曲线的凹凸与拐点概述PPT学习教案

1、会计学1 曲线的凹凸与拐点概述曲线的凹凸与拐点概述 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有 帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考 虑弯曲方向。虑弯曲方向。 o y x L3 L2 L1 A B 如右图所示如右图所示L1 ，L2 ， ，L3 虽然都是 虽然都是 从从A点单调上升到点单调上升到B点，但它们的弯曲点，但它们的弯曲 方向却不一样。方向却不一样。 L1 是是“凸凸”弧，弧，L2是是“凹凹”弧弧 ， ，L3既 既 有凸弧有凸弧

2、 ，也有凹弧，这和我们日常习惯对凹，也有凹弧，这和我们日常习惯对凹 凸凸 的称呼是一致的。的称呼是一致的。 第1页/共15页 一、曲线凹凸的定义一、曲线凹凸的定义 问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向? x y o x y o 1 x 2 x )(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位 于所张弦的上方于所张弦的上方 x y o )(xfy 1 x 2 x 图形上任意弧段位图形上任意弧段位 于所张弦的下方于所张弦的下方 A B C 第2页/共15页 二、曲线凹凸的判定二、曲线凹凸的判定 x y o )(xfy x y o )(xfy a b A B 递增递增)(x f a b

3、 B A 0 y 递减递减)(x f 0 y 定理定理1 1 . 如如 果果 f f ( ( x x ) ) 在在 a a , ,b b 上上 连连 续续 , ,在在 ( ( a a , ,b b ) )内内 具具 有有 二二 阶阶 导导 数数 , ,若若 在在 ( ( a a , ,b b ) )内内 ( ( 1 1 ) ) f f ( ( x x ) ) 0 0 , ,则则 f f ( ( x x ) ) 在在 a a , ,b b 上上 的的 图图 形形 是是 凹凹 的的 ; ; ( ( 2 2 ) ) f f ( ( x x ) ) 0 0 时时，,0 y .点点( (0 0, ,0

4、0) )是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点 为为凹凹的的；在在曲曲线线),0 注意到注意到 , 第4页/共15页 三、曲线的拐点及其求法三、曲线的拐点及其求法 1.1.定义定义 注意注意: : 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. . 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 第5页/共15页 确定曲线的拐点的步骤： (1)确定函数yf(x)的定义域； (2)求出在函数二阶导数f (x)； (3)求使二阶导数为零的实根 (4)列表判断，对于解出的每一个实根x0，考察f (x) 在x0左右近旁的符号： 如果f (x)的符号相反，那么点（x0,f(x0)）就是拐点

5、； 如果f (x)的符号相同，那么点（x0,f(x0)）就不是拐点。 第6页/共15页 例例2 2 4 43 3 求求 曲曲 线线 y y = = 3 3 x x- - 4 4 x x+ + 1 1 的的 拐拐 点点 及及 凹凹 、 凸凸 的的 区区 间间 . . 解解 ),(:D ,1212 23 xxy ). 3 2 (36 xxy 令令 y y = = 0 0, ,. 3 2 ,0 21 xx得得 x)0 ,(), 3 2 ( ) 3 2 ,0( 0 3 2 )( x f )( xf 00 凹的凹的 凸的凸的 凹的凹的 拐点拐点拐点拐点 )1 , 0() 27 11 , 3 2 ( 第7

6、页/共15页 )., 3 2 , 3 2 ,0,0,( 凹凹凸凸区区间间为为 第8页/共15页 23 ) 12(48.) 12(8xyxy 1) 12( 4 xy 1) 12( 4 xy 第9页/共15页 的凹凸区间和拐点。 23 3xxy 第10页/共15页 思考思考 题题 设设)( xf在在),(ba内内 二二 阶阶可可 导导， 且且0)( 0 xf， 其其 中中),( 0 bax ， 则则,( 0 x)( 0 xf是是 否否 一一定定 为为 曲曲 线线)( xf的的 拐拐 点点？ 举举例例 说说明明 . 第11页/共15页 思考题解答思考题解答 故故,( 0 x)( 0 xf不不 一一 定定 是是 拐拐 点点 . 例例 4 )(xxf ),( x0)0( f 但但)0,0(并并 不不是是 曲曲线线)( xf的的 拐拐 点点 . 第12页/共15页 四、小结四、小结 1、