极限运算法则07910PPT学习教案

1、会计学1 极限运算法则极限运算法则07910 )()(xgxf)( BA)( BAAB ,AB.)3(成立成立 :)3(的证明的证明 :)4(的证明的证明. 0为例 为例以以xx B A xg xf )( )( )( )()( xBg xAgxBf , 0 AB , 0,)( BBxg又又, 0 ,0 0 时时当当 xx , 2 )( B xg 恒有恒有, 2 )( 1 2 B xBg , )(xBg AB , )( 0时的无穷小 时的无穷小是是xx xBg AB .)4(成立成立 , )( )( B A xg xf 第1页/共20页 推论推论1 1则则为常数为常数而而存在存在如果如果,)(l

2、imcxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果,)(limnxf推论推论2 2 ).(lim)(limxfcxcf .)(lim)(lim nn xfxf ,)(lim,)(lim),()(bxaxxx 且且如果如果定理定理5 5 . ba 则则 第2页/共20页 例例1 1).1(lim 4 1 xx x 求求 解解 )1(lim 4 1 xx x 111 . 1 :,有有一般地一般地 ,)( 1 1 10nn nn n axaxaxaxP 设设 )(lim 0 xPn xx 则则 nn nn axaxaxa 01 1 0100 ).( 0 xPn 1limlimlim 11 4 1

3、xxx xx )(xf )(xf f 第3页/共20页 例例2 2. 2 1 lim 2 23 1 xx xx x 求求 解解 原式原式 )2(lim )1(lim 2 1 23 1 xx xx x x . 4 3 :,有有一般地一般地 则有则有且且设设, 0)(, )( )( )( 0 xQ xQ xP xf n n m )(lim 0 xf xx)( )( 0 0 xQ xP n m ).( 0 xf )(lim )(lim 0 0 xQ xP n xx m xx 有理函数的代入法有理函数的代入法 第4页/共20页 例例3 3 . 34 1 lim 2 3 1 xx x x 求求 解解 原

4、式原式 1 lim x ) 0 0 (型型 )3)(1( )1)(1( 2 xx xxx 1 lim x 3 1 2 x xx 3 2 . 消零因子法消零因子法 第5页/共20页 练习练习1 1).(lim 23 cbxaxx x 求求 解解 cbxaxx xf xx 23 1 lim )( 1 lim 32 3 1 1 lim x c x b x a x x , 0 ,系知系知由无穷大与无穷小的关由无穷大与无穷小的关 原式原式. 无穷小因子析出法无穷小因子析出法 第6页/共20页 练习练习2 2. 1 sinlim, sin lim 3 0 x x x x xx 求求 解解, 1 ,为无穷小

5、为无穷小时时当当 x x ,sin 是是有有界界函函数数而而x x xx x xx sin 1 lim sin lim ; 0 :同理可知同理可知 x x x 1 sinlim 3 0 . 0 x x x 1 sinlim 3 0 第7页/共20页 定理定理4,lim,limByAx n n n n 若若 ;lim)1(BAyx nn n :则有则有 ;lim)2(BAyx nn n ;lim)3(BAyx nn n . 0,lim)4( B B A y x n n n 数列极限的四则运算数列极限的四则运算: 第8页/共20页 例例4 4, 12 13 lim 3 3 x xx a x 计算计

6、算 解解 a x lim )(型型 . 12 )13)(12)(1( lim 4 2 n nnn b n 3 32 1 2 13 1 x xx ; 2 1 b n lim 4 1 2 n ) 1 3)( 1 2)( 1 1( 2 nnn . 3 无穷小因子析出法无穷小因子析出法 第9页/共20页 例例5 5). 21 (lim 222 n n nn n 求求 分分 析析 ,是是无无穷穷个个无无穷穷小小之之和和时时 n 2 21 lim n n n 原式原式 2 )1( 2 1 lim n nn n ) 1 1( 2 1 lim n n . 2 1 先变形再求极限先变形再求极限. 解解 第10页

7、/共20页 例例6 6).1(lim 22 nnn n 求求 解解 )(型型 n lim原式原式 1 1 22 nnn )(分子有理化分子有理化 nnn n 22 1 lim )()1( 22 nnn )(型型 nnn n n 22 1 1 lim nn n n /11/11 /11 lim 2 . 2 1 11 1 第11页/共20页 例例7 7). 1 2 1 1 (lim 2 1x x x 求求 解解 )(型型 1 lim x 原式原式 )(通分通分 )1)(1(xx 2)1( x )0(因子因子消消 )1)(1( 1 lim 1xx x x x x 1 1 lim 1 . 2 1 )

8、0 0 ( 型型 第12页/共20页 ,)( ,)(lim (1) AxgaAxg ax 的局部有的局部有且在且在若若定理定理6 6 ,)(lim (2)Buf Au .)(lim :Bxgf ax 则有则有 换元法换元法 )(lim xF ax 求求)(lim xgf ax )(xgu )( limuf Au Axg)( 第13页/共20页 例例8 8).(lim, 0, 0, 1 arctan )( 0 1 xf xe x x xf x x 讨论讨论设设 解解两两个个单单侧侧极极限限为为是是函函数数的的分分段段点点,0 x )(lim 0 xf x u e lim x x e 1 0 li

9、m u )(lim 0 xf x , 0 uarctan lim x x 1 arctanlim 0 u , 2 左右极限存在左右极限存在, 但不相等但不相等, .)(lim 0 不存在不存在故故xf x 第14页/共20页 例例9 9).(lim, 0, 1 arctan 0, 1 arctan )( 0 xf x x x x xf x 讨论讨论设设 解解 两两个个单单侧侧极极限限为为是是函函数数的的分分段段点点,0 x )(lim 0 xf x u u arctanlim )(lim 0 xf x , 2 左右极限存在左右极限存在, 且相等且相等, . 2 )(lim,)(lim 00 x

10、fxf xx 且且存在存在故故 , 2 )arctan(limu u x x 1 arctanlim 0 ) 1 arctan(lim 0 x x 第15页/共20页 思考题思考题 （1）在相同的变化过程中）在相同的变化过程中, 若若 f (x) 有极限有极限, g(x) 无极限无极限, 那么那么 f (x) +g (x) 是否有极限？为什么是否有极限？为什么 ？ 解答解答: （1）没有极限）没有极限 假设假设 f (x)+g(x) 有极限有极限, 则由极限运算法则可知：则由极限运算法则可知： )()()()(xfxgxfxg 必有极限，必有极限， 与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误

11、 （2）在相同的变化过程中）在相同的变化过程中, 若若 f (x) 有极限有极限, g(x) 无极限无极限, 那么那么 f (x) g (x) 是否有极限？举例说是否有极限？举例说 明？明？ 第16页/共20页 思考思考 题题 解答解答: （2）在相同的变化过程中）在相同的变化过程中, 若若 f (x) 有极限有极限, g(x) 无极限无极限, 那么那么 f (x) g (x) 是否有极限？举例说是否有极限？举例说 明？明？ （2）可能有极限，也可能没有极限）可能有极限，也可能没有极限 ,0,时时当当如如x ., 11)()(有极限有极限 xgxf ),( 1 )(, 0)()ii( 2 无极限无极限 x xgxxf ., 1 )()(没有极限没有极限 x xgxf 第17页/共20页 会用以下求极限的方法会用以下求极限的方法: : (1) 有理函数有理函数(包括多项式函数包括多项式函数)的代入法的代入法. 四、四、小结与教学小结与教学基本基本要求要求 (2) 消零因子法消零因子法. (3) 无穷小因子析出法无穷小因子析出法. (4) 利用无穷小运算性质利用无穷小运算性质. (5) 利用