定积分的分部积分公式

1、第四节 定积分的分部积分公式、定积分的分部积分公式bbbudv =uvJa一 vdu a 、a例7. 4. 1用分部积分公式求下列定积分:(1)-2 20 x cosxdx ; (2)；（ 3） jTjdx ；（ 4）En 2(1)x cosxdx31二 2 x2d sin x =x2 sin x 2 -2xsin xdx0兀2 o2xdCOsxJT+ 2xcosx 2 -2cosxdx0兀-2sin x 20n2 ；41(2)o (5x 1)exdx1二 o(5x 1)dexarcs inx1212.3Jt6211 -X2dx1 -x= 6e1 5fexdx =6e-1 -5ex1 2 ar

2、csinx 2212d1_xp2 1 -x2121 arcs in xd 1 -x221 亠 i21 d - x d arcsinx2331212二 xln2x4423xdx xx3Tl6423氏血331dx=4In24 -3In 23 -2 ixln xJ3 I皿 n247 n2 2) nxdx=41 n2 4 -3In23 -2(xln x-x ；2 2=4ln 43In 3 -8In 4 6ln3 2 .3例7. 4. 2试求定积分Jt2 sinn xdx（其中n为非负整数）n2sinn xdx = InIo2sin0 xdx 二0I1sin xdx 二-cosxInJI02sinn x

3、dx54.4例7. 4. 2试求定积分54.4例7. 4. 2试求定积分312sinnlxsin xdxH n 12 sin xd cosx 0-sin n xcosxn2 cosxd sinn A x0= 0+ ( n _ 1 ) 02sinx cos2 xdx54.4例7. 4. 2试求定积分54.4例7. 4. 2试求定积分71n _2=n-1 i i02 si nnx sin 2x-1 dxxn二 n-1 02sinnxdx-：in-1 i i02 sinxdx54.4例7. 4. 2试求定积分54.4例7. 4. 2试求定积分整理，得递推公式Inn 154.4例7. 4. 2试求定积

4、分54.4例7. 4. 2试求定积分I1那么Io54.4例7. 4. 2试求定积分54.4例7. 4. 2试求定积分I4JII1总之Inn -1Innn -1n -2n -3n -23415 I355 32（ n为偶数时）1（ n为奇数时）54.4例 7. 4. 3求定积分 和n5xdx.TL套上面公式，得02sin xdx = 154 2815315例 7. 4. 3求定积分 和n5xdx.例 7. 4. 3求定积分 和n5xdx.、分段函数的定积分 当定积分的被积函数为分段函数时，需利用积分的区间分割性质扃 f (x)dx = J： f (x)dx + (x)dx从分段函数的分段点处分为若

5、干个定积分进行计算x +1 x e 1-1 0 i例 7. 4. 4 设函数 f(X )= 2 2_ r i，求f (x)dx.x +1,X E 0,1 H解1 0 1由积分的区间分割性质得.二f x dx f x dx亠.1 f x dx显然f x在1-1,0 1与X0,1 1均连续，通过 N-L公式均可计算出其积分101即JXdx=Xdx0f xdx01 2=yx1dx0x1 dxlx2 x120 1X3-13例 7. 4. 3求定积分 和n5xdx.例 7. 4. 3求定积分 和n5xdx.11但当被积函数在积分区间上不连续呢？比如出现第一类间断点，这时如何积分?2例 7. 4. 5 求

6、 g X dx ,x2 -1 彳X式1其中 g(x)= X-(如图 7. 4. 1)J 1,X = 1解可见g X在0,1连续，不满足N-L公式要求在1.0,1 1上连续的条件,这时可在1.0,1内取一点,g x在0, 1上连续X2 -1g xdx= 百dx= x 1dx2xx22图7. 4. 1.可见，一个第一类间断点不影响定积分的存在性33，同理可得21得 g x dx 二f x dx.由四 fg(xpx=iim21 g x dx-Jisinx,x4例7. 4. 6设函数f x二-x,xJT2，解由积分的区间分割性质，有_f x dx =2 f xdx f xdxJL2 二=2 sin x

7、dx 亠 i xdx21-cosx 2 x2二2 -1.8若被积函数带有绝对值符号，要先把绝对值符号去掉即化为分段函数再求积分例7. 4. 7求下列定积分: J。2-xdx;+ Xdx.2 x2-x, x-：,2,x -2,x 三2,二 I5250 2-xdx = (2 - x)dx 2 (x - 2)dx心-2)(-x2x)2=2 913-x3, x 丨-：,0 , x3, x 三0,：丨x2 xdx - - xdx 亠 I x3dx0-x4-2 417思考题7.4Jtjejeje1.例 7.4.3 2 sin5xdx 与例 7. 3. 7 2 cos5 xdx 的结果一样，即 j sin5

8、xdx2 cos5 xdx0乜$0W31这是巧合吗？换句话说 2 cosn xdx也可套用上面公式吗？J02 .一个第一类间断点不影响定积分的存在性，两个呢？三个呢？无数多个呢?练习题7.4 1 .求下列定积分:JI(4) .02excosxdx 1x(1) In xdx ; (2)xarctanxdx ; (3)?2 dx ;r、0； sin x1 2 , ,0 I22 求 L f(xpx，其中 f(x)=*1 x1,x 0,1 11r,x 1,：e练习题7.4答案1 .求下列定积分：（1）31lnxdx;(2)01xarctanxdx ； (3)nji3 dx ( 4) 2 ex cosx

9、dx .4 sin x031lnxdx=xln x3 1=3ln 3 - x-dx11 x= 3ln 3-2 ；(2)10 xarcta nxdxarcta nxdx2f-dx01 x2X2X + di101- 2-n 一 8-兀11=- (x-arctanx)8 201xH-=-3 xd cot x43131=xcot x 3 + 总 cot xdx44JI兀 + +ln sin x41x1xl n6 l n2 ;4 92(4) jetosxdxJIcos xdex1x1x兀ji= excosx 2 + f2 ex sin xdx0兀=一1 +exsin x 2jrcosxdx1x1xTE JI2. 2 x=T +e - e cosxdxjiji移项，得 2excosxdx = T + e21