数学与应用数学-成都市中考数学压轴题分析论文

1、摘 要本文以成都市2014-2019近六年的中考数学压轴题（通常指试卷最后一道题，综合性强，难度大）为研究对象，主要对压轴题的分值分布情况、所考查的主要知识点、命题规律及题型特点等进行归纳总结，并结合前人的研究探讨其解题思路与解题方法，在此基础上重点解析了成都市2017-2019三年的中考数学压轴题，在相关计算与知识的综合应用等方面进行分析，提出自己初浅的看法。关键词：中考；数学；压轴题；解析；解题策略AbstractIn this paper, we take the final question of mathematics in the middle school entrance ex

2、amination of Chengdu in the past six years (usually the last question in the test paper, which is comprehensive and difficult) as the research object. We mainly summarize the score distribution of the final question, the main knowledge points examined, the rule of the proposition and the characteris

3、tics of the question type, and discuss the thinking and method of solving the question based on the previous research ,this paper analyzes the final math questions of 2017-2019 senior high school entrance examination in Chengdu, analyzes the relevant calculation and comprehensive application of know

4、ledge, and puts forward my own preliminary views.Key words: high school entrance examination; mathematics; final question; analysis; solution strategy 目 录1 引言12 成都市中考数学压轴题现状分析22.1 压轴题目的构成22.1.1 压轴题分值分布22.1.2 压轴题知识点的考查22.2 压轴题命题规律22.3 压轴题题型分析33 成都市中考数学压轴题解法分析33.1 成都市中考压轴题解题策略33.2.解法分析44 小结15致谢16参考文献1

5、7成都市中考数学压轴题分析 1 引 言中考数学的压轴题主要是对学生所学的数学知识进行综合能力的考查，每年压轴题也是老师和学生所关心的一道大题。作为中考压轴题，它所考察的知识点比较广泛，涉及函数与平面几何综合内容。前者如运用一般式，顶点式或者交点式等方法来求解抛物线表达式；后者如三角形的性质与判定；四边形的性质和判定定理；此外还涉及图形的对称性，大部分是考查学生对中心对称，轴对称等知识点的掌握。每个题目中各个知识点互相交错，一道题目所覆盖的知识点由简到繁，各个小题也是由浅入深，从简单的带点求函数解析式，再到具体问题的求解坐标或直线解析式，再是最难的动点类问题。本文以成都市近六年的压轴题为例，对压

6、轴题分值分布、知识点的考查、命题规律、题型等进行总结，并探讨综合题的解题策略，对2017、2018、2019这三年的中考压轴试题进行具体的解法分析，最后根据自己对试卷的分析，总结自己对压轴题的看法与思考。2 成都市中考数学压轴题现状分析2.1 压轴题目的构成2.1.1 压轴题分值分布从近几年的中考试卷分析，成都市的中考试卷一共150分，一共有两个部分组成：100分的A卷和50分的B卷。试卷中压轴题题目一般为12分，占B卷的百分之二十四，占总分数的百分之八。该题目一共被分为三个小问，这三个小问的分值分布分别为3分，4分，5分。 2.1.2 压轴题知识点的考查在初中数学的学习过程中，一次函数，二次

7、函数和反比例这三种函数是初中函数主要学习的知识点，其中压轴题主要考查求解函数解析式，求函数的最值问题、求点坐标或根据已知条件和图像来解决问题。在求解问题时，解方程或方程组、不等式、锐角三角函数，求点坐标等这些代数方面的知识也很多。对于几何的知识点来说，主要学习了三角形，四边形以及圆，其中压轴题主要考查图形形状的判定，运用题目给出的已知条件求解点坐标，或讨论有关点是否存在直线上或抛物线上等问题。压轴题中还有一类问题，即动态型问题也是难点，其主要有三种情况，直线上的不确定点；某条直线的平移或旋转；图像中已知图形的旋转，平移或翻折。2.2 压轴题命题规律 根据近几年成都市中考数学压轴题题目的分析，不

8、难看出对于压轴题而言，其命题规律大致为第（1）小问为：求解抛物线解析式。而对于第（2）和（3）小问来说，其题型具有不确定性，但不外乎也就是考查动态几何；图形位置关系；或者是直线解析式与二次函数。对于压轴题中的动点问题一般分为代数和几何两类。对于代数类的题目，因为题目给出的已知条件会涉及到不确定的点或直线，所以对于这种不确定的点和线都需要根据已知去分情况讨论。而对于几何类的题目，该类题目主要会涉及三角形和多边形，在图形中或图形上给出不确定的点或线，或者给出的某个图形进行整体翻折，对于这种在图形中存在不确定的点和直线问题同样也是根据具体问题进行分类讨论，而此类题目更多是应用三角形全等，直线等知识点

9、解决。对于题目中图形位置关系：该类题型一般会和函数、坐标系和几何问题相联系。对于题目中位置关系：该类题型包括点、线、三角形、多边形、圆等，解决这种类型的题目通常需要应用图的折叠、面积关系、比例等知识点。2.3 压轴题题型分析从2014年到2019年成都市中考数学试卷的真题上可以发现：近几年的中考压轴题都为平面几何综合题型。以二次函数为载体考查多边形或者直线等。2016-2014这三年的中考压轴题都是以抛物线为图像背景的综合题。其中，2016年主要考查了多边形（菱形）的判定与性质，要求会分类讨论问题，会灵活运用参数和方程思想来解决问题。2015年除去运用最基本的待定系数法来解决问题，还考查了矩形

10、的判定，比例线段求坐标的知识点。2014年压轴题题目中同样考查了分类讨论思想，同时还考查了图形转化的思想。2014-2019这六年的试卷题目来看，在2018和2019这两年的第（2）小问为求点坐标，其中主要涉及到比例、翻折、三角形、勾股定理等知识点；2017年和2015年第（2）小问主要考查的是不等式组，一个为求解取值范围，另一个为求解最值；2016年和2014年的第（2）小问分别为求直线解析式、求K值，围绕直线这个知识点。虽然第二小问每年的问题都不相同，但本质都是考查基础知识，由简到难。对于第三小问，2014年-2017年这四年其实都是探究性动点问题，除去2014年考查的是运动过程中用时最少

11、的问题以外；2015-2017都为考查多边形，而近两年2018和2019的第三小问则都为考查的直线问题。3 成都市中考数学压轴题解法分析3.1 成都市中考压轴题解题策略1.数形结合思想的灵活运用。该思想从字面上来看其实就是数学与图形相结合的一种思想方法。即会根据题中的已知条件以及已知图形，将其转化为数学语言表达出来，比如转化为方程（组），或不等式等这类的数学语言。2.函数与方程思想的灵活运用。该思想其实也就是初中数学所学的，例如：一次函数，二次函数以及反比例函数，和方程或方程组的转化。需要学会函数与方程的灵活互换，将函数中得到的已知条件用方程的等式表达出来。3.分类讨论思想的灵活运用。该思想一

12、般运用于动点型问题。对于这类问题，题目所给出的条件一般会比较模棱两可，所以需要分情况讨论该问题。分类讨论的思想一般很考查思维逻辑的严谨性，需要找出解法中所有有可能的情况。4.等价转换思想的灵活运用。该思想重在转化。如何转化，这个是运用该思想的一个难点。这种数学思想，一般会利用题目及图形中的相等关系将未知化已知，化繁为简，将抽象的图形化为具体的数字等式或其他的数学符号表达出来，将题目的实际问题化成含有数学符号，思想的数学问题。3.2 解法分析当面对中考压轴题时，首先要弄明白题目的考查内容，对于以函数为载体的综合题，这种类型的题目一般是题目给定已知点坐标和图形，要求求解抛物线解析式；而相对于难度加

13、深一点的题目则会给出除题目以外的一些坐标或图形，求出点坐标或直线解析式。对于这类问题的解决方法基本都是用待定系数法解方程（组）。而以几何为主体的综合题难度会比函数综合题难度更大。其中一般涉及动点，动直线等需要分情况讨论的题目。这种题目主要是要学会找等量关系，学会转换和有必要时添加辅助线。在解决有以四边形为载体的题目时，一般会运用到四边形（平行四边形、正方形、矩形、菱形）的性质和判定定理。对于以三角形为载体的题目时，主要要会灵活运用勾股定理、线段比例、三角形相似、面积相等等方法去建立等量关系；根据图形的特殊位置或运用题中解析式来求解函数的自变量的取值范围。虽然每年的压轴题都不一样，但是想要解决这

14、类问题，就需要熟练的掌握解方程（组）、不等式（组），三角形、四边形的相关定理和知识等。下面以成都市2019、2018、2017三年的中考压轴题为例进行具体分析：例1：（如下为成都市2019年中考压轴题：本小题满分12分）如图3-1，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,5),与x轴相交于B(-1,0),C(3,0)两点。（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将BCD沿直线BD翻折得到B CD,若点C恰好落在抛物线的对称轴上，求点C和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达

15、式。 图3-1分析（1）：由题目的已知条件可以知道图像与x轴的交点坐标，所以可以根据两点式y=a(x-x1)(x-x2),将B,C两点代入，最后代入点A的坐标求出a，这样即可得出抛物线的表达式。解：由题意得，y=a(x+1)(x-3)将A（2，5）代入方程可得 抛物线解析式为y=(x+1)(x-3)分析（2）：根据第（2）小问的已知条件可以知道BCD与B CD全等，即BC=B C。在已知B C长度的前提下，想求解 C的坐标，即要知道点C的纵坐标，所以设H为图像对称轴与x轴的交点，（1）求解出了抛物线解析式，就可得出其对称轴x=1,则H点的坐标为（1，0），BH2，由翻折得CBCB4，则求出CH

16、的长，由三角函数可得CBH60，再根据三角函数就可求出DH的长，则D坐标可求。解：由题目已知B（1，0），C（3，0），BC4，又由（1）可知图像对称轴为如图3-1，H是图像对称轴和x轴的交点，即可知H（1，0），BH2，又BC=B C=2在RtBHC中，A C= CB2+BH2= 42-22 = 23，点C的坐标为（1，23），又在RtBHC中，tanCBH=CHBH=232=3CBH60，由翻折得DBH =12CBH30，在RtBHD中，DHBHtanDBH2tan30=233，点D的坐标为（1，233）分析（3）:由第（3）小问可知，P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，但是不知道P点是位于

17、x轴上方还是下方，所以本小题得分两种情况讨论。 当点P在第一象限时：由题目已知可以确定点Q在第一象限，连接BQ，CP。题目要求解直线BP的解析式，由图3-2不难可以看出B,D,P三点共线，即只需求证点D是直线BP上一点就可用点B,D两点坐标求出直线BP。那如何证明D在直线BP上呢？即需要证出BCQ与CCP全等，可说明BP垂直平分CC，利用垂直平分线的逆定理，即可说明B、D、P三点共线，最后带点就可解出直线BP的表达式。当点P在第四象限时：因为点P不确定，所以设E为y轴和BP的交点，求直线BP就可转化为求解直线BE。由第（2）小问的解法可知，要想求出点E需要求OE的长度，同理可利用锐角三角函数解

18、，最后利用B，E两点求出BP。解：取（2）中的点C，D，连接CC， 图3-2BCBC，CBC60，CCB为等边三角形当点P在第一象限时，连接BQ，CPPCQ，CCB为等边三角形，CQCP，BCCC，PCQCCB60，BCQCCP，BCQCCP（SAS），BQCP点Q在抛物线的对称轴上，BQCQ，CPCQCP，又BCBC，由垂直平分线逆定理可知：BPCC且BP平分C C，由题目可知BDC C且BD平分C C，B、D、P三点共线，设直线BP解析式为y=kx+b，则 0=-k+b 解得 k=33 233=k+b b=33直线BP表达式为y=33x+33 。当点P在第四象限时，点Q在x轴下方 图3-3

19、PCQ，CCB为等边三角形，CPCQ，BCCC，CCBQCPCCB60BCPCCQ，BCPCCQ（SAS），CBPCCQ，BCCC，CHBC，C CQ=12C CB=30CBP30，在RtBOE中，OEOBtanCBPOBtan30133 = 33设BP与y轴相交于点E，点E的坐标为（0，-33）设BP的表达式为y=mx+n，有 0=-m+n 得 m=-33 -33=n n=-33直线BP解析式为y=-33x-33 综上可知，BP解析式为y=33x+33或y=-33x-33 .该题是以二次函数抛物线为载体，题目主要涉及了运用方程组求解函数解析式以及直线解析式。考查了动点型问题，运用翻折、轴对称

20、、锐角三角函数、勾股定理、垂直平分线等知识点。整体来说，题目综合型较强，既考查了逻辑的严谨性也考查了解题计算的准确性。例2：（如下为成都市2018年中考压轴题：本小题满分12分）如图3-4，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=52 对称轴的抛物线yax2+bx+c与直线l：ykx+m（k0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若 AFFB=34 ,且BCG与BCD面积相等，求点G的坐标；（3）若在x轴上有且仅有一点P，使APB90，求k的值 图3-4分析（1

21、）：根据题目已知，由抛物线的对称轴，可得出-b/2a=5/2，由抛物线与y轴的交点坐标，即可得出c=5，最后将A点坐标代入，列出方程组求解即可。解：由题意可得， -b2a=52 c=5 a+b+c=1解得；二次函数的解析式为：yx25x+5，分析（2）：由上可知G点是图像对称轴右方一点，但不确定点G是位于直线BC上方还是下方，所以需要分情况讨论。因为题目已知AF/FB=3/4 ,所以可以先根据比例这个条件出发，过A、B两点分别向x轴做垂线，垂足为M、N，再根据已知条件求出B点，继而可解出直线l和直线BC的表达式。又因为BCG与BCD面积相等，所以现在分情况G在BC下方：面积相等的情况下，可知直

22、线BC与直线DG1平行，从而得出直线DG1的解析式，最后求出G坐标；G在BC上方：同理可得点G。解： 过A、B两点分别向x轴做垂线，垂足为M、N，设对称轴交x轴于Q 图3-5则AFFB=MQQN=34 ,MQ= 32 ,NQ2，B（92，114）； k+m=192k+m=114 解得 k=12 m=12 y1= 12x+12 , D(0, 12 ) 同理可求，yBC=-12x+5 SBCDSBCG，G在BC下方，DG1BC，yDG1=-12x+12 -12x+12=x25x+5，解得，x1=32 ，x23，x52，x3，G1（3，1）G在BC上方时，直线G2G3与DG1关于BC对称，yG2G3

23、=-12x+192 -12x+192 = x25x+5，解得x1=9+3174 , x2= 9-3174 x52 ，x=x1=9+3174G2（9+3174 ，67-3178 ），综上所述点G的坐标为G（3，1），G（9+3174 ，67-3178 ）.分析（3）：根据题意要求在x轴上有且仅有一点P，使得APB90，首先看到90和线段AB，结合所学圆的知识，知道圆周角为90，则可以以AB为直径画圆，发现该圆与x轴只有一个交点，即该点则为题目所求的点P，P又为切点，假设以AB为直径的圆圆心为O，则连接点P，P为MN的中点，运用三角形相似建立等量关系列出方程求解即可解：由题意可知：k+m1，m1k

24、，ylkx+1k，kx+1kx25x+5，解得，x11，x2k+4，B（k+4，k2+3k+1），设以AB为直径的圆的圆心为O，x轴上仅有一点P，点P为圆的切点，根据圆切线的性质可知OPx轴，P为MN的中点，P（K+5 2 ，0）， AMP PNB ,AMPM=PNBN ,AMBNPNPM，1（k2+3k+1）（k+4-K+5 2）（K+5 2-1），k0，k= -6+466 = -3+263本道题目是以二次函数为载体的综合题，要会灵活根据题意求抛物线解析式，会分类讨论各种情况，可以结合直线平行斜率相等，圆切点，切线等知识点的综合应用题目。例3：（如下为成都市2017年中考压轴题：本小题满分1

25、0分）如图3-6，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：yax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB42，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180，得到新的抛物线C（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围（3）如图3-7，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C上的对应点P，设M是C上的动点，N是C上的动点，试探究四边形PMPN能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由 图3-6 图3-7分析（1）：由图3-6可知抛物线的对称轴为y轴，由图3-6 知D

26、（0，4）是其顶点坐标，则可用顶点式设二次函数为ax2+4，又因为AB42 ，则点A（22，0）可直接代入二次函数中求出a；解：由题意抛物线的顶点D（0，4），A（22，0），设二次函数的表达式为ax2+4，把A（22，0）代入可得a=-12，C的解析式为y=-12x2+4 . 分析（2）：由题可知新的抛物线C是由抛物线C旋转所得，所以抛物线C的开口大小和C一样，其顶点坐标也可得出为（2m，4），则根据顶点式可设抛物线C的解析式为y=-12(x-2m)2-4，因为两个抛物线有交点，所以联系两抛物线的解析式即可得到一个关于x与m的方程：x22mx+2m280，由题和图可知，两抛物线在y轴的右方有

27、两个不重合的交点，则有 (2m)2-42m2-80 2m02m2-80 最后解出不等式组即可；解：由题意可知旋转后的函数C顶点坐标为（2m，4），设函数C的表达式为y=-12(x-2m)2-4 ，由 y=-12x2+4y=-12(x-2m)2-4，消去y得到x22mx+2m280，由题意可知，两个抛物线有交点，两交点不重合且都在y轴右侧。则有 (-2m)2-42m2-802m2-80， 得出22，综上可得m的取值范围为22 分析（3）：根据题意可知要四边形PMPN成为正方形，但不知道该正方形是出现在抛物线C的内部还是外部，所以该题目得分情况讨论。 PMPN在C的里面。因为抛物线C上有一点P，该

28、点不仅到两轴距离相等，而且在第一象限，所以根据抛物线解析式不难得出P点坐标为（2，2）。因为正方形对角线互相平分且垂直，所以想要证明PMPN为正方形，只需证明PFM是等腰直角三角形即可。分别过点P和点M作x轴的垂线，垂足分别为E、H。因为PFM是等腰直角三角形，所以可证PFEFMH，得出PEFH2，EFHM2m，可得M（m+2，m2），再将点M代入抛物线C上即可求出m的值；正方形在抛物线C的外部。和同理，先表示出点M坐标，然后就可求出m的值。解：结论：四边形PMPN能成为正方形理由：PMPN在C的里面。如图3-8，由上可得P（2，2），分别过点P，M作x轴的垂线，垂足分别为E、H。 图3-8当

29、PFM是等腰三角形且PFM=90时，PMPN为正方形，三角形两直角边相等PFFM，PEF和FHN相等，都为直角，则有PFE与HFM互余，HFM与FMH互余，PFE=FMH，PFEFMH（AAS）由上可得PEFH2，EFHM2m，则M（m+2，m2），点M在y=-12x2+4上，且m0m2=-12(m+2)2+4，解得m=17-3或m=-17-3（舍弃），当m=17-3时，满足题意正方形在抛物线C的外部。如图3-9，同法可得M（m2，2m），且m0 图3-9把M（m2，2m）代入y=-12x2+4中，2-m=-12(m-2)2+4 ,解得m6或m=0（舍弃）当m6时，满足题意。综上所述，当m=17-3或m=6时，四边形PMPN是正方形。本道题目是以二次函数为载体的综合题，该题目考查了求解方程组；运用数形结合的数学思想求未知数的取值范围，并穿插了解不等式组的知识点；借动点问题，考查等腰三角形和直角三角形的性质，全等三角形的证法以及正方形的性质和判定。 4 小结纵观2014-201