【尖子生】圆的切点弦方程的求法探究

1、【尖子生】圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察， 用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。一、预备知识：2 2 21、在标准方程（x-a） ，（y-b）二r下过圆上一点 P（ xo,y。）的切线方程 为：（X。-a）（x-a） （y -b）（y-b） =r2；2 2 2 2在一般方程 X y Dx Ey F =0（ D E -4F 0） 下过圆上一点P（xo, yo）的切线方程为：X十Xoxx0

2、yy0 DyE2、两相交圆x2y2D1x EF0(D12E14F10 )与2 2 2 2x yD2x E2y F2 =0 ( D2E2 - 4F2 0)的公共弦所在的直线方程为：(D1 -D2)x 伯-E2)y (R -F2) =0 。3、过圆 x2 y2 Dx Ey F =0( D2 E2 -4F 0)外一点P(X1,yJ作圆的切线，其切线长公式为：| PA|X； y： Dx1 Ey1 F。4、过圆 x2 y2 Dx Ey F = 0 ( D2 E2 _4F 0)外一点P（为，力）作圆的切线，切点弦 AB所在直线的方程为：2（X1 -a）（x-a） （如-b）（y-b）二r （在圆的标准方程

3、下的形式）；XX t yy tD上 匕E 空亠F =0 （在圆的一般方程下的形式）、题目 已知圆X2 + y2 2x 4y - 4 = 0外一点P （-4，-1），过点P作圆解法一：用判别式法求切线的斜率X的切线PA PB,求过切点A、B的直线方程。 三、解法即kx - y 4k -1 = 0如图示1,设要求的切线的斜率为 k （当切 线的斜率存在时），那么过点P（ -4，-1 ）的切线 方程为：y -（一1） =kx -（一4）消去y并kx_y+4k_1=0X2 + y2 _2x _4y _4 = 0整理得2 2 2 2(1 k )x (8k 6k2)x(16k 24k1)=0令 ,=(8k

4、2 -6k -2)2 -4(1 k2)(16k2 -24k 1) =0解得k =0或 k =15将k = 0或k分别代入解得8x = 1、x = 一2817从而可得 A( 一28,58)、B(1,-1),1717再根据两点式方程得直线 AB的方程为:解法二：用圆心到切线的距离等于圆的半径求切线的斜率P( -4 ,如图示1,设要求的切线的斜率为 k （当切线的斜率存在时），那么过点-1 ）的切线方程为： y 一（_1） =kx -（-4）即 kx - y 4k -1 = 0由圆心C（1,2）至U切线kx - y 4k -1 =0的距离等于圆的半径 3，得|k 1 -2 4k -1| 3.k2 （

5、-1）2-15 解得k = 0或k二卫15x - 8 y 52 = 0 和 y - -18所以切线PA PB的方程分别为： 从而可得切点 A（空，）、B（1,-1）,1717再根据两点式方程得直线AB的方程为：5x 3y -2 =0。解法三：用夹角公式求切线的斜率如图示1,设要求的切线的斜率为k，根据已知条件可得|PCiSE=3，k”r 詁在 Rt PAC 中，|PA|=5 , tg CPA由夹角公式，得解得所以切线PA15=0或k亠8PB的方程分别为:15x8y 52 = 0 和 y = -17从而可得切点B(1,-1),28 58A（ ,）、17 17再根据两点式方程得直线 AB的方程为：

6、5x，3y-2=0。解法四：用定比分点坐标公式求切点弦与连心线的交点如图示1,根据已知条件可得|PC|= ,1二（】）22二（二1）2= 34 , r =3, kPC二色1 （4）5PH 25 在 Rt.FAC 中，|PA|=5 , AH_PC,从而可得 HC 9由定比分点公式，得H(一 113431)又因为kAB =1kPC再根据点斜式方程得直线 AB的方程为：5x - 3y2 = 0。解法五：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之P为圆心|PA|为半径的如图示2,因为|PA|=|PB|，所以直线 AB就是经过以圆C与圆X2 y2 - 2x -4y 一4 = 0的交点的直线，由切线长公式得|

7、PA|= .（一4）2 （-1）2 一2 （_4） 一4 （一1） 一4 =5所以圆C的方程为 x2 y2 8x 2y8 = 0根据两圆的公共弦所在的直线方程，得5x 3y - 2 = 0即直线AB的方程为：5x3y-2=0。解法六：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之如图示3，因为PA丄CA PB丄CB所以P、A、C B四点共圆，根据圆的直径式方程，以P（-4，-1 ）、C （1，2）为直径端点的圆的方 程为x -（一4）（x -1） y -（一1）（y -2） =0即 X2 亠 y2 亠3x_y 6 = 0根据两圆的公共弦所在的直线方程，得 5x 3y - 2 = 0即直线AB的方程为：

8、5x 3y - 2 =0。解法七：运用圆的切线公式及直线方程的意义设切点A B的坐标分别为（x1, y1）、（x2, y2），根据过圆上一点的切线方程，得切线PA PB的方程分别为xx 1 yy 121 - 4-2 2 4=0xx 2 亠 yy 2 - 2亠 x 22y y22-4=0因为P（ -4，-1 ）是以上两条切线的交点，将点 P的坐标代入并整理，得5xB（x2, y2），所以，直线AB的方程为：5x，3y-2=0。解法八：直接运用圆的切点弦方程因为P（-4，-1 ）是圆x2 y2 -2x -4y -4 =0外一点，根据切点弦所在直线的 方程 xx 1 yy 1 D -E 也 F = 0 得2 24x -( - 1)4 y2 %( - 4)_ 4 .2 _ 4 = 022整理得，直线 AB的方程为：5x3y-2=0。解法九：运用参数方程的有关知识如图4,将圆的普通方程 x2 y2 _2x _4y 一4 =0化为参数方程:x =1 +3cos 日y = 2 3sin) 设切点A的坐标为( (2 - 3sinr) -(-1) (1 3cosR -(一4)（其中二为参数）1+3cos日，2+3sin日)，由 pa丄CA得纟 3sin -2 一1化简，整理得(1 3cos旳-15cos 3sin 二 3 = 02 - (-1)3又因为k PC =C