高数辅导之专题五：间断点

1、专题五基础知识如果f（X）在点X。处有下列三种情况之一，则点X。是f（X）的一个间断点:（1 ）在点X。处，f（x）没有定义（2）lim f（x）不存在X0（3）虽然 lim f （x）存在，但 lim f（x） = f（x0）JX。JX。简单地说，不连续的点即为间断点。间断点的分类：（1）左右极限都存在的间断点为第一类间断点，第一类间断点又可分为跳跃间断点（左右极限不等）和可去间断点（左右极限相等）。（2）左右极限至少有一个不存在的间断点为第二类间断点。例题1间断点。1. x =0是函数 y=arctan的x1解：y = arcta n在x = 0处没有定义,x从而X = 0是函数y1 li

2、m arctan X ：。-X12. x = 0是函数y12X -1 解：y 彳 在2X 12X -1 lim X）。-12X 11X = 0是y =arctan的间断点，且 x兀1lim arctan-2x）。x二arcta n的跳跃间断点。x1-12 1间断点。12X 1 、x=0处没有定义，故 x=0是y 1 的间断点，且2； 10 -10 12X _1 1-2 x 1-0 , lim1lim 11x 01x 0_!1 02x 11 2 x2x -1从而X = 0是函数y T的跳跃间断点。2X 13.函数何=匚1的可去间断点为x(x 1)e2x _1解：f (x)在x = 0和1处没有定

3、义，故x(x 1)0和1是f(x) = I的间断点，且x(x1)是仅有的两个间断点(因为f (x)是一个初等函数,f (x)在它的定义域内都是连续的)面分别0和1的间断点类型:2xe -1 lim x 0 x(x -1)2xx(x -1)2x ex(x -1)limx 1 x -1-(e2 -1)-从而x = 0是函数f (x)二e2x -1x(x -1)的可去间断点,x =1是第二类间断点。4.函数f(x)二x|1 x|In |x|的可去间断点为解:f (x)=x|1 _X|In |x |在 x =0和1处没有定义,0 和 1 是 f (x)二x|1-x|断点，且是仅有的两个间断点。下面分别

4、0和1的间断点类型:XlimIn | x|= lim xln | x|x)|1 - x|x 50lim吐凶x01In1 -x|12x二 lim (-x) x_0=0In xIn x =limx1 - x1二 lim x 1 - _ilimxIn | x 1= lim In xx 1 11X |x1 x1In x =limX 1 x-1丄二 lim -Xj 1=1从而x = 0是函数f(x1-x|In |x|的可去间断点,x = 1是跳跃间断点。5.讨论函数(x)的定义域、连续性，若有间断点，指出其分类。解：f(x) Jim -x(x2n -1)2n x=limn :x(x2n 1)-2x2n1

5、Vm：x（一寻)x 1=x (1 - lim 2 n+(x一 x (1 - lim(x2)n1)n :分三种情形说明：（1 ）当 0 乞 x2 ：1 时,)n +1f (x) = x (1-x(2)当 xf （x） = lim arctanQ - xn）的定义域、连续性，若有间断点，指出其分类。 =1 时，f(x)召0(3)当 x21 时,f （x） = X （1 一 2 ） = x亠1亦即X,X -10,x = -1f （x） -X,-1 ：: x : 10,x =1x,x 1故定义域为（_：:,：:） , x = 1为仅有的两个（跳跃）间断点，在其它点处连续。习题1.讨论函数f (x)二x3 -xx(x 1)(x-2)2的定义域、连续性，若有间断点，指出其分类。2.讨论函数3.二 lim 亠n 匚1 X2初等函数处处有极限的函数设 f(x)A.C .，则在