《数学物理方法》第四章_11VIP

1、第4章留数定理及其应用 留数理论是复变函数的积分理论与级 数理论相结合的产物，它是复变函数 论的重要组成部分 本章首先介绍留数的概念、留数的计 算方法和留数定理，随后讨论留数定 理在实变积分计算中的应用 4.1 留数定理 留数和留数定理 函数在各类奇点处留数的计算方法 无穷远点的留数与留数和定理 3 4.1.0 回顾回顾 ox y ox y ( ).f zDC D如 果在 域 内 解 析 ， 其 中 是 域 内 的 任 意 一 条 简 单 闭 曲 线 高阶导数公式 闭路变形原理 C 0 z C ( )d0.f zz 0 0C 1( ) () d . 2 f z f zz izz ( ) 0 1

2、 0C !( ) () d . 2() n n nf z fzz izz 00C ( )( ) d d . f zf z zz zzzz C 柯西定理柯西定理 柯西公式柯西公式 4 4.1.1 留数定理留数定理 0 ( )() , n n n f zc zz ox y 1 ( )2 C f z dzic 01 1 Res ( ),( ) 2 C f z zf z dzc i 0 ( ) . zf zC 如果是的一个奇点，其中 是此去心邻域内的任意 一条简单闭曲线 1 0 1( ) ,(0, 1, 2,) 2() n n f z cdzn izz 0 ( ) ()n n n f zc zz C

3、dz C dz 0 21 1 01()n C in dz nzz 0 z C 10 cfz 称为 在 点的留数. 一、留数的定义一、留数的定义 5 二、定理（留数定理）二、定理（留数定理） ox y 12 ( ), . n f zDz zz CD 设函数在区域 内除有限个孤立奇点外 处处解析是 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线 1 ( )d2Res ( ), n k k C f zzif z z C 1 C 2 C 3 C 1 z 2 z 3 z 1 ( )d( ) k n k CC f zzf z dz 证明由复闭路定理得 由留数的定义得 1 ( )d2Res ( ), n k k C f

4、zzif z z 6 法则法则1 1 0 0 00 ( ) Res ( ),lim() ( ) zz zf z f z zzzf z 如果 为的一级极点，那么 三、留数的计算三、留数的计算 例例1 1 2 ,| 2 1 . z C ze dzCz z 计算积分其中 为正向圆周： 证明证明( )f z 0 () ( )zzf z o x y C解解 2 1 Res, 1, 12 z ze ze 2 Res,1. 12 z zee z 1 2(). 22 C e i e 1010 0 1 ()ccc zz zz 2 10010 ()()cc zzc zz 7 法则法则2 2 0 0 000 0 0

5、 0 ( )( ),( ) ( ) ()0,()0, () Res( ),lim. () zz P z f zP zQzz Q z P zQ zQ z P z f zz Q z （ ） 设,在都解析，如果 )0,那么 例例1 1 2 ,| 2 1 . z C ze dzCz z 计算积分其中 为正向圆周： 证明证明 0 00 Res ( ),lim() ( ) zz f z zzzf z 解解 2 1 Res, 1 12 zz z zeze zz 0 0 0 ( ) lim. ( )() zz P z Q zQ z zz 2 1 Res,1 12 zz z zeze zz 1 , 2 e .

6、2 e o x y C 8 法则法则3 3 0 ( )zf zm如果 为的 级极点，那么 分析( )f z 0 ()( ) m zzf z (1) 0 ()( ) mm zzf z (1) 0 lim()( ) mm zz zzf z 0 1 00 1 1 Res ( ),lim()( ). (1)! m m m zz d f z zzzf z mdz 证明证明 1 010 00 () () m m cc cc zz zzzz 1 101000 ()()() mm mm cczzczzc zz 100 (1)!()mcm c zz 1 (1)!.mc 9 例例2 2 计算积分计算积分 3 |

7、| 2 (1) z z e dz z 1 1 2() 2 z z ie . i 10 例例3 3计算下列函数奇点处的留数计算下列函数奇点处的留数 2 1 1) ( ); 2 z f z zz 解解 4 3 1 2) ( ); (1) z f z z 1 3) ( )sin. 1 f z z 2 1 1)Res,0 2 z zz 0 1 lim 2 z z z 1 , 2 2 1 Res,2 2 z zz 2 1 lim z z z 3 . 2 35 1111 3)sin, 113!(1)5!(1)zzzz 1 Ressin,11. 1 z 4 3 1 2)Res, 1 (1) z z 4 1

8、1 lim1 2 z z 6, 11 例例4 4计算下列积分计算下列积分 | | 1 sin 1); z z dz z 解解 5 | | 1 1 cos 2); z z z | | 3 3)tan. z zdz sin 1)Res,00, z z 5 1 cos1 2)Res,0, 4! z z 21 2 21sin 3)Restan, 2(cos)k z kz z z | | 1 sin 0. z z dz z 5 | | 1 1 cos . 12 z zi z 1 . 2 0 | | 3 21 tan2Restan z, 2 k z k zdzi = 10i 12 例例5 5计算下列积分计

9、算下列积分 6 | | 1 sin . z zz dz z 解解0( ).zf z 为的三级极点 6 sin 1)Res,0 zz z 2 23 0 1sin lim 2! z dzz dzz 6 sin 2) zz z 35 6 111 () 3!5! zzzz z 3 11 3!5!zz 6 | | 1 sin z zz dz z 6 sin1 Res,0, 5! zz z 60 i 6 sin 3)Res,0 zz z 5 5 0 1 limsin 5! z d zz dz 1 5! ( )2Res( ),0 C f z dzif z = 13 小结小结 1 1 定义定义 2 2 定理定

10、理 3 3 计算方法计算方法 一级奇点一级奇点 m 级极点级极点 本性奇点本性奇点 01 1 Res ( ),( ) 2 C f z zf z dzc i 1 ( )d2Res ( ), n k k C f z zif z z 0 00 Res ( ),lim() ( ) zz f z zzzf z 0 (1) 0 0 () Res ,lim. (1)! mm zz zzf f z m 1 10010 ()()fcz zcc z z 14 四、无穷远点的留数四、无穷远点的留数 1 ( )d 2 C f zz i o x y 1 ( )2 C f z dzic 1 Res ( ),f zc 0

11、( ) . f zRzzC 如果在圆环域| |内解析，其中 为此 圆环域内绕原点的任意一条简单闭曲线那么 ( ).Cf z的值与 无关，称此定值为在 点的留数记为 1 Res ( ), ( )d 2 C f zf zz i 15 留数定理一留数定理一 o x y 12 ( ), . n f zDz zz CD 设函数在区域 内除有限个孤立奇点外 处处解析是 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线 1 ( )d2Res ( ), n k k C f zzif z z C 1 C 2 C 3 C 1 z 2 z 3 z 留数定理二留数定理二 1 Res ( ),Res ( ), 0 n k k f z

12、zf z 12 ( ) ,. ). n f z z zz 如果函数在扩充复平面内除有限个 孤立奇点外处处解析那么在 所有点(包括的留数之和必等于零 16 2 11 Res ( ),Res ( ),0f zf zz 证明证明 o ( ) C 法则法则4 4 1 Res ( ), ( )d 2 C f zf zz i i ze 1 z i re 1 i e 2 0 1 ()d 2 ii feie i 2 0 11 ()d 2 ii i f irere 2 2 0 111 ()d() 2() i ii fre irere 2 111 ()d 2 C f i o ( ) z C 1 r 17 例例6

13、6计算下列积分计算下列积分 4 | | 2 . 1 z z dz z 解解 Res ,1 Res , 1 Res , Res ,fff ifi 4 | | 2 (1) 1 z z dz z 0 2222 11 1111 4444 zzz iz i zzzz 4 | | 2 (2) 1 z z dz z 4 2Res, 1 z i z 4 2Res,0 1 z i z 0 43 4 11 1 1 1 z zz z 348 111 (1) zzz 3711 111 zzz | 2:z 4 Res,0 1 z z 18 【例例4.1.4】求求f(z)= 在孤立在孤立 奇点奇点(包括无穷远点）处的留数

14、包括无穷远点）处的留数 l解解 z=b1是二阶极点，是二阶极点，z=b2是一阶极点，由表是一阶极点，由表 4-1容易求得容易求得 19 由留数和定理，易得由留数和定理，易得 由于不存在由于不存在z-1 -1 项，故项，故 Res f() =- -a-1( -1() )=0 20 作业作业- 4.1 第第82页页 Group AGroup BGroup C 1.4.1.1(2,5,8) 2.4.1.2(2,5) 3.4.1.3(1,4) 4.4.1.4* 1.4.1.1(3,6,9) 2.4.1.2(3,6) 3.4.1.3(2,5) 4. 4.1.4* 1.4.1.1(4,7,10) 2.4.

15、1.2(1,4) 3.4.1.3(3,6) 4.4.1.4* 4.2 用留数定理计算实变积分 本节将利用留数定理 计算五个基本类型的实变积分, 在此基 础上讨论在物理学中常用的几个积分。 22 l对于第二、三型实变积分的计算，要用对于第二、三型实变积分的计算，要用 到到2.1节介绍的两个引理节介绍的两个引理 u(见例见例2.1.2=p29-30 和例和例2.1.4=p30)。 l它们指出在什么条件下，它们指出在什么条件下，f(z)及及f(z)eimz沿沿 上半平面的无穷大半圆周的积分为零。上半平面的无穷大半圆周的积分为零。 23 引理引理1 若若z在上半平面及实轴上趋于在上半平面及实轴上趋于时

16、时, zf(z) 一致地趋于零一致地趋于零(与辐角无关，即与辐角无关，即 l则则 f(z) 沿图沿图2.3中无穷大中无穷大 半圆周半圆周CR的积分的积分 24 若若z在上半平面及实轴上趋于在上半平面及实轴上趋于时，时，f(z)一一 致地趋于零致地趋于零(与辐角无关与辐角无关)，即，即 式中式中m0，CR是以原点是以原点 为圆心、为圆心、R为半径的上半为半径的上半 圆周，参看图圆周，参看图2.3. 引理引理2 (若当引理若当引理): 则则 25 第四、五型积分的计算，要利用引理第四、五型积分的计算，要利用引理3，它指，它指 出出f(z)沿图沿图4.3的无穷小半圆周的积分结果。的无穷小半圆周的积分

17、结果。 l引理引理 3 若若b是是f(z)在实轴上的一阶极点，则在实轴上的一阶极点，则 l证明证明 由于由于b点是点是f(z) 的一阶极点，因而的一阶极点，因而 在在b的无心邻域中，的无心邻域中， f(z)的洛朗级数的最的洛朗级数的最 低次幂为低次幂为(z- -b)- -1，即，即 26 27 下面分别介绍五大类型积分的下面分别介绍五大类型积分的 1.1.特征特征 2.2.基本方法基本方法 3.3.常用技巧常用技巧 28 4.2.1 型积分型积分 l 1. 积分的特征：被积函数是积分的特征：被积函数是cos , sin 的有理实函的有理实函 数；积分区问为数；积分区问为0,2 如果不是，应先变

18、为如果不是，应先变为0,2 l2. 计算方法，首先作变换计算方法，首先作变换z = ei , 把被积函数变成复把被积函数变成复 变函数变函数 iz dz dizddiededz z z i ee i z zee ii ii ii , ) 1 ( 2 1 )( 2 1 sin ) 1 ( 2 1 )( 2 1 cos 2 0 )sin,(cosdf 29 其次，把沿其次，把沿0,2 的积分变成沿单位圆的回路的积分变成沿单位圆的回路 积分利用留数定理可得积分利用留数定理可得 即积分等于即积分等于2 i乘函数乘函数 在在|z|=1圆内所有奇点处留数之和圆内所有奇点处留数之和 30 【例例4.2.1】

19、计算积分计算积分 式中式中a0 l解解 首先作变换首先作变换2,2, 将积分区间化为将积分区间化为0,0,， 再利用被积函数是偶函数，将积分区间化为再利用被积函数是偶函数，将积分区间化为 , 31 其次，令其次，令z=ei ，即可将对，即可将对 的积分变为沿的积分变为沿 |z|=1 的回路积分的回路积分 l第三，被积函数有两个一阶极点第三，被积函数有两个一阶极点 z1,2 = 易见易见z1在在|z|=1的回路内部的回路内部| z2 |在回路外在回路外 32 根据留数定理根据留数定理 33 4.2.2 f(x)dx 型积分型积分 1. 积分特征积分特征 lf(z)在实轴上没有奇点，在上半平面除有

20、限在实轴上没有奇点，在上半平面除有限 个个 孤立奇点久 孤立奇点久( k =1，2，n)外解析；外解析； l当当z在上半平面及实轴上趋于在上半平面及实轴上趋于z时，时，zf(z)一致一致 地趋于零地趋于零(与辐角无关与辐角无关) l其次，选择辅助函数其次，选择辅助函数f(z)。 u通常将通常将f(x)的的x改为改为z(有时也要改变函数形式，有时也要改变函数形式， 见例见例4.2.7.例例4.2.8 ) 34 l第三，选择积分与回第三，选择积分与回 路当积分具有上述路当积分具有上述 特征时，受引理特征时，受引理1的启的启 发，增加无穷大的半发，增加无穷大的半 圆周圆周CR，构成闭合回，构成闭合回

21、 路路L(图图4.4). l根据留数定理、积分主值的定义，以及引理根据留数定理、积分主值的定义，以及引理1 的结论的结论 则有则有 式中式中bk为为f (z)在回路内在回路内 (即上半平面即上半平面)内的奇点内的奇点 35 【例例4.2.2】计算积分计算积分 l解解 (1)辅助函数辅助函数 l由于被积函数为偶函数，故由于被积函数为偶函数，故 令辅助函数令辅助函数 (2) 积分回路积分回路 36 l(3)按留数定理计算按留数定理计算 增加无穷大半圆增加无穷大半圆 周周CR 构成闭合构成闭合 37 l它在上半平面有无限多个极点它在上半平面有无限多个极点 bk=(2k+1)i，k=0,1, , l但

22、这些留数有简单的规律，仍可按第二型但这些留数有简单的规律，仍可按第二型 积分计算积分计算 38 仍可取仍可取图图4.5的回路的回路。 f(z)在回路中所有奇点处在回路中所有奇点处 的留数为的留数为(见习题见习题4.1.4) (2) 积分回路因为积分回路因为 39 (3)按留数定理计算按留数定理计算 40 4.2.3 1. 1. 积分特征积分特征 lf(z)在实轴上没有奇点，在实轴上没有奇点， 在上半平面除有限个孤在上半平面除有限个孤 立奇点立奇点bk(k=1,2,）外）外 解析；解析； l当当z在上半平面及实轴在上半平面及实轴 上趋于上趋于z时，时，f(z)一致地一致地 趋于零趋于零(与辐角无

23、关）与辐角无关） 41 2.计算方法计算方法 l与第二类型不同的是，第三类型积分的被积与第二类型不同的是，第三类型积分的被积 函数满足函数满足引理引理2(若当引理若当引理)的条件的条件 l类似地，增加无穷大的半圆周类似地，增加无穷大的半圆周CR (图图4.4)，构，构 成闭合回路成闭合回路L。根据留数定理，积分主值的定。根据留数定理，积分主值的定 义，以及引理义，以及引理2的结论的结论 则有则有 42 为书写简单起见，式中已采用简单记号为书写简单起见，式中已采用简单记号 l 由此可得式由此可得式(4.2.10)式式(4.2.13)四个公式：四个公式： 43 (1) 式式(4.2.9）的实部为）

24、的实部为 1 2 3 4 44 【例例4.2.4】计算积分计算积分 l解解 (1) 辅助函数辅助函数 在上半平面只有一个一阶极点在上半平面只有一个一阶极点b=i l(2) 积分回路积分回路 l(3) 按留数定理计算按留数定理计算 仍可选取图仍可选取图4.5的回路的回路 45 4.2.4 f(x)在实轴上有一在实轴上有一 阶极点的积分阶极点的积分 1.积分特征积分特征 l 除除f(x)在实轴上在实轴上 有一阶极点外，有一阶极点外， 与第二型积分特与第二型积分特 征相同。征相同。 2.计算方法计算方法 l积分回路是在图积分回路是在图4.4增加以轴上极点增加以轴上极点b为圆心，为圆心， e e为半径

25、的无穷小半圆周为半径的无穷小半圆周Ce e，如图，如图4.6所示。所示。 46 根据留数定理根据留数定理, 积分主值的定义积分主值的定义, 引理引理1的结论的结论 (4.2.14) 47 【例例4.2.5】计算积分计算积分I = l解解 (1)辅助函数辅助函数 f(z) = l它在上半平面内有一阶它在上半平面内有一阶 极点极点b1= i 外，还在实轴外，还在实轴 上有两个一阶极点上有两个一阶极点 b2=1,b3=- -1.图图4.7 l(2) 积分回路如图积分回路如图4.7所示所示 l(3)按留数定理计算按留数定理计算 48 4.2.5 (m0), f(x)在实轴在实轴 上有一阶极点的积分上有

26、一阶极点的积分 1.积分特征积分特征 l 除除f(x)在实轴上有一在实轴上有一 阶极点外，与第三阶极点外，与第三 型积分特征相同。型积分特征相同。 2.计算方法计算方法 l积分回路为图积分回路为图4.6,令令 (4.2.16) 49 【例例4.2.6】计算积分计算积分I = l解解 (1)辅助函数辅助函数 F(z) = f(z)eiz = 在实轴上有一阶极点在实轴上有一阶极点z=0. l (2)积分回路如图积分回路如图4.8所示所示 l (3)按留数定理计算按留数定理计算 50 4.2.6 物理学中常用的实积分物理学中常用的实积分 l在物理学中常用的几个实积分，被积函数不在物理学中常用的几个实

27、积分，被积函数不 满足上述要求的条件，需要采用一些技巧，满足上述要求的条件，需要采用一些技巧， 但基本方法还是一致的：但基本方法还是一致的： u(1)选择一个辅助函数；选择一个辅助函数； u(2)把定积分化为沿闭合回路的积分；把定积分化为沿闭合回路的积分； u(3)按留数定理来计算按留数定理来计算 51 4.2.6 物理学中常用的实积分物理学中常用的实积分 l但有的时候辅助函数要变形但有的时候辅助函数要变形(见例见例4.2.8），积），积 分回路也不一定增加半圆周分回路也不一定增加半圆周CR，但增加路线，但增加路线 上的积分上的积分 u或者为零或者为零(见例见例4.2.7)， u或者容易算出或

28、者容易算出(见习题见习题4.2.5）；）； u或者与待求积分有简单的关系或者与待求积分有简单的关系(见习题见习题 4.2.6)。 l对于回路上的奇点，也要绕过去对于回路上的奇点，也要绕过去 52 【例例4.2.7】已知欧拉积分已知欧拉积分 l其中其中a a0，b b0此积分在量子力学中计算此积分在量子力学中计算 谐振子的动量几率分布函数时用到谐振子的动量几率分布函数时用到 l解解 (1) 选择辅助函数选择辅助函数 不能采用第三类型积分的回路不能采用第三类型积分的回路 53 先将积分变形先将积分变形 l在第二项积分中作变量代换，用在第二项积分中作变量代换，用- -x替换替换x，可，可 证明两项积

29、分相等。再对指数进行配方，便证明两项积分相等。再对指数进行配方，便 有有 l 能不能令能不能令 w=x+ l然后按欧拉积分得然后按欧拉积分得 呢？呢？ 暂时还不行，因为欧拉积分中的暂时还不行，因为欧拉积分中的x是实数。但是实数。但 是，本题的计算正好证明，欧拉积分对于复是，本题的计算正好证明，欧拉积分对于复 数数w亦成立，见后面的式亦成立，见后面的式(4.2.21） 54 (2) 选择闭合回路选择闭合回路 l 选择如图选择如图4.9所示的回路，这样沿所示的回路，这样沿x轴的积轴的积 分已知，沿平行于分已知，沿平行于x轴的积分与待求的积分轴的积分与待求的积分 有简单的关系，沿平行于有简单的关系，沿平行于y轴的两个积分可轴的两个积分可 证明为零证明为零 Iy1 Iy2 Ix2 = Ix1 + +Iy1 + +Ix2 + + Iy2 = 0 Iy1 = Iy2 = 0 Ix1+ +Ix2 = 0 Ix1 55 (3)由留数定理计算函数由留数定理计算函数f(z)在回路图