEAA AAF 解： 2 2 ()EFEAA AAF 222 2()EAA