第十六章分式知识点和典型例习题

1、第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】bdbdbcbdbd3. 分式的乘法与除法：，-acacadacac4. 同底数幕的加减运算法则：实际是合并同类项m n m+n m nmn5. 同底数幂的乘法与除法 ；a a =a ; a - a =an mn6. 积的乘方与幕的乘方：(ab)m= a mbn , (a m) = a1o7. 负指数幕：a-p=a =18. 乘法公式与因式分解：平方差与完全平方式(a+b)(a-b)=;(a 士 b)2= a2士 2ab+S分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中:x 1,xy,二 2J，是分式的有:x y题型二：考查分式有意义的条

2、件【例2】当x有何值时，下列分式有意义2X2 -1(5)11x x题型三：考查分式的值为【例3】当x取何值时，下列分式的值为0的条件,、X 1I X I 2(1) -( 2)x+3x-4题型四：考查分式的值为正、负的条件(3)0.x2 2x 3x2 5x 6【例4】(1)当x为何值时，分式8_x为正;(2)当x为何值时，分式为负;(3)当x为何值时，分式【思想方法】1转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简 单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分 式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母

3、的分式加减法；解分式方程 的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等.2.建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问 题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历实际问题一分式方程模型求解解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义.3类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分 式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些 运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法

4、及应用也可以类比一元一次方程.第一讲分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质；2. 与分式运算有关的运算法则3. 分式的化简求值(通分与约分)4. 幕的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则：-= b一C a = 0a a ab d bc da be da2.异分母加减法则：一一一二一 一一二a=0,c=0 ;a c ac ac ac5 - x3 - (x -1)21练习：1.当x取何值时,F列分式有意义:【例4】已知：x_,求x（的值.(1)6 | x | _3(3)1 -x【例5】若|x-y 1| ,2x-3)2 =0，求的值.4x _ 2 y练习:2.当x为何值时,5-| x _

5、1 |x - 43解下列不等式(1)F列分式的值为零：/、25 _x2（2）x 6 x +51.不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数(1 )0.03x _0.2y0.08 x + 0 .5y(1) |x0x +1(2)30.4a b(2) v 7 11a - b4102 .已知:x2求一的值.x :：；-x - 13 .已知:1.分式的基本性质:（二）分式的基本性质及有关题型11-3 , aba 亠 3ab - 2b ,求的值.b ab a24 .右a-2a b2 _6b T0 = 0，求A _AMB BM虽？的值.3a - 5ba_a_b _ _ b _题型一：化分数系数、小

6、数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数2.分式的变号法则:1 2x y （1） _3 -1 1_ x y34题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号0.2a _0.03b(2)(1)x y(2)_a/ Q a. (3) a b-b题型三：化简求值题【例3】已知：1 15x y2x 3xy 亠2y，求x +2xy +y的值（三）分式的运算1确定最简公分母的方法： 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； 最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幕2 确定最大公因式的方法： 最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公

7、约数; 取分子、分母相同的字母因式的最低次幕 题型一：通分【例(1)1】将下列各式分别通分a2 丨 2 ?-2ab 3a c -5b c(2)a b2b -2a1 1 提示：整体代入，x y =3xy，转化出一 一 .x y(3)x2 - x 1 - 2x 亠 x2 x2 - x - 2 1(4) a - 2-2 a1x2题型二：约分1 计算(3)【例2】约分:(1)-16心；20 xy3(3)x 2 Ux _ 2 x2 _x _6(1 )2a 亠 5a12a 3 +2(a ：；，1)2(a 1)2(a 1)题型三：分式的混合运算【例3】计算:(1)(总)3e2e( )abbe-;-()a(2

8、)(兰)3 (x2 y2)-：-(丄 x)2 ；x亠yy亠x(3)ab亠ea 2b 亠 3eb 2e22b+ ；(4)a b ：u a亠 b b x 亠 ae a a亠b(5)4ab4ab112(ab -)(a b -)；(6)+丰1 - x2aba - b1 -X1 ：x121(7)+(x-2)(x-3) (x1)(x _ 3) (x _ 1)(x _ 2)(3)m -,-2n2m(4)2a”a -.1 .a 12 先化简后求值(5)34x(6)(7)1 -x 1 亠x2x1 -x21 - x4(1)a 1 a 2 42a - 2 a _ 2a 讦-1厂，其中a满足宀“0.(X -1)( x

9、 -1)+(x 亠 1)(x 亠3)(x 亠3)(x 亠5)x24(x2 -4x 41)(x -22x 2x )题型四：化简求值题2 2(2) 已知 x: y二2 :3，求( )十(x亠y) ( _ )3 三的值xyxy5 x 4AB 、+3 .已知：，试求A、B的值(x_1)(2x_1) x_1 2x_14 当a为何整数时，代数式 蓉 805的值是整数，并求出这个整数值a +2【例4】先化简后求值(1)已知:，求分子x2 -.-4(四)、整数指数幕与科学记数法题型一：运用整数指数幕计算(2)已知:xy 2yz -3xz 的值;x2 - y2-z2【例1】计算：(1) (ar3伽)332-1、

10、. 223、2(2) (3x y z ) (5xy z )(3)已知:a2 -3a11试求(a )(a)的值.a2a题型五：求待定字母的值【例5】若匸岂+，试求M , N的值.练习:_35(a - b) ( b) 2/ 、3_2 2_6(3) - 2(4) ( x y)3 (x-y) 2 .(x y)(a b) (a +b) 4题型二：化简求值题【例2】已知x，x-1=5，求(1) x2 - x的值；(2)求x4 - x4的值.题型三：科学记数法的计算x2 1 x -1 x -1【例 3】计算：(1 ) (3 10 J )(8.2 10 - )2 ； ( 2) (4 10 2)2 -：一(2

11、10 - )3 .【例2】解下列方程11 1+1 1 12 +-=-y z 31练习：11111.计算:(1) (- )| (13) (.25严7 4 20083553(2) (3 m3n ) 2 -(m n)-2 2 2 2(3) (2ab ) - .(a b)(3a3b2) (ab 3)丄2_2 2(4) 4(x - y) (x y)2(x +y ) (x _y)(1)x4x -.-4x - 7 x -9x : 10x亠64 ；(2) +=+-x U-1xx亠6 x亠8x ： 提示：(1)换兀法，设xy ；(2)裂项法，x-71 -1X +1x-6x-6【例3】解下列方程组(1)(2)(3

12、)【例 3】计算：(1 ) (3 10 J )(8.2 10 - )2 ； ( 2) (4 10 2)2 -：一(2 10 - )3 .【例2】解下列方程【例 3】计算：(1 ) (3 10 J )(8.2 10 - )2 ； ( 2) (4 10 2)2 -：一(2 10 - )3 .【例2】解下列方程题型三：求待定字母的值2.已知 x2 _5x 1 =0，求(1) x xJ , (2) x2 x 的值.【例 3】计算：(1 ) (3 10 J )(8.2 10 - )2 ； ( 2) (4 10 2)2 -：一(2 10 - )3 .【例2】解下列方程第二讲分式方程【知识要点】1.分式方程

13、的概念以及解法2.分式方程产生增根的原因【例4】若关于x的分式方程丄 =1 一旦有增根，求m的值.x 3x 32 x a【例5】若分式方程 一- =一1的解是正数，求a的取值范围.x _2【例 3】计算：(1 ) (3 10 J )(8.2 10 - )2 ； ( 2) (4 10 2)2 -：一(2 10 - )3 .【例2】解下列方程3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数；2. 解分式方程的关健是化分式方程为整式方程；方程两边同乘以最简公分母3. 解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系，恰当地设末知数.提示:2 -ax 二3题型四：解含有字母系数的方程【

14、例6】解关于x的方程【例 3】计算：(1 ) (3 10 J )(8.2 10 - )2 ； ( 2) (4 10 2)2 -：一(2 10 - )3 .【例2】解下列方程（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程提示：（1） a,b,c, d是已知数；（2） cd=0.【例 3】计算：(1 ) (3 10 J )(8.2 10 - )2 ； ( 2) (4 10 2)2 -：一(2 10 - )3 .【例2】解下列方程(1) 1 3 ；( 2)x -1 x2x -3x(3)x - 1X 1_15 - xx - 5x - 34 x提示易出错的几个问题：分子不添括号

15、；漏乘整数项；约去相同因式至使漏根；忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程题型五：列分式方程解应用题练习：1 .解下列方程：x 1 2x（1 ）0 ；x+112xx4(2) 2 二x 3x 37(3)2x 32 ；x _2(4)7 -x2-x . .1六、分离常数法(5)5x _42x _42x - 5_3x _2(6)1+1 x - 5x ：A21 +x ：；-4(7)xx _2x9x ;：；1+=x 7x 1x+_x 6_8例6 .解方程：x - 1x - 8 +=x - 2x - 7 +x - 2x ： x U-3x九8七、分组通分法例7 .解方程：11 + -11+x - 2x - 5x - 3x - 42.解关于x的方程:11(1)(b =2a);axb(2)丄ab(a =b).x3.如果解关于x的方程=会产生增根,x -2求k的值.4.当k为何值时，关于x的方程H-32+1的解为非负数(x -1)(x -2)5.已知关于x的分式方程=a无解，试求a的值.(二)分式方程的特殊解法(三)分式方程求待定字母值的方法x 1m例1 .若分式方程无解，求m的值。x 22 X2例2 若关于x的方程丄二厶不会产生增根，求k的值。X 1 X2 1 X 十1例3 若关于x分式方程二k 有增根，求k的值。x2 x+2 x