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1、标量场和矢量场 标量场的梯度 矢量场的通量与散度 矢量场的环量与旋度 亥姆霍兹定理 电磁场的特殊形式 第0章 矢量分析 下 页返 回 Vector Analysis 常用正交曲线坐标系 矢量代数 q 如果物理量是标量，称该场为如果物理量是标量，称该场为标量场标量场。 例如：温度场、电位场、高度场等。例如：温度场、电位场、高度场等。 q 如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为矢量场矢量场。 例如：流速场、重力场、电场、磁场等。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。 q 如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。 时变标量场和矢量场可分别表示

2、为：时变标量场和矢量场可分别表示为： 、),(tzyxu),(tzyxF 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在 该区域上定义了一个该区域上定义了一个场场。 从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：从数学上看，场是定义在空间区域上的函数： 标量场和矢量场标量场和矢量场 、),(zyxu),(zyxF 静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为： 矢量的大小或模矢量的大小或模：AA 矢量的单位矢量矢量的单位矢量( (基矢基矢) )： 标量：一个只用大小描述的物理量。标量：一个只用大小描述的物理量。 A A e A

3、矢量的代数表示矢量的代数表示：AeAeA AA 矢量代数矢量代数 矢量矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示：矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意：单位矢量不一定是常矢量。注意：单位矢量不一定是常矢量。 A 矢量的几何表示矢量的几何表示 常矢量：常矢量：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量。 zzyyxx eAeAeAA AA AA AA x y z cos cos cos )coscoscos( zyx eeeA

4、A coscoscos zyxA eeee 矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示 z Ax A Ay Az x y （1）矢量的加减法）矢量的加减法 )()()( zzzyyyxxx BAeBAeBAeBA 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为两矢量的加减在几何上是以这两矢量为 邻边的平行四边形的对角线邻边的平行四边形的对角线, ,如图所示。如图所示。 矢量的加减符合交换律和结合律矢量的加减符合交换律和结合律 2. 矢量的代数运算矢量的代数运算 矢量的加法矢量的加法 BA A B 矢量的减法矢量的减法 BA A B B 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：在直角坐标系中两矢量的加法和减法： 结合律

5、结合律()()ABCABC ABBA 交换律交换律 （2 2）标量乘矢量）标量乘矢量 （3）矢量的标积（点积）矢量的标积（点积） zzyyxx kAekAekAeAk zzyyxx BABABAABBAcos A BB A矢量的标积符合交换律矢量的标积符合交换律 1 zzyyxx eeeeee 0 xzzyyx eeeeee A B 矢量矢量 与与 的夹角的夹角 A B A B A B 0BA / A BAB （4）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积） sinABBA )()()( xyyxzzxxzyyzzyx BABAeBABAeBABAeBA zyx zyx zyx BBB AAA ee

6、e BA ABBA sinAB BA B A 矢量矢量 与与 的叉积的叉积A B 用坐标分量表示为用坐标分量表示为 写成行列式形式为写成行列式形式为 BA ABBA 若若 ，则，则 BA /0BA 若若 ，则，则 （5 5）矢量的混合运算）矢量的混合运算 CBCACBA )( CBCACBA )( )()()(BACACBCBA CBABCACBA )()()( 分配律分配律 分配律分配律 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。确定。 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线

7、坐标系 在电磁场与波理论中，在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐坐 标系、圆柱坐标系和球面坐标系标系、圆柱坐标系和球面坐标系。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为 正交曲线坐标系正交曲线坐标系；三条正交曲线称为；三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称；描述坐标轴的量称 为为坐标变量坐标变量。 1、直角坐标系、直角坐标系 面元矢量面元矢量 线元矢量线元矢量 zeyexel zyx dddd zyelleS xzyxx ddddd yxelleS zyxzz ddddd

8、体积元体积元zyxVdddd zxelleS yzxyy ddddd 坐标变量坐标变量 zyx, 坐标单位矢量坐标单位矢量 zyx eee , 点点P(x0,y0,z0) 0 yy（平面）（平面） o x y z 0 xx（平面）（平面） 0 zz（平面（平面） P 直角坐标系直角坐标系 x e z e y e x y z 直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 o dz d y dx zyeS xx ddd yxeS zz ddd zxeS yy ddd 2、圆柱面坐标系、圆柱面坐标系 ddddd ddddd ddddd zzz z z elleS zelleS

9、 zelleS z,坐标变量坐标变量 z eee , 坐标单位矢量坐标单位矢量 zeeel zd ddd 线元矢量线元矢量 zVdddd 体积元体积元 面元矢量面元矢量 ddsinddd 2 relleS rrr ddsindddrrelleS zr dddddrrelleS r 3、球面坐标系、球面坐标系 球面坐标系球面坐标系 球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元 , r 坐标变量坐标变量 eeer ,坐标单位矢量坐标单位矢量 dsindddrererel r 线元矢量线元矢量 dddsind 2 rrV 体积元体积元 面元矢量面元矢量 4、坐标单位矢量之间的关系、坐

10、标单位矢量之间的关系 x e y e z e e e z e cossin 0 cossin0 00 1 直角坐标直角坐标 与与 圆柱坐标圆柱坐标 系系 e e z e r e e e sin0cos sin cos0 001 圆柱坐标圆柱坐标 与与 球坐标系球坐标系 z e r e e e cossin cos sinsincos 0 直角坐标直角坐标 与与 球坐标系球坐标系 x e y e sinsin sincos cossin o z 单位圆单位圆 柱坐标系与球坐标系之间柱坐标系与球坐标系之间 坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系 o x y 单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角

11、坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系 x e y e e e z e e r e e (1) 标量场-等值线(面) 形象描绘场分布的工具场线 下 页上 页返 回 标量场的等值线标量场的等值线( (面面) ) 等值线（面）等值线（面）: : 标量场取得同一数值的点标量场取得同一数值的点 在空间形成的曲线（面）。在空间形成的曲线（面）。 Czyxu),(等值面方程：等值面方程： 常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同取一系列不同的值，就得到一系列不同 的等值线的等值线/面，形成等值线面，形成等值线/面族；面族； 标量场的等值线标量场的等值线/面充满场所在的整个空间；面

12、充满场所在的整个空间； 标量场的等值线标量场的等值线/面互不相交。面互不相交。 等值线等值线/面的特点：面的特点： 意义意义: : 形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。 (2)矢量场-矢量线 意义：形象直观地描述了矢量场的空间分意义：形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。布状态。 ),( d ),( d ),( d zyxF z zyxF y zyxF x zyx 矢量线方程：矢量线方程： 概念：概念：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。 矢量线矢量线

13、 o M F drr r dr 0.2 标量场的梯度 Gradient of Scalar Field 设一个标量函数 (x，y，z)，若函数 在点 P 可 微，则 在点P 沿任意方向 的方向导数为l )cos,cos,(cos),( zyxl ), z , y , x ( g )cos,cos,(cos l e设 式中 , , 分别是任一方向 与 x, y, z 轴的夹角l ),cos(| ll l eggeg 则有： 当 ， 最大 0) , ( l g e l 下 页上 页返 回 grad zyx zyx eee 梯度(gradient) 哈密顿算子 ) z , y , x ( 式中 图0

14、.1.3 等温线分布 梯度的方向为该点最大方向导数的方向。 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即 最大方向导数。 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。 梯度的意义 下 页上 页返 回 0.3 矢量场的通量与散度 Flux and Divergence of Vector 2、矢量场的通量、矢量场的通量 问题问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。引入通量的概念。 ddd n SS FSF eS 通量的概念：通量的概念： dd n Se S 其中：其中：面积元矢量；面积元矢量； n e 面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量； dS dd n

15、 F e S 穿过面积元穿过面积元 的通量；的通量； 如果曲面如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向 外，矢量场对闭合曲面的通量是：外，矢量场对闭合曲面的通量是： dd n SS FSF eS ),(zyxF S d n e 面积元矢量面积元矢量 0 通过闭合曲面有通过闭合曲面有 净的矢量线穿出净的矢量线穿出 0 有净的矢有净的矢 量线进入量线进入 0 进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲 面的矢量线相等面的矢量线相等 矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通

16、闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通 量与曲面内产生矢量场的源的关系。量与曲面内产生矢量场的源的关系。 通量的物理意义通量的物理意义 0.3.2 散度 ( Divergence ) 如果包围点 P 的闭合面 S 所围区域 V 以任 意方式缩小到点 P 时： ASA divdlim 1 0 S V V 散度 (divergence) z A y A x A z y x AAdiv 下 页上 页返 回 散度的意义 在矢量场中，若 A= 0，称之为有源场， 称为 ( 通量 ) 源密度；若矢量场中处处 A=0 ，称 之为无源场。 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数； 散度代表矢量场

17、的通量源的分布特性。 (无源）0 A (正源) A (负源) A 图0.3.3 通量的物理意义 下 页上 页返 回 0.3.3 散度定理 ( Divergence Theorem ) S V V SA Adlim 1 0 图0.3.4 散度定理 通量元密度 高斯散度公式 VS VASA d d 矢量函数的面积分与体积分的相互转换。 VS dV Vlimd 1n n 0V n n AASA 下 页上 页返 回 0.4 矢量场的环量与旋度 0.4.1 环量 ( Circulation ) 矢量 A 沿空间有向闭 合曲线 L 的线积分 环量 L lAd 环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线 旋转趋

18、势的大小。 Circulation and Rotation of Vector Field 下 页上 页返 回 图0.4.1 环量的计算 水流沿平行于水管轴线方向流动，= 0，无涡 旋运动。 例：流速场 图0.4.2 流速场 流体做涡旋运动， 0，有产生涡旋的源。 下 页上 页返 回 0.4.2 旋度 ( Rotation ) 1. 环量密度 过点 P 作一微小曲面 S，它的边界曲线记为 L，面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当 S 点 P 时，存在极限 L SS S l d 1 lim d d 0 环量密度 环量密度是单位面积上的环量。 下 页上 页返 回 2. 旋度 旋度是一个矢量，其

19、大小等于环量密度的最大 值；其方向为最大环量密度的方向 AArot 旋度(curl) zyx zyx AAA zyx eee A n ) ( d d eA S n e S 的法线方向 它与环量密度的关系为 在直角坐标下: 下 页上 页返 回 3. 旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其 方向是最大环量密度的方向。 在矢量场中，若 A=J 0 称之为旋度场（或 涡旋场），J 称为旋度源（或涡旋源）。 若矢量场处处 A= 0 ，称之为无旋场。 下 页上 页返 回 4. 斯托克斯定理 ( Stockes Theorem ) 矢量函数的线积分与面积分的相互转化。 图 0.4.3 斯托克斯定理 n )( d d eA S SAeAd)(d)(d n S SA)lAd(d Sl 斯托克斯定理 下 页上 页 在电磁场理论