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1、矩阵定义与计算规则总结材料实用标准文案实用标准文案文档文档大家的线性代数学习也进行了差不多一半了对最近所学内容有什么见解可以写下来；也可以对所学知识进行一个归纳总结；或者对某种类型的题目有更好的解法也可以写下来。要求用word文档提交作业字数至少500.线性代数知识归纳总结A不可逆r（A）nAxA不可逆r（A）nAx有非零解0是A的特征值A的列（行）向量线性相关Ar（A）nAx0只有零解A的特征值全不为零A的列（行）向量线性无关ATA是正定矩阵A与同阶单位阵等价AP1P2Ps,pi是初等阵Rn,Ax总有唯一解向量组等价相似矩阵具有反身性、对称性、传递性矩阵合同“关于e,e2,en:称为？n的标

2、准基？n中的自然基单位坐标向量;e?,?线性无关；,en,entr(E)=n;任意一个n维向量都可以用e,e2,en线性表示.”行列式的计算：若A与B“行列式的计算：若A与B都是方阵（不必同阶）ABABAB|AB则1B(1)mnAB上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积ainaina2n1a2n1NNan1an1关于副对角线:(1)n(n1)2aina2nKan1V逆矩阵的求法：(AME)初等行变换(EMA1)aia2AiA2上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积ainaina2n1a2n1NNan1an1关于副对角线:(1)n(n1)2aina2nKan1V逆矩阵的求法：(AME

3、)初等行变换(EMA1)aia2AiA21adbeatbtCTdtai1a-na2a2a2an1ananAiAnAn1AnV方阵的幕的性质:AmAnAmn(Am)n(A)mnV设f(x)mam_m1am1xLaixa对n阶矩阵A规定：f(A)mamAiaiAn1m1-am1ALaiAaE为A的一个多项式.AB的列向量为V设Amn,Bns,A的列向量为1,2,n,B的列向量为1,AB的列向量为”丄,rs则：riAi,i1,2,L,s即卩A(1,2,s)(Ai,A2,L,As)用A,B中简若Wb,L,bn)T则Ab1b22Lbnn单的一个提即：AB的第i个列向量ri是A勺列向量的线性组合组合系数就

4、是i的各分量；高运算速度AB的第i个行向量_是B的行向量的线性组合组合系数就是i的各分量.V用对角矩阵左乘一个矩阵相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量;用对角矩阵右乘一个矩阵相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量V两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘Al1与分块对角阵相乘类似即：AA22o,BB22OAkkBkkAI1B11A22B22ABOAkkBkkV矩阵方程的解法：设法化成(1)A_B或(II)_AB当A0时(I)的解法：构造(AhB)初等行变换(EM_)(当B为一列时,即为克莱姆法则)(II)的解法：将等式两边转置化为atxtbt,用(I)的方法求出_T再

5、转置得_VAx和Bx同解(A,B列向量个数相同)则：它们的极大无关组相对应从而秩相等;它们对应的部分组有一样的线性相关性;它们有相同的内在线性关系?V判断1,2丄s是Ax0的基础解系的条件：1,2L,s线性无关；1,2,L,s是Ax0的解；snr(A)每个解向量中自由变量的个数零向量是任何向量的线性组合零向量与任何同维实向量正交.单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.部分相关,整体必相关；整体无关部分必无关.原向量组无关接长向量组无关；接长向量组相关原向量组相关.两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关向量组向

6、量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n1个向量线性表示.向量组线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余1个向量线性表示.m向量组向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n1个向量线性表示.向量组线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余1个向量线性表示.m维列向量组2,n线性相关r(A)n;m维列向量组1,线性无关r(A)n.中任一向量i(1wiwn)都是此向量组的线性组合.r(A)0A线性无关而线性相关线性无关而线性相关则可由n线性表示且表示法惟矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数?矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩且不改变列向量间的线性关系.矩阵的列初

7、等变换不改变矩阵的秩且不改变行向量间的线性关系.向量组等价|1,2,n和1,2,n可以相互线性表示?记作：1,2,n%1,2,矩阵等价A经过有限次初等变换化为B.记作：A%B矩阵A与B等价r(A)r(B)代B作为向量组等价即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A与B作为向量组等价r(1,2,n)r(1,2,n)r(1,2,n,1,2,n)矩阵A与B等价?向量组1,2,s可由向量组1,2,n线性表示r(1,2,n,1,2,s)r(1,2,n)r(1,2,s)Wr(1,2,n)?向量组1,2,s可由向量组1,2,n线性表示且Sn则1,2,s线性相关?向量组1,2,s线性无关,且可由1,2,n线性表示则

8、s<n.向量组1,2,s可由向量组1,2,n线性表示且r(1,2,s)r(1,2,n),则两向量组等价；任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价且这两个组所含向量的个数相等若两个线性无关的向量组等价则它们包含的向量个数相等若A是mn矩阵则r(A)minm,n,若r(A)mA的行向量线性无关;若r(A)n,A的列向量线性无关即:1?2,线性无关.向量式_11_22Lxnna11a12La1n%a21a22La2n_2A,xMMMMam1am2Lamn_n线性方程组的矩阵式Axb2Mbm2jMmj,j1,2,L,n实用标准文案实用标准文案文档文档可由1,可由1,2,l,

9、n线性表示Ax有解Ax有无穷多解:Ax有非零解当A为方阵时A01,2丄n线性相关Ax有唯一组解；:Ax只有零解当A为方阵时A01,2丄n线性无关当A为方阵时克莱姆法则r(A)r(AM)不可由1,2丄n线性表示Ax无解r(A)r(AM)r(A)1r(AM)矩阵转置的性质：(At)ta(AB)tbtat(kA)TkATat|IA(AB)tAtBt矩阵可逆的性质：(A1)1A111(AB)BA111(kA)kAA1IA1(A1)T(AT)1(A1)k(Ak)1Ak伴随矩阵的性质：(A)|An2A(AB)BAn1(kA)kAAl艸1(A1)(A)1什(AT)(A)T(A)k(Ak)AAAA|AEn若r

10、(A)nr(A)1若r(A)n10若r(A)n1AB|AB网kn|AAk|Ak实用标准文案实用标准文案文档文档线性方程组解的性质(1)1,2是Ax0的解42也是它的解是Ax0的解,对任意k,k也是它的解齐次方程组1,2丄,k是Ax0的解对任意k个常数1,2丄,k,1122kk也是它的解是Ax的解是其导出组Ax0的解是Ax的解(5)1,2是Ax的两个解r2是其导出组Ax0的解2是Ax的解,则1也是它的解12是其导出组Ax0的解1,2丄,k是Ax的解则V设A为mn矩阵若r(A)m,则r(A)r(AM),从而V设A为mn矩阵若r(A)m,则r(A)r(AM),从而Ax定有解.当mn时一定不是唯一解方

11、程个数未知数的个数向量维数向量个数1122kk是Ax0的解12k0组线性相关?m是r(A)和r(AM)的上限.V矩阵的秩的性质：r(A)r(AT)r(ATA)r(AB)<r(A)r(B)r(AB)<minr(A),r(B)r(kA)r(kA)r(A)若k00若k0r(A)r(B)若A0,则r(A)1若Amn,Bns,且(AB)0,则r(A)r(B)<n若P,Q可逆则r(PA)r(AQ)r(A)若A可逆,则r(AB)r(B)若B可逆,则r(AB)r(A)若r(A)n,则r(AB)r(B),且A在矩阵乘法中有左消去律AB0BABACBC标准正交基n个n维线性无关的向量两两正交每个

12、向量长度为1.与正交0.是单位向量|J(,)1.V内积的性质：正定性：0,且0对称性：TOCo“1-5”hz双线性：(！2)(,1)(,2)(12,)(1,)(2,)(c,)(c,)(,C)施密特1,2,3线性无关,11正交化23(2,1)(正交化23(2,1)(11)(3,1)(11)(3,2)(22)单位化:12_2_正交矩阵AAtE.VA是正交矩阵的充要条件：A的n个行(列)向量构成？n的一组标准正交基.V正交矩阵的性质：AA1;aAAae；A是正交阵则A(或A1)也是正交阵；两个正交阵之积仍是正交阵；正交阵的行列式等于1或-1.A的特征矩阵EA.A的特征多项式|EAf.A的特征方程EA

13、0.AxxAx与x线性相关V上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.V若A0,则0为A的特征值且Ax0的基础解系即为属于0的线性无关的特征向量.nVA12LnitrA1V若V若r(A)1,则A一定可2A(aa2b2Lanbn)A,1trAa1b1a2b2Lanbn,a分解为A=:b1,Mb2,L,bn、从而Aan的特征值为：23Ln0.V若A的全部特征值1,2,L,n,f(x)是多项式则：f(A)的全部特征值为f(1),f(2),L,f(n)；当A可逆时,A1的全部特征值为丄丄,L,丄12nA的全部特征值为也,￥丄=kAaAbEA1V是A的特征值则:2AAm分别有特征值1A

14、Vx是A关于的特征向量则x分别有特征值1AVx是A关于的特征向量则x也是A与B相似kAaAbEA1A2AmA关于kab丄2的特征向量?BP1AP(P为可逆阵)记为：A:BVA相似于对角阵的充要条件：A恰有n个线性无关的特征向量.这时,P为A的特征向量拼成的矩阵P1AP为对角阵,主对角线上的元素为A的特征值?ki为i的重数.Vki为i的重数.“若n阶矩阵A有n个互异的特征值则A与对角阵相似.A与B正交相似BPA与B正交相似BP1APV相似矩阵的性质：A1:B1at:btAk:BkEA(P为正交矩阵）若A,B均可逆(k为整数）EB从而A,B有相同的特征值但特征向量不一定相同?即:x是A关于0的特征

15、向量P1x是B关于的特征向量?从而代B同时可逆或不可逆r(A)r(B)tr(A)tr(B)”数量矩阵只与自己相似.V对称矩阵的性质：特征值全是实数特征向量是实向量；与对角矩阵合同；不同特征值的特征向量必定正交；k重特征值必定有k个线性无关的特征向量；必可用正交矩阵相似对角化(一定有n个线性无关的特征向量,A可能有重的特征值重数=nr(EA).A可以相似对角化|A与对角阵相似.记为：A:(称是A的相似标V若A为可对角化矩阵则其非零特征值的个数(重数重复计算)r(A).“设i为对应于i的线性无关的特征向量则有:A1A1,2丄n)(Ai,A2丄An)(11,22,L,nn)1,2,L,n2O1442

16、443pn14442443V若A:B,C:D,贝U:V若A:B,则f(A)：f(B),f(A)f(B)._(_1,_2,L,_n)T二次型f(_1,_2丄,_(_1,_2,L,_n)TA与BA与B合同BCTAC.记作：A;B(代B为对称阵,C为可逆阵)V两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数V两个矩阵合同的充分条件是：A:BV两个矩阵合同的必要条件是：r（A）r（B）正交变换Vf（_i,_2丄_n）_tA_经过合同变换_CY化为可逆线性变换nf（_i,_2丄,_n）diy：标准型.1V二次型的标准型不是惟一的与所作的正交变换有关但系数不为零的个数是由r（A）惟一确定的.正惯性指数负惯性指数V当标准型中的系数di为1,-1或0时则为规范形V实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数1O11合同.1000合同.1000V用正交变换法化二次型为标准形求出A的特征值、特征向量；对n个特征向量单位化、正交化;构造C（正交矩阵）C1ACn的主对角上的