北航理论力学sch4APPT课件

1、BUAA 8/6/2021 1 第四章第四章 质点系的平衡质点系的平衡 作业：作业：3-203-20、3-293-29、3-383-38 BUAA 8/6/2021 2 问题的引出问题的引出 问题问题1：系统平衡时两系统平衡时两 力偶矩的关系如何？力偶矩的关系如何？ BUAA 8/6/2021 3 问题的引出问题的引出 F M 固定在琴上固定在琴上 问题问题2：如何确定力偶矩如何确定力偶矩M和力和力F的关系？的关系？ BUAA 8/6/2021 4 A F W A B C 问题的引出问题的引出 问题问题3:3:长为长为L，重为，重为W的均质杆的均质杆AB在在 图示位置平衡时图示位置平衡时, ,

2、 求水平力求水平力FA 。 0 ii rF ) 1 (0sin 2 cos, 0 L WFLM B A r 0sin 2 cos L WFL 0 )2(0 cAA rWrF 特点：特点：确定系统平衡时主动力的关系。确定系统平衡时主动力的关系。 （1）与（）与（2）等价的条件：）等价的条件：约束所容许的微小位移约束所容许的微小位移 | c r BUAA 8/6/2021 5 问题的引出问题的引出 问题问题4:4:已知各均质杆长为已知各均质杆长为L，重为，重为W，求系统在图示位求系统在图示位 置平衡时，所需水平力置平衡时，所需水平力F 的大小的大小? (? (忽略所有摩擦）忽略所有摩擦） tanW

3、F 不计摩擦不计摩擦 0 ii rF W2 W2 W2W2 F BUAA 8/6/2021 6 问题的引出问题的引出 BUAA 8/6/2021 7 4-1 4-1 力的功力的功 一、力在曲线路程中的功一、力在曲线路程中的功 rrd rFvFdd tW 元功元功(elementary work): kjir kjiF zyx FFF zyx dddd zFyFxFW zyx ddd 元功的解析表达式元功的解析表达式 v x y z O r F A B rd 力力F在曲线上由在曲线上由A A点到点到B B点所作的功：点所作的功： BA zyxBA zFyFxFW)ddd(d)( BA rFF B

4、UAA 8/6/2021 8 4-1 4-1 力的功力的功 二、作用于刚体上力偶的元功二、作用于刚体上力偶的元功 LFM ddFLrFW dMW ddMMtW 力偶的元功力偶的元功: ( (适用于刚体的任意运动适用于刚体的任意运动) ) 三、作用于质点系上力系的总元功三、作用于质点系上力系的总元功 设：质点系上作用有力系设：质点系上作用有力系 ; ; 是力是力 作用点的矢径。作用点的矢径。, 1n FF i r i F 则作用于质点系上力系的总元功为：则作用于质点系上力系的总元功为： n i ii W 1 drF M O F F L O d rd BUAA 8/6/2021 9 F s o R

5、 r 4-1 4-1 力的功力的功 纯滚动纯滚动(rolling without slipping): 圆盘相对地面无滑动，与地面圆盘相对地面无滑动，与地面 接触点速度为零。接触点速度为零。 s F o R 问题问题: 如何求如何求纯滚动纯滚动圆盘轮心移动圆盘轮心移动 S 距离时距离时, 力力 F 所作的功。所作的功。 Rs 圆盘转角与轮心移动距离间的关系圆盘转角与轮心移动距离间的关系 BUAA 8/6/2021 10 4-1 4-1 力的功力的功 )()()()( R 11 O n i m j i WWWWMFPF j 则 等效力系作功定理等效力系作功定理: 若作用于刚体上的力系等效若作用于

6、刚体上的力系等效 , R121Omn MFPPFFF即： F s o R r s F o R F M F M sFMFsW2 )cos(cos R r FsMFsW BUAA 8/6/2021 11 4-1 4-1 力的功力的功 四、质点系内力的元功四、质点系内力的元功 2211 ddrFrF W )d( dd 211 2111 rrF rFrF 121 d rF lF d 1 1 A 2 A 1 F 2 F O x y z 1 r 2 r 12 r 弹簧弹簧刚性杆刚性杆不可伸长的绳索不可伸长的绳索 问题问题: 判断下列质点系内力元功之和是否为零。判断下列质点系内力元功之和是否为零。 0d l

7、 0d l 0F 0F , 0d , 0d l l 结论结论: 刚体、不可伸长绳索内力的元功刚体、不可伸长绳索内力的元功之和为零。之和为零。 BUAA 8/6/2021 12 4-1 4-1 力的功力的功 五、摩擦力的元功五、摩擦力的元功 1.1.动滑动摩擦力的元功（动滑动摩擦因数为动滑动摩擦力的元功（动滑动摩擦因数为f ） tvfFtWdd)( N vFF 2.滚动摩擦力的元功滚动摩擦力的元功tW Ad )(vFF 在固定面上纯滚动时在固定面上纯滚动时： 0)( FW 0)( f WM v F N F A N F F A v f M BUAA 8/6/2021 13 4-2 4-2 约束及其

8、分类约束及其分类 一、约束与约束方程一、约束与约束方程 约约 束束(constraint)：限制物体运动的条件限制物体运动的条件 约束方程约束方程(constraint equation)：约束条件的数学表达式约束条件的数学表达式 222 lyx 222 lyx 2 0 22 )(vtlyx BUAA 8/6/2021 14 4-2 4-2 约束及其分类约束及其分类 二、约束的分类二、约束的分类 222 lyx 222 lyx y x Ml y x M l 双面约束双面约束(bilateral constraint)： 约束方程为约束方程为等式等式的约束的约束 单面约束单面约束(unilate

9、ral constraint)：约束方程为约束方程为不等式不等式的约束的约束 定常约束定常约束(steady constraint)：约束方程中约束方程中不显含时间不显含时间t 的约束的约束 非定常约束非定常约束(unsteady constraint)： 约束方程中约束方程中显含时间显含时间t 的约束的约束 222 )sin(lytx txAsin A x A M x y BUAA 8/6/2021 15 4-2 4-2 约束及其分类约束及其分类 完整约束完整约束(holonomic constraint)： 约束方程中约束方程中不含速度项不含速度项的约束（几何约束）的约束（几何约束） 非完

10、整约束非完整约束(nonholonomic constraint)： 约束方程中约束方程中含有速度项含有速度项(不可积不可积)的约束的约束 s o R 纯滚动纯滚动 约束方程约束方程: 0),(cRssf Rs x x y y o x y tan v x y 0Rs0cossinyx ?0),(yxf BUAA 8/6/2021 16 4-2 4-2 约束及其分类约束及其分类 0 1 t f q q f s k k k 可表示成速度约束： 0),( 1 tqqf s 非定常几何约束： 0 0 1 aqa k s k k 线性速度约束的一般形式：线性速度约束的一般形式：0 0 1 aqa k s

11、 k k 位形坐标和时间的函数可以是常数，也可以是 k a其中其中: 注意：注意： 几何约束可以转化成速度约束几何约束可以转化成速度约束 速度约束不一定能转化成几何约束速度约束不一定能转化成几何约束 可积的速度约束（完整约束）可以转化成几何约束可积的速度约束（完整约束）可以转化成几何约束 不可积的速度约束（非完整约束）不能转化几何约束不可积的速度约束（非完整约束）不能转化几何约束 BUAA 8/6/2021 17 4-2 4-2 约束及其分类约束及其分类 0 0 1 aqa k s k k 约束方程约束方程:是可积的充分必要条件是：是可积的充分必要条件是： tqsji q a q a i j

12、j i 0 ),2, 1 ,0,( 定理定理（完整约束的充分必要条件）（完整约束的充分必要条件） 0 0 1 aqa k s k k 若约束方程若约束方程:中的中的aj (j=0,1,s)是常数是常数推论推论: : 则该约束方程为完整约束则该约束方程为完整约束(可积的速度约束可积的速度约束): 约束方程约束方程:Rs 0Rs s o R 纯滚动纯滚动 Raaa aasa 210 021 , 1,0 ,0 BUAA 8/6/2021 18 4-2 4-2 约束及其分类约束及其分类 x y tan x x y y o v x y 0 0332211 aqaqaqa 00cossin yx cos

13、3 1 q a 证明：证明：冰刀的约束为非完整约束冰刀的约束为非完整约束 0 0 1 aqa k s k k tqqyqxq 0321 , , 0, 0,cos,sin 0321 aaaa i j j i q a q a 0 1 3 q a 0sin 2 3 3 2 q a q a BUAA 8/6/2021 19 非完整约束的应用实例非完整约束的应用实例 c c x y tan x c x y c y o v c x c y BUAA 8/6/2021 20 非完整约束的应用实例非完整约束的应用实例 双拖车倒车双拖车倒车 的自动控制的自动控制 BUAA 8/6/2021 21 4-3 4-3

14、 广义坐标与自由度广义坐标与自由度 问题：问题：用什么量描述质点用什么量描述质点(系系)在空间的位置？在空间的位置？ 描述描述质点质点(系系)在空间位置的量有多少个？在空间位置的量有多少个？ BUAA 8/6/2021 22 4-3 4-3 广义坐标与自由度广义坐标与自由度 L 自由度数自由度数（degree of freedom)： 广义坐标的数目广义坐标的数目 (条件：具有双面、完整约束条件：具有双面、完整约束 的质点系的质点系) 广义坐标广义坐标(generalized coordinate)： 确定系统位置的独立参数确定系统位置的独立参数(坐标）坐标） 自由度：自由度：k 确定系统位置

15、的参数数目：确定系统位置的参数数目：N 独立的约束方程数：独立的约束方程数：s sNk x y z M 2222 Lzyx BUAA 8/6/2021 23 4-3 4-3 广义坐标与自由度广义坐标与自由度 A y 问题问题: : 确定系统的自确定系统的自 由度和广义坐标由度和广义坐标 A B O x y 图 1 y x M l l 图 2 A B A x y l o 图 3图 4 tyAsin A B x y l o BUAA 8/6/2021 24 4-3 4-3 广义坐标与自由度广义坐标与自由度 A B C D 确定图示系统的自由度确定图示系统的自由度 BUAA 8/6/2021 25

16、O A B A r B r AB r lrAB AB r 微小位移投影定理微小位移投影定理 定理：定理：刚体在运动过程中，其上任意两点的微小位移刚体在运动过程中，其上任意两点的微小位移 在两点连线上的投影相等。在两点连线上的投影相等。 ABAB rrr ABAB rrrddd ABAB riririddd AB AB r r i i A rd B rd AB ABAB AB r rr ri d d )d( 2 1 d ABAB rrrr ABAB )d( 2 1 2 AB r 0 0 AB riridd 推论：推论：刚体在运动过程中，若其上任意两点的微小位移共刚体在运动过程中，若其上任意两点的微小位移共 面且不平行，则该两点微小位移垂线的交点的位移为零。面且