数学物理方法10

1、第五章 傅里叶变换 函数的表示？ 第五章 傅里叶变换 函数空间、函数坐标系、函数坐标轴？ 第五章 傅里叶变换 构成空间的必要元素：距离、角度 三角不等式： 建立函数坐标系的条件：完备、正交、（归一） |baba 第五章 傅里叶变换 函数内积的定义（定义在a,b区间上）： 复函数： b a dxxgxfgf)()(),( b a dxxgxfgf)()(),( * 第五章 傅里叶变换 函数的范数（长度2、距离2）： 范数一定为实数且一定大于等于0。 b a dxxfxfNf)()( 第五章 傅里叶变换 函数内积满足不等式： 对照： 等号成立当且仅当两函数差一常数，即互相“平行”。 (f,g)=0

2、，即称两函数正交（“垂直”）。 (f,f)=1，称为f函数归一。 ),)(,(),( 2 ggffgf cos|),(qpqp 第五章 傅里叶变换 正交函数族： ),(ff 第五章 傅里叶变换 函数线性相关： 正交函数族中的函数必定线性无关。 r i ii xfa 1 0)( 0)()( 1 k r i iik axfaxf 第五章 傅里叶变换 正交化：N个函数线性无关，一定可以从中建立N个正交归 一的基函数 1 f 111 /Nfff 2 f 12122 ),(fffff 第五章 傅里叶变换 贝塞尔不等式： 使左侧极小，求系数ci，得 代入有： 0| )()(| 2 dxxcxf ii ),

3、( ii fc Nfci 2 第五章 傅里叶变换 完备性条件：如果某正交归一函数组1， 2， 3， 对于任意分段连续函数f(x)可以使得均方误差趋于0，即 即称之为一组完备函数基。如果 一致收敛， 则有 Nfc i i 1 2 1 )( i ii xc 1 )()( i ii xcxf 第五章 傅里叶变换 $5.1 傅里叶级数傅里叶级数 定义在0,2上的函数族 为一组正交完备 函数族。 因此，任何定义在0,2上或者以2为周期的函数f(x)均可以 展开为傅里叶级数： 定义在有限区间上的函数是通过延拓的办法成为周期函数的。 |Zkeikx k ikx ke cxf)( 第五章 傅里叶变换 实数形式

4、的傅里叶展开与复数形式的傅里叶展开： 11 0 sin)(cos)( )sincos()( k kk k kk k kk k ikx k kxbbkxaaa kxbkxaecxf 第五章 傅里叶变换 奇函数与偶函数的傅里叶展开： 奇函数： 偶函数： 1 sin)( k k kxaxf 1 0 cos)( k k kxaaxf 第五章 傅里叶变换 定义在-l，l上的傅里叶展开： k l kxi ke cxf )( 第五章 傅里叶变换 傅里叶级数系数的求解： 如果f(x) 为实函数，有 def l c l l l ik k )( 2 1 * kk cc 第五章 傅里叶变换 傅里叶级数的收敛性质（狄里希利定理）： 1）分段连续，且为第一类间断点； 2）周期内只有有限个极值点； 则傅里叶级数收敛，且该级数在间断点等于左极限与右极限 和的一半。 第五章 傅里叶变换 例：将该函数展开为-1,1上的傅里叶级数。 解：第k项的系数ck为 因此 10 , 1 01, 0 )( x x xf 1 0 1 1 2 1 )( 2 1 dxedxexfc kxikxi k 其他情况, 0 12, 0, 2/1 nk k i k ck 第五章 傅里叶变