培优材料（1） (2)

1、培优材料（1）1 （2012永州）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx1（a0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PHl，H为垂足（1）求二次函数y=ax2+bx1（a0）的解析式；（2）请直接写出使y0的对应的x的取值范围；（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值由此观察其规律，并猜想一 个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；（4） 试问是否存在实数m可使POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在， 请说明理由考点：二次函数综合题。1444826专题：压轴题。分析

2、：（1）根据二次函数y=ax2+bx1（a0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），待定系数法求出a和b的值，抛物线的解析式即可求出；（2）令y=ax2+bx1=0，解出x的值，进而求出使y0的对应的x的取值范围；（3）分别求出当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值然后观察其规律，再进行证明；（4）由（3）知OP=OH，只要OH=OP成立，POH为正三角形，求出|OP|、|OH|含有m和n的表达式，令两式相等，求出m和n的值解答：解：（1）二次函数y=ax2+bx1（a0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），解得a=，b=0，二次函数的解析式为y=x21，（2）令y=

3、x21=0，解得x=4或x=4，由图象可知当4x4时y0，（3）当m=0时，|PO|2=1，|PH|2=1；当m=2时，P点的坐标为（2，0），|PO|2=4，|PH|2=4，当m=4时，P点的坐标为（4，3），|PO|2=25，|PH|2=25，由此发现|PO|2=|PH|2，设P点坐标为（m，n），即n=m21|OP|=，|PH|2=n2+4n+4=n2+m2，故对于任意实数m，|PO|2=|PH|2；（4）由（3）知OP=PH，只要OH=OP成立，POH为正三角形，设P点坐标为（m，n），|OP|=，|OH|=，|OP|=|OH|，即n2=4，解得n=2，当n=2时，n=m21不符合条件

4、，故n=2，m=2时可使POH为正三角形2 （2012铜仁）如图，已知：直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线上有一点P,使ABO与ADP相似，求 出 点P的坐标；（3） 在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。解答：解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）抛物线经过A、B、C三点，把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组 解得：抛物线的解析式为 （2）由题意可得：ABO为等腰三角形,如图所示，若ABOAP1D，则DP1=AD=4 ,P1（21世纪教育网版权所有）若ABOADP2 ，过点P2作P2 Mx轴于M，AD=4, ABO为等腰三角形, ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，即点M与点C重合P2（1，2）（3）如图设点E ，则 当P1(-1,4)时，S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE = 点E在x轴下方 代入得： ,即 =(-4)2-47=-120此方程无解当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP