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文档简介

1、数学分析（三）试卷1一 叙述题（每小题10分，共30分）1 叙述含参变量反常积分一致收敛的Cauchy收敛原理。2 叙述Green公式的内容及意义。3 叙述n重积分的概念。二 计算题（每小题10分，共50分）1计算积分，其中C为椭圆，沿逆时针方向。2已知 其中存在着关于两个变元的二阶连续偏导数，求关于的二阶偏导数。3求椭球体的体积。4若为右半单位圆周，求。5计算含参变量积分()的值。三 讨论题（每小题10分，共20分）1 若积分在参数的已知值的某邻域内一致收敛，则称此积分对参数的已知值一致收敛。试讨论积分 在每一个固定的处的一致收敛性。2 讨论函数的连续性，其中在上是正的连续函数。答案一 叙述

2、题（每小题10分，共30分）1. 含参变量反常积分关于在上一致收敛的充要条件为：对于任意给定的， 存在与无关的正数， 使得对于任意的，成立。2. Green公式：设为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。如果函数在上具有连续偏导数，那么 ， 其中取正向，即诱导正向。 Green公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分的关系。3设为上的零边界区域，函数在上有界。将用曲面网分成个小区域（称为的一个分划），记为的体积，并记所有的小区域的最大直径为。在每个上任取一点，若趋于零时，和式 的极限存在且与区域的分法和点的取法无关，则称在上可积，并称此极限为在有界闭区域上的重

3、积分，记为 。二 计算题（每小题10分，共50分）1. 解 令 则.2. 解 令 则 ，.故即3 解 由于对称性，只需求出椭球在第一卦限的体积，然后再乘以8即可。作广义极坐标变换 （）。这时椭球面化为 。又 ，于是 。所以椭球体积 。4 解 的方程为：。由，符号的选取应保证，在圆弧段上，由于，故而在圆弧段上，由于，故所以 。5 解 。当时，由于，故为连续函数且具有连续导数，从而可在积分号下求导。 。于是，当时，（常数）。但是，故，从而。三 讨论题（每小题10分，共20分）1 解 设为任一不为零的数，不妨设。取，使。下面证明积分在内一致收敛。事实上，当时，由于， 且积分 收敛，故由Weierstrass判别法知积分 在内一致收敛，从而在点一致收敛。由的任意性知积分在每一个处一致收敛。 下面说明积分在非一致收敛。事实上，对原点的任何邻域有：，有。 由于， 故取，在中必存在某一个，使有， 即 因此，积分在点的任何邻域内非一致收敛，从而积分在时非一致收敛。2解 当时，被积函数是

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