《变量与函数》

1、变量与函数番禺南村镇侨联中学 陈锡辉一内容和内容解析【教学内容】变量与函数是义务教育课程标准实验教科书人教版八年级上册第十四章第一单元，本单元内容教材安排了5个课时，我们把第一、二课时整合为一个课时，根据教材内容和学生情况，本学时我们由实例引入函数的概念，根据实际情景列出函数关系式，结合实例了解函数的三种表示方法.【教材分析】函数是数学中最重要的基本概念之一，它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质，是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型.继方程和不等式的学习之后，函数又一次以实际背景呈现在学生面前.在这里，学生第一次接触变量的概念，它是函数学习的入门，也是进一步学习的基础.通过变量

2、之间的关系，能使学生进一步审视已有的代数式、方程、不等式、平面直角坐标系等知识及其联系，增强综合应用知识的意识，提高分析问题和解决问题的能力.【学情解析】变量与函数的概念把学生由常量数学引入变量数学，是学生数学认识上的又一大飞跃.“变量与函数”对学生在认知上和思维上都有较高要求，入门会有一定困难.因而，在本节教学时，创设丰富的现实情景，使学生在丰富的现实情景中感知变量和函数的存在和意义，体会变量之间的互相依存关系和变化规律.二目标和目标解析【知识目标】（1）学生通过直观感知，能分清实例中的常量与变量,领悟函数概念的意义，能列举函数的实例，并能写出简单的函数关系式.(2)学生通过对实际问题中数量

3、之间相互依存关系的探索，学会用函数思想去描述、研究其变化规律，初步理解对应的思想，逐步学会运用函数的观点观察、分析问题.【过程与方法目标】(1) 通过实践与探索，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，强化数学的应用与建模意识.（2）引导学生体会函数思想，发展学生的思维，提高分析问题和解决问题的能力.【情感与态度目标】(1)学生经历对实际问题数量关系的探索，提高数学学习的兴趣，学会合作学习，在解决问题的过程中体会到数学的应用价值，在探索活动中获得成功的体验，建立良好的自信.(2)进一步加深认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及

4、数学结论的确定性.【目标解析】在本节教学时，教师应根据学生的认知基础，创设丰富的现实情境，使学生在丰富的现实情境中感知变量和函数的存在和意义，体会变量之间的相互依存关系和变化规律，真正起好组织者、引导者和合作者的作用. 在教学过程中，学生的学法应以自主探究与合作交流为主.教法采用师生互动探究式教学.函数概念的抽象性是常规教学手段无法突出的， 为了扫除学生思维上的障碍，本节充分发挥多媒体的声、像、动画特征，使抽象的问题形象化，静态方式的动态化，直观、深刻地揭示函数概念的本质，突破本节的难点.【变量与函数概念的核心】（1）一个变化过程，（2）两个变量，（3）唯一对应关系.【教学重点】函数概念的形成

5、过程.【教学难点】理解函数的概念.【教学关键】突破难点的关键是通过生活实例帮助学生从一个变化过程、两个变量、一种对应关系三个方面来认识和理解函数的概念.三、教学问题诊断分析【学生已有的知识结构】在学习了应用题的有关知识的基础上，学生根据简单应用问题的文字表述列出关系，是顺理成章的，对于应用问题的类型，建议依托学生熟悉的社会生活实践，比如校园生活中的数量关系，行程问题，增长率问题，工作问题，旅游开支计算等等，以能够用三量关系来列出式子的问题为主.【学生学习的困难】函数关系的本质，是这样一种内涵，为了达到研究某一个事物的目的，在直接研究这个事物有一定的困难的前提下，可以采取数学的思维方式，去研究另

6、一个与之有关的事物，而这后一个事物相对于前一个事物来说，比较容易研究，从而达到目研究的目的.进而达到认识自然，解决问题的目的，这其实也是一种转化思想，同时含有建模思想方法，而学生接受这种抽象的思维方式困难比较大。如何解决好这个问题，是教学设计要思考的重点.四、教学方法与教学手段在本节教学时，教师应根据学生的认知基础，创设丰富的现实情境，使学生在丰富的现实情境中感知变量和函数的存在和意义，体会变量之间的相互依存关系和变化规律，真正起好组织者、引导者和合作者的作用. 在教学过程中，学生的学法应以自主探究与合作交流为主。教法采用师生互动探究式教学。函数概念的抽象性是常规教学手段无法突出的，为了扫除学

7、生思维上的障碍，本节充分发挥多媒体的声、像、动画特征，使抽象的问题形象化，静态方式的动态化，直观、深刻地揭示函数概念的本质，突破本节的难点.五、教学过程（一）创设问题情境1.票房收入问题：每张电影票的售价为10元.（1）若一场售出150张电影票，则该场的票房收入是 元；（2）若一场售出205张电影票，则该场的票房收入是 元；（3）若一场售出310张电影票，则该场的票房收入是 元；（4）若一场售出张电影票，则该场的票房收入元，则 .小结反思：（1）票房收入随售出的电影票变化而变化，即随 的变化而变化；（2）当售出票数取定一个确定的值时，票房收入的取值是否唯一确定？(例如，当=150时，的取值是唯

8、一、还是有多个值？)答：_2.圆周长问题：如果用表示圆的半径，圆的周长用表示.（1）=_；（2）当时，=_； （3）当时，=_. 小结反思：（1）圆周长随 变化而变化，即随 的变化而变化；（2）当半径取定一个确定的值时，圆周长的取值是否唯一确定？(例如，当=5时，的取值是唯一、还是有多个值？)答：_3.行程问题：汽车以60千米/秒的速度匀速行驶，行驶里程为千米，行驶时间为小时.请根据题意填表：（时）1234510（千米）小结反思：（1）行驶路程随 的变化而变化，即随 的变化而变化；（2）当行驶时间取定一个确定的值时，行驶路程的取值是否唯一确定？(例如，当=3时，的取值是唯一、还是有多个值？)答

9、：_4.温度变化问题：如图一，是北京春季某一天的气温随时间t变化的图象，看图回答：图一（1）这天的8时的气温是 ，14时的气温是 ，22时的气温是 ； （2）这一天中，最高气温是 ，最低气温是 ；（3）这一天中，在4时12时，气温（ ），在12时14时气温（ ），在16时24时，气温（ ）.A.持续升高 B.持续降低 C.持续不变小结反思：（1）天气温度随 的变化而变化，即随 的变化而变化；（2）当时间取定一个确定的值时，温度的取值是否唯一确定？(例如，当=12时，的取值是唯一、还是有多个值？)答：_设计意图：这四个问题中都含有变量之间的单值对应关系，通过研究这些问题引出常量、变量、函数等概念

10、，通过这种从实际问题出发开始讨论的方式，使学生体验从具体到抽象地认识过程.问题的形式有填空、列表、求值、写解析式、读图等，隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法.（二）问题引申，了解变量、常量的含义，理解函数的概念在上面的四个问题反映了不同事物的变化过程，其中有些量（例如售出票数，票房收入；时间，路程）的值按照某种规律变化，有些量的值始终不变（例如电影票的单价10元），并且每个问题中的变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定一个值.在一个变化过程中：（1）发生变化的量叫做 ； （2）不变的量叫做 ；（3）如果有两个变量和，对于的每一个值，都有 的

11、值与之对应，称是 ，是的 ；（4）如果当时，叫做当时的函数值.练习一指出前面四个问题中的常量、变量、自变量与函数.1.“票房收入问题”中， 是常量， 是变量， 是自变量，是的函数.2.“圆周长问题”中， 是常量， 是变量， 是自变量，是 的函数.3.“行程问题”中， 是常量， 是变量， 是自变量， 是 的函数.4.“气温变化问题”， 是常量， 是变量， 是自变量， 是 的函数.注意：常量与变量必须依存于一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，关键看它在这个变化过程中是否发生变化.设计意图：巩固常量、变量、自变量、函数的概念，例 一个三角形的底边为5，高可以任意伸缩，三角形的面积也随之发生了变

12、化.解：（1）面积随变化的关系式_ ，其中常量是 ，变量是 ，图二 是自变量， 是 的函数； （2）当3时，面积_；（3）当10时，面积_；（4）当高由1变化到5时，面积从_ _变化到_.练习二1. 购买一些签字笔，单价3元，总价为元，签字笔为支，根据题意填表：（支）123（元）（1）随变化的关系式 ， 是自变量， 是 的函数；（2）当购买8支签字笔时，总价为 元.2.周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里.他离开家后的距离（千米）与时间（时）的关系如图所示.（1）变量是 ，其中 是自变量， 是 的函数；（2）当时，；当时，；（3）小李从_时开始第一次休息，休息时间为_小

13、时，此时离家_千米.设计意图：例题和练习二，巩固变量与函数等概念，让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系，隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法.练习三1.填表并回答问题：14916与具有函数关系吗？为什么？2.下列各图中，表示是的函数的有_（可以多选）.理解函数概念把握三点：一个变化过程，两个变量，唯一对应关系.设计意图：理解函数概念的核心是“一一对应”，即给定一个自变量的值就有唯一确定的的值和它对应，这样的对应可以是“一个自变量对应一个因变量”（简称“一对一”），也可以是“几个自变量对应一个因变量”（简称“多对一”），但不可以是“一个自变量对应多个因

14、变量”（简称“一对多”）.（三）函数的不同表示法：回顾“票房收入问题”、“圆周长问题”、“行程问题”、“气温变化问题”，表示两个变量的对应关系有哪些方法？(1) ；(2) ；(3) 练习四请你举一个能用解析法表示的函数例子.设计意图：初步了解函数的三种表示方法.（四）小结函数的概念：自变量（确定）函数值（ 确定）设计意图：通过小结，让学生抓住理解函数概念的实质（五）作业1. 写出下列问题中的函数解析式：（1）正方形的面积与边长关系式；（2）秀水村的耕地面积是m2，这个村人的占有耕地面积随这个村人数的变化而变化.解：（1）函数解析式： ， 是自变量， 是 的函数；（2）函数解析式： ， 是自变量

15、， 是 的函数.2. 一年期的存款利率是4%，（）填表： 本金（元）1002005001000一年到期后所得的利息（元）（）本金元与一年到期后所得的利息元之间的关系式是_；（）常量是 ，变量是 ，其中 是自变量， 是 的函数.3. 小明、爸爸和爷爷同时从家中出发到同一目的地又立即返回.小明去时骑自行车，返回时步行；爷爷去时步行，返回时骑自行车；爸爸往返都步行. 三人的步行速度不等，小明与爷爷骑自行车的速度相等. 下面表示各人行走的路程与时间的关系图中，表示小明的是图( ), 表示爷爷的是图( ), 表示爸爸的是图( ).4.（*）一辆汽车从甲地开往乙地，开始3小时内以50千米 / 时的速度前进，但因为汽车出现故障，进行维修花去了2小时，接着以75千米 / 时的速度前进，经过2小时到达乙地请用图象表示汽车行驶的路程与时间的关系图四1234567设计理念：变量与函数的概念把学生由常量数学引入变量数学，是学生数学认识上的一天飞跃.因此，设计本课时应根据学生的认识基础，创设在一定历史条件下的现实情境，使学生从中感知到变量函数的存在和意义，体会变量之间的相互依存关系和变化规