【新步步高】高考数学(理)一轮复习第四章三角函数解三角形4.7

1、4.7解三角形的综合应用 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习基础知识自主学习 2.方向角方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等. 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线 在水平视线 叫仰角，目标视线在水平视线 叫俯角(如图). 1.仰角和俯角仰角和俯角 知识梳理 上方下方 指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如 图). 3.方位角方位角 正北 1.三角形的面积公式： 知识知识拓展拓展 2.坡度(又称坡比)：坡面的垂直高度与水平长度之比. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)从

2、A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为 180.() (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0， .() (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的 位置关系.() (4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是0， ).() 思考辨析思考辨析 1.(教材改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一 测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的 距离为50 m，ACB45，CAB105后，就 可以计算出A，B两点的距离为 考点自测 答案解析 2.若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC， 则点A在点B的 A.北偏东15

3、B.北偏西15 C.北偏东10 D.北偏西10 答案解析 如图所示，ACB90， 又ACBC， CBA45，而30， 90453015， 点A在点B的北偏西15. 3.(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB10 n mile，从A望C和B 成60视角，从B望C和A成75视角，则BC等于答案解析 如图，在ABC中， AB10，A60，B75， 4.如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60，30， 则A点离地面的高度AB_. 答案解析 5.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动 力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东

4、30，风速是20 km/h； 水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪 水中漂行的速度的方向为北偏东_，速度的大小为_ km/h. 答案解析 60 如图，AOB60， 由余弦定理知OC2202202800cos 1201 200， 题型分类深度剖析题型分类深度剖析 题型一求距离、高度问题题型一求距离、高度问题 例例1(1)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为 75，30，此时气球的高AD是60 m，则河流的宽度BC等于 答案 解析 如图，在ACD中，CAD903060，AD60 m， 在ABD中，BAD907515， (2)(2016三明模拟)在2

5、00 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角 分别为30，60，则塔高是_ m. 答案解析 如图，设塔AB高为h，在RtCDB中， CD200 m，BCD906030， 在ABC中，ABCBCD30，ACB603030， BAC120. 思维升华 求距离、高度问题应注意 (1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向 角的概念. (2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若 其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形 中求解. (3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的 定理. 跟踪训练跟踪训练1(1)一船以每小时

6、15 km的速度向东航行，船在A处看到一 个灯塔B在北偏东60，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏 东15，这时船与灯塔的距离为_ km.答案解析 如图，由题意，BAC30，ACB105， B45，AC60 km， (2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B 两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为 60 m，则树的高度为_m.答案解析 在PAB中，PAB30，APB15，AB60， sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30 题型二求角度问题题型二求角度问题 例例2如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其 正

7、东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在 原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏 西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北 偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos 的值为_. 答案解析 在ABC中，AB40，AC20，BAC120， 由余弦定理得 由ACB30，得cos cos(ACB30) 思维升华 解决测量角度问题的注意事项： (1)首先应明确方位角或方向角的含义； (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是 最关键、最重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定 理的“联袂”使用. 跟踪训练跟踪训练2如图，某人在垂直

8、于水平地面ABC的墙面前的点A处进行 射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大 小.若AB15 m，AC25 m，BCM30，则tan 的最大值是_ (仰角为直线AP与平面ABC所成角). 答案解析 如图，过点P作POBC于点O， 连接AO，则PAO. 在RtABC中，AB15 m，AC25 m， 所以BC20 m. 题型三三角形与三角函数的综合问题题型三三角形与三角函数的综合问题 (1)求函数f(x)的最小正周期和单调减区间； 解答 解答 可求得bc40. 思维升华 三角形与三角函数的综合问题，要借助三

9、角函数性质的整体代换思想， 数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余 弦定理解题. (1)求f(x)的单调区间；解答 (2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 0，a 1，求ABC面积的最大值.解答 由余弦定理a2b2c22bccos A， 典例典例(12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮 船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里 的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小 艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相 遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则

10、小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即 确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇， 并说明理由. 函数思想在解三角形中的应用 思想与方法系列思想与方法系列10 规范解答思想方法指导 已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余 弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型， 转化为函数最值问题解决. 返回 解解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则 1 分 (2)设小艇与轮船在B处相遇. 则v2t2400900t222030tcos(9030)，8分 此时，在OAB中，有OAOBAB

11、20.11分 故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时.12分 返回 课时作业课时作业 1.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直 线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔， 其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B， C两点间的距离是 答案解析 如图所示，易知，在ABC中， AB20，CAB30，ACB45， 12345678910111213 2.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA 60，则A，C两点之间的距离为 答案解析 如图，在ABC中，由已知可得ACB45，

12、 12345678910111213 3.一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在 一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另 一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时 答案解析 如图所示，依题意有BAC60，BAD75， 所以CADCDA15，从而CDCA10， 在RtABC中，得AB5， 12345678910111213 12345678910111213 4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分 别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的 顶端A看建筑物CD的张角为 A.30 B.45C.60 D.75 答案解析 又C

13、D50，所以在ACD中， 又0CAD180，所以CAD45， 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45. 12345678910111213 5.如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在 同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15， BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为 60，则塔高AB等于 答案解析 在BCD中，CBD1801530135. 12345678910111213 12345678910111213 6.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的 水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45， 沿点A向北偏东30前进100 m到

14、达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度是 A.50 m B.100 mC.120 m D.150 m 答案解析 设水柱高度是h m，水柱底端为C， 在ABC中，A60，ACh，AB100， 即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50， 故水柱的高度是50 m. 12345678910111213 7.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平 面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底 部连线成30角，则两条船相距_m.答案解析 如图，OMAOtan 4530 (m)， 12345678910111213 在MON中，由

15、余弦定理得 8.如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东 30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00 到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与 它相距 n mile.此船的航速是_ n mile/h. 答案解析 32 设航速为v n mile/h， 12345678910111213 9.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇 形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条 平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 分钟，从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米， 则该扇形的半径为_米.答案解析 如图，连接OC，在OCD中，

16、 OD100，CD150，CDO60. 由余弦定理得 OC2100215022100150cos 6017 500， 12345678910111213 *10.在RtABC中，C90，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满 足abcx，则实数x的取值范围是_.答案解析 12345678910111213 11.要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测 得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m， 求电视塔的高度. 解答 如图，设电视塔AB高为x m， 则在RtABC中，由ACB45，得BCx. 在BDC中，由余弦定理得， BD2BC2CD22BCCDcos 120， 所以电视塔高为40 m. 12345678910111213 (1)求a和sin C的值； 又由bc2，解得b6，c4. 由a2b2c22bccos A，可得a8. 解答 12345678910111213 解答 12345678910111213 12345678910111213 *13.在海岸A处发现北偏东45方向，距A处( 1)海里的B处有一艘走私 船.在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10 海 里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向 北偏东30方向逃窜.问：缉