2020届全国大联考高三第四次联考数学(理)试题(解析版)(总17页)

1、2020届全国大联考高三第四次联考数学（理）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】分别求解集合再求并集即可.【详解】因为,所以.故选：B【点睛】本题考查集合的运算与二次不等式的求解以及指数函数的值域等.属于基础题.2若直线与圆相交所得弦长为，则（ ）A1B2CD3【答案】A【解析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.【详解】圆的标准方程,圆心坐标为,半径为,因为直线与圆相交所得弦长为,所以直线过圆心,得,即.故选：A【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.3抛物线的准线方程是，则实数（ ）ABCD【答案】C【解析】根据准线的方程写出抛

2、物线的标准方程,再对照系数求解即可.【详解】因为准线方程为,所以抛物线方程为,所以,即.故选：C【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.4已知，则p是q的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据诱导公式化简再分析即可.【详解】因为,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分条件.故选：B【点睛】本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.5一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ）ABCD【答案】D【解析

3、】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得即可得圆锥轴截面底角的大小.【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有,解得,所以圆锥轴截面底角的余弦值是,底角大小为.故选：D【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.6已知F是双曲线（k为常数）的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为（ ）A2kB4kC4D2【答案】D【解析】分析可得,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可.【详解】当时,等式不是双曲线的方程；当时,可化为,可得虚半轴长,所以点F到双曲线C的一条渐近线的距离为2.故选：D【点睛】本题考查双曲线的方程与点

4、到直线的距离.属于基础题.7关于函数在区间的单调性，下列叙述正确的是（ ）A单调递增B单调递减C先递减后递增D先递增后递减【答案】C【解析】先用诱导公式得,再根据函数图像平移的方法求解即可.【详解】函数的图象可由向左平移个单位得到,如图所示,在上先递减后递增.故选：C【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.8在棱长为a的正方体中，E、F、M分别是AB、AD、的中点，又P、Q分别在线段、上，且，设平面平面，则下列结论中不成立的是（ ）A平面BC当时，平面D当m变化时，直线l的位置不变【答案】C【解析】根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可.【详解】因为,所以,因为E、F分别

5、是AB、AD的中点,所以,所以,因为面面,所以.选项A、D显然成立；因为,平面,所以平面,因为平面,所以,所以B项成立；易知平面MEF,平面MPQ,而直线与不垂直,所以C项不成立.故选：C【点睛】本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.9已知抛物线，F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦，若，则的面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据可知,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.【详解】由题意可知抛物线方程为,设点点,则由抛物线定义知,则.由得,则.又MN为过焦点的弦,所以,则,所以.故选：A【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.10在中，内角A

6、，B，C所对的边分别为a，b，c，且.若，的面积为，则（ ）A5BC4D16【答案】C【解析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得,再根据面积公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【详解】中,由正弦定理得,又,又,又,.,由余弦定理可得,可得.故选：C【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.11存在点在椭圆上，且点M在第一象限，使得过点M且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可.【详解】因为过点M椭圆的切线方程为,所以切线的斜率为,由,解得,即,所以,所以.

7、故选：D【点睛】本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.12已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，其底面边长为4，、分别为侧棱，的中点.若在三棱锥内，且三棱锥的体积是三棱锥体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥体积的比值为（ ）ABCD【答案】D【解析】如图，平面截球所得截面的图形为圆面，计算，由勾股定理解得，此外接球的体积为，三棱锥体积为，得到答案.【详解】如图，平面截球所得截面的图形为圆面.正三棱锥中，过作底面的垂线，垂足为，与平面交点记为，连接、.依题意，所以，设球的半径为，在中，由勾股定理：，解得，此外接球的体积为，由于平面平面，所以平面，球心到平面的距离为，则，所以三

8、棱锥体积为，所以此外接球的体积与三棱锥体积比值为.故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.二、填空题13若双曲线的两条渐近线斜率分别为，若，则该双曲线的离心率为_.【答案】2【解析】由题得,再根据求解即可.【详解】双曲线的两条渐近线为,可令,则,所以,解得.故答案为：2.【点睛】本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.14已知在等差数列中，前n项和为，则_.【答案】39【解析】设等差数列公差为d,首项为,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得即可.【详解】设等差数列公差为d,首项为,根据题意可得,解得,所以.故答案为

9、：39【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前n项和的公式,属于基础题.15已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，直线过抛物线的焦点与抛物线交于、两点和椭圆交于、两点，为抛物线准线上一动点，满足，当面积最大时，直线的方程为_.【答案】【解析】根据均值不等式得到，根据等号成立条件得到直线的倾斜角为，计算得到直线方程.【详解】由椭圆，可知，（当且仅当，等号成立），直线的倾斜角为，直线的方程为.故答案为：.【点睛】本题考查了抛物线，椭圆，直线的综合应用，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.16已知三棱锥，是边长为4的正三角形，分别是、的中点，为棱上一动点（点除外），若异面直线与所成的角为，且，则_

10、.【答案】【解析】取的中点，连接，取的中点，连接，直线与所成的角为，计算，根据余弦定理计算得到答案。【详解】取的中点，连接，依题意可得，所以平面，所以，因为，分别、的中点，所以，因为，所以，所以平面，故，故，故两两垂直。取的中点，连接，因为，所以直线与所成的角为，设，则，所以，化简得，解得，即.故答案为：.【点睛】本题考查了根据异面直线夹角求长度，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题17在数列和等比数列中，.（1）求数列及的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.【答案】（1），（2）【解析】(1)根据与可求得,再根据等比数列的基本量求解即可.(2)由(1)可得,再利用错位相减求和即

11、可.【详解】解：（1）依题意,设数列的公比为q,由,可知,由,得,又,则,故,又由,得. （2）依题意.,则,-得,即,故.【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题.18如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，点E，F分别为棱DC，BC的中点，点G是棱SC靠近点C的四等分点.求证：（1）直线平面EFG；（2）直线平面SDB.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1) 连接AC、BD交于点O,交EF于点H,连接GH,再证明即可.(2)证明与即可.【详解】（1）连接AC、BD交于点O,交EF于点H,连接GH,所以O为AC的中点,H为OC

12、的中点,由E、F为DC、BC的中点,再由题意可得,所以在三角形CAS中,平面EFG,平面EFG,所以直线平面EFG. （2）在中,由余弦定理得,即,解得,由勾股定理逆定理可知,因为侧面底面ABCD,由面面垂直的性质定理可知平面ABCD,所以,因为底面ABCD是菱形,所以,因为,所以平面SDB.【点睛】本题考查线面平行与垂直的证明.需要根据题意利用等比例以及余弦定理勾股定理等证明.属于中档题.19设抛物线过点.（1）求抛物线C的方程；（2）F是抛物线C的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】(1)代入计算即可.(2) 设直线AB的方程为,再联立直线与抛

13、物线的方程,消去可得的一元二次方程,再根据韦达定理与求解,进而利用弦长公式求解即可.【详解】解：（1）因为抛物线过点,所以,所以,抛物线的方程为 （2）由题意知直线AB的斜率存在,可设直线AB的方程为,.因为,所以,联立,化简得,所以,所以,解得,所以.【点睛】本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.20已知在四棱锥中，平面，在四边形中，为的中点，连接，为的中点，连接.（1）求证：.（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）连接，证明，得到面，得到证明.（2）以，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，为平面的法向量，平面的一个法向量为，计算

14、夹角得到答案.【详解】（1）连接，在四边形中，平面，面，面，又面，又在直角三角形中，为的中点，面，面，.（2）以，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，设为平面的法向量，令，则，同理可得平面的一个法向量为.设向量与的所成的角为，由图形知，二面角为锐二面角，所以余弦值为.【点睛】本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.21已知函数.（1）求的单调区间；（2）讨论零点的个数.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)求导后分析导函数的正负再判断单调性即可.(2) ,有零点等价于方程实数根,再换元将原方程转化为,再求导分析的图像数形结合求解即可.【详解】（1）的定义域为

15、,当时,所以在单调递减；当时,所以在单调递增,所以的减区间为,增区间为.（2）,有零点等价于方程实数根,令则原方程转化为,令,.令,当时,当时,.如图可知当时,有唯一零点,即有唯一零点；当时,有两个零点,即有两个零点；当时,有唯一零点,即有唯一零点；时,此时无零点,即此时无零点.【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性的方法,同时也考查了利用导数分析函数零点的问题,属于中档题.22已知椭圆：的离心率为，直线：与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.为左顶点，过点的直线交椭圆于，两点，直线，分别交直线于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）以线段为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）是，定点坐标为或【解析】（1）根据相切得到，根据离心率得到，得到椭圆方程.（2）设直线的方程为，