123角的平分线的性质

1、1 12 2.3.3.1.1角平分线的性质角平分线的性质 1.通过操作、验证等方式，通过操作、验证等方式， 掌握掌握角平分线的性质角平分线的性质定理定理 2.能能运用运用角的平分线性质定理角的平分线性质定理 解决解决简单的几何问题简单的几何问题. . 复习提问复习提问 1 1、角平分线的概念、角平分线的概念 o B C A 1 2 2.下图中能表示点下图中能表示点P到直线到直线l的距离的是的距离的是线段线段PC的长的长 如图如图,是一个平分角的仪器是一个平分角的仪器,其中其中AB=AD,BC=DC. 将点将点A放在角的顶点放在角的顶点,AB和和AD沿着角的两边放下沿着角的两边放下,沿沿 AC画

2、一条射线画一条射线AE,AE就是角平分线就是角平分线.你能说明它的道你能说明它的道 理吗理吗? 经过上面的探索，你能得经过上面的探索，你能得 到作已知角的平分线的方到作已知角的平分线的方 法吗？小组内互相交流一法吗？小组内互相交流一 下吧！下吧！ 探究探究1-想一想想一想 作法作法: 以以O为圆心为圆心,任意长为半径作任意长为半径作 弧弧,交交OA于于M,交交OB于于N. 分别以分别以M,N为圆心为圆心,大于大于 的长为半径作弧的长为半径作弧,两弧在两弧在 AOB的内部交于点的内部交于点C. 作射线作射线OC, 射线射线OC即为所求即为所求. 1 2 MN 0 温馨提示温馨提示: 作角平分线是

3、最基本的作角平分线是最基本的 尺规作图尺规作图,大家一定要掌握噢大家一定要掌握噢! 试一试试一试 由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法 已知:AOB. 求作:AOB的平分线. 1 1平分平角平分平角AOBAOB 2 2通过上面的步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OCOC以后，以后， 把它反向延长得到直线把它反向延长得到直线CDCD，直线，直线CDCD与直线与直线 ABAB是什么关系？是什么关系？ 3 3结论：作平角的平分线即可平分平角，结论：作平角的平分线即可平分平角， 由此也得到过直线上一点作这条直线的垂由此也得到过直线上一点作这条直线的垂

4、 线的方法。线的方法。 AB O C D 探究角平分线的性质探究角平分线的性质 (1)实验：将AOB对折，再折出一个直角三角形 （使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形 成的三条折痕，你能得出什么结论？ (2)(2)猜想猜想: :角的平分线上的点角的平分线上的点 到角的两边的距离相等到角的两边的距离相等. . 证明几何命题的一般步骤： 1、明确命题的已知和求证 2、根据题意，画出图形，并用数学 符号表示已知和求证； 3、经过分析，找出由已知推出求证 的途径，写出证明过程。 已知：已知：OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在 OC上，上，PD OA ，PE OB，垂足分，垂足分 别

5、是别是D、E. 求证：求证：PD=PE. A O B P E D 证一证证一证 角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等 你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？ 说一说 A O B P E D PD OA ，PE OB OP平分平分AOB PD=PE. 用符号表示为：用符号表示为： 角平分线的性质角平分线的性质 B A D O P E C 定理应用所具备的条件：定理应用所具备的条件： （1 1）角的平分线；）角的平分线； （2 2）点在该平分线上；）点在该平分线上； （3 3）垂直距离。）垂直距离。 定理的作用：定理的作用： 证明线

6、段相等。证明线段相等。 1、如图, ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 A B C P M ND E F 证明：过点证明：过点P作作PDAB于于D，PEBC 于于E，PFAC于于F BM为为ABC的角平分线的角平分线 PD=PE 同理同理,PE=PF. PDPE=PF 即点即点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等 用一用（用一用（1 1） w已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分 线,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是 E,F. w求证:EB=FC. 温馨提示温馨提示: 做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到 自己的认

7、知结构中去. B A E D C F 用一用用一用(2) 例：如图，ABC中，C=90，AD是ABC 的角平分线，DEAB于E，F在AC上， BD=DF，求证：CF=EB D F E CB A 应用与提高 AD平分CAB DEAB，C90（已知） CDDE (角平分线的性质) 在tCDF和RtEDB中 CD=DE （已证） DF=DB （已知） RtCDF RtEDB (HL) CF=EB（全等三角形对应边相等） 证明： D F E CB A 丰收乐园 回味无穷回味无穷 w定理（文字语言）定理（文字语言）: : 角平分角平分 线上的点到这个角的两边的线上的点到这个角的两边的 距离相等距离相等. . w符号语言：符号语言： 1 12 2 PDOA,PEOB(PDOA,PEOB(已知）已知） PD=PE( PD=PE(角平分线上的点角平分线上的点 到这个角的两边距离相等到这个角的两边距离相等).). w用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线. . O C B 1 A 2 P D E