数学与应用数学-微分与积分转换方法及其应用研究论文

1、微分与积分转换方法及其应用研究摘要 微积分学的创立促进了近代数学的发展，在整个数学领域占有非常重要的地位，我们知道微分与积分是可以通过牛顿莱布尼兹公式作为工具进行转换的.本文首先回顾了微积分学创立的历史及发展过程，其次给出微积分基本定理即牛顿莱布尼兹公式，并且以微分中值定理与积分中值定理为基础，给出定理的具体内容然后通过证明说明微分与积分的转换方法.最后给出一些涉及微分与积分转换的例题，将积分问题从微分角度看，通过微分导数的方法解决，反之亦是，通过对比发现一些题目运用转换的思想方法可以简化证明.本文的工作对于我们学生把握微分与积分的关系，以及利用微分与积分可以转换这一特点解决学习中的相关问题有

2、一定的实际价值.关键词 微分 积分 转换 中值定理 Differential and integral transformation method and its applicationsAbstract The calculus has promoted the development of modern mathematics and places an important role in the entire field of mathematics. We know that differential and integral can be converted by Newton-Le

3、ibniz formula as a tool. Firstly, we review the history and development process of the calculus. Secondly we give the basic theorem of calculus, the Newton-Leibniz formula. And based on the differential median theorem and the integral median theorem, the specific content of the theorem is given, and

4、 then the conversion method of differential and integral is explained. Finally, we give some examples on the conversion of differential and integral. Through comparison, it is found that some topics can be simplified by the conversion of thinking methods. The main work of this thesis is of practical

5、 value for our students to grasp the relationship between differential and integral, and to use the relationship to solve related problems in learning.Key words Differential Integral Transformation Mean Value Theorem 目 录1.引言11.1 研究背景及意义11.2 研究思路12.微分与积分之间的转换22.1 相关定理22.2 定理的几点说明23.微分中值定理与积分中值定理33.1

6、相关概念33.2 定理间的相关性54.微分问题与积分问题转换的应用84.1 利用变限积分及微分与积分的转换84.2 利用微积分中值定理104.3 利用微积分中值定理判断函数零点个数17结 论19参考文献20致 谢211. 引言1.1 研究背景及意义微积分学从出现萌芽到建立再到严密化经过了一个漫长的时期，在这个过程中，不得不提到两位伟大的科学先驱：牛顿和莱布尼兹1P90-92.是他们认识到，过去一直分开来研究的微分运算和积分运算其实是两个互逆的过程，通过一个公式可以把他们联系起来.当时，数学家们都在思考这样两个问题：如何计算出已知曲线的切线？如何求出已知曲线下方图形的面积？牛顿将这两个问题整合起

7、来研究，利用二项式展开构造了一个系数表，这张表将微分与积分的概念联结起来了.他在1665年5月20日，第一次提出 “流数术”，随后他指出微分和积分是一对逆运算,并且给出了换算的公式，这个公式就是我们现在熟悉的牛顿莱布尼茨公式，也可以叫做微积分学基本定理.牛顿所做的这些研究使他超过所有的微积分先驱者，但这一研究成果没有被立刻公布，直到1687年，牛顿才出版了著作自然哲学的数学原理.同一时期，德国数学家莱布尼兹也在研究这两个问题并尝试找出它们之间的关系.他通过把有限量的运算与无穷小量的运算进行类比，创立了无穷小量求商法和求积法，就是微分和积分运算.1684年他发表的一种求极大极小和切线的新方法，它

8、也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型计算被认为是最早的微积分文献2P290-292.莱布尼兹和牛顿一样，都掌握了微分法和积分法，并且探索出了二者之间的关系.就研究时间而言，牛顿比莱布尼兹早10年，但牛顿没有将他的研究成果及时公布，所以就发表文章的时间而言，莱布尼兹早于牛顿，后人通过研究手稿可以知道他们的工作是彼此独立完成的.关于谁是微积分的创始者，历史上曾经历了长达一百多年的论战，但现在我们同时把将牛顿和莱布尼兹视为微积分的创始人3P255-256.得益于牛顿和莱布尼兹的贡献，过去一直分别研究的微分与积分可以通过牛顿莱布尼兹公式在它们之间架起转换的桥梁.1.2 研究思路首先阅读相关文

9、献书籍，学习微积分学发展历史及微分与积分的相关定义、定理，认识到微分与积分之间可以通过牛顿莱布尼兹公式这一工具进行转换4P67-69，然后以微积分学中重要理论基础微分中值定理与积分中值定理为例子，详细说明转换方法.最后将微分与积分之间的转换解决某些出现在数学分析中的证明题. 第21页2 微分与积分之间的转换2.1 相关定理定理2.1.12P224若函数在上连续，则积分上限的函数在上具有导数并且它的导数是 ，.于是当很小时，有定理2.1.22P206若在上连续，又函数为在上的一个原函数，则.2.2 定理的几点说明该定理向我们揭示了微分与积分互为逆运算这一本质联系.定理2.1.1说明，对函数取变上

10、限积分，再求导；或者对表达式先积分，再微分，则与原来函数一样.在一个很小的空间上，积分可以转化为微分，等同于微分，这一过程像是把两种运算互相“抵消”了，因此微分和积分可以认为是互逆的两个过程.定理2.1.2则从另外一个角度进行说明，我们用分点对区间进行分割，事实上，对于的任意分割，在每个小区间上由拉格朗日中值定理，分别存在,使得.于是令，对上式两边取极限，得对于式子我们简单地理解为函数在点处的微分之和：.对于式子我们可以理解为在上各点处的微分总和，又由于所以故式（2.2）也表明了定积分就是在上的增量5P23-24.这就通过证明从理论上解释了积分与微分是原函数增量的整体形式和局部形式，积分是微分

11、的无限累积，反之则是无限细分，以上是对微分与积分之间的转换的进一步说明.除此之外，我们学过的很多与微积分有关的定理也可以通过牛顿莱布尼兹公式作为桥梁进行转换，像是微分中值定理与积分中值定理，下面我们就以这两个中值定理为例来说明微分与积分的转换.3 微分中值定理与积分中值定理3.1 相关概念定理3.1.12P122（罗尔（）中值定理）若函数f满足如下条件：（i） 在闭区间上连续；（ii） 在开区间上可导；（iii） ，则在上至少存在一点，使得.定理3.1.22P123（拉格朗日（）中值定理）若函数f满足如下条件：（i） 在闭区间上连续；（ii） 在开区间上可导，则在上至少存在一点，使得.定理3.

12、1.32P128-129（柯西（）中值定理）设函数和满足：（i） 在闭区间上都连续；（ii） 在开区间上都可导；（iii） 和不同时为零；（iv） ，则在上至少存在一点，使得.定理3.1.4（一般的中值定理）设函数和满足：（i） 在闭区间上都连续；（ii） 在开区间上都可导；则在上至少存在一点，使得.定理3.1.42P220（积分中值定理）若在上连续，则至少存在一点，使得.推论3.3.12P221（推广的积分中值定理）若和都在上连续，且在上不变号，则至少存在一点，使得.3.2 定理间的相关性通过研究发现，将牛顿莱布尼兹公式作为桥梁可以实现微分中值定理与积分中值定理之间的转换6P69-71，这样

13、就从具体例子出发说明积分运算与微分运算互为逆运算的这一本质关系，从而深刻地揭示了微分学与积分学的联系，证明如下：首先是由积分中值定理推导微分中值定理.证明：若在区间上连续，由一元函数可导一定连续，可知在区间上一定连续，在一定可导，由积分中值定理可知，至少存在一点，使得，再由牛顿莱布尼兹公式知，综上可得.整理得到.即推出拉格朗日中值定理.如果加上这一条件，则可以得到.即推出罗尔中值定理.对于柯西中值定理的证明，很多文献7P112-114会采用构造辅助函数的方法.分析：要证存在，使得成立，只要证.证明：不妨设和在上连续，且对任意，有.由一元函数可导一定连续知和在上必连续，在必可导.构造函数，显然在

14、上连续，在可导.且有在上也连续，由积分中值定理可知，至少存在一点，使得，再由牛顿莱布尼兹公式知，综上可得.再由函数知，故，又因为，所以有成立，即可得到，整理得.因此，定理得证.反过来由微分中值定理也可推导积分中值定理.证明：设函数在闭区间上连续，在开区间上可导，由定理2.1.1知，积分上限的函数在上具有导数，并且它的导数是，.又因为一个函数的任意两个原函数之间只相差一个常数，即，为任意常数.为的原函数族，所以在上具有导数且.又因为一元函数可导一定连续知在上连续，在上可导.由拉格朗日中值定理知，在上至少存在一点，使得，再由牛顿莱布尼兹公式知，综上可得.即从拉格朗日中值定理得到了积分中值定理.下面

15、我们考虑利用一般的微分中值定理证明情形下推广形式的积分中值定理8P60-63.证明：令，因函数和在都上连续，在上可导.显然，在上连续，在上可导.又，.故由一般的中值定理知，在上至少存在一点，使得，化简得，整理得.即得到推广的积分中值定理.4 微分问题与积分问题转换的应用本章将介绍利用微分与积分转换解决一些在数学分析以及数学竞赛和研究生入学考试中的证明题.4.1 利用变限积分及微分与积分的转换例4.1.1若函数在连续，且对任意，则.证明：记.因在上连续，由定理2.1.1知在上可导，且.而，故，证毕.例4.1.2设函数在上非负连续，则在上恒为零.证明：记.因在上连续，由定理2.1.1知在上可导，且

16、.因为在上非负连续，故有，所以在上是单调增函数.又，所以，故，即，证毕.注 此题在华东师范大学版数学分析教材2P219-220上给出的证明方法是：用反证法.倘若有某，使，则由连续函数的局部保号性，存在的某邻域（当或时，则为右邻域或左邻域），使在其中.由定积分的保号性和积分区间可加性推知，这与假设相矛盾.所以，证毕.通过对比上述两种证明方法，可以发现，利用导数的方法要比利用定积分性质更为简单，所以将微分与积分可以转换这一特点应用到题目中可以更好地帮助我们解题.例4.1.3设函数在连续，且，求证：.证明：记.因在上连续，由定理2.1.1知在上可导，且.因为，所以，即.由可知，即.故函数在上单调递减

17、，又当时，函数值为零，所以，而已知，所以，即，证毕.例4.1.4若函数在上连续，且存在使得 证明：.变形：若函数在上连续，且存在使得 求证：是常值函数.证明：记.因在上连续，由定理2.1.1知，在上可导，且，则原不等式可化为令得.于是，又.故，证毕.变形：原不等式可化为，令得.由导数的定义知可导且，故是常值函数，证毕.函数零点问题9P18-20在数学分析教材和研究生入学考试中经常可见，通过上面几个例题发现我们可以利用变上限积分及微分与积分的转化等方法.4.2 利用微积分中值定理例4.2.1（1）设函数在上连续，在上可导，且，则，使得.（2）设函数在上连续可导，在上二次可导，且，则，使得.分析：

18、如果令，根据第（1）小题的条件即可得到，.通过对比两个小题，可以发现如果把看成，这样通过微分与积分的转换，就可以从第（1）小题转换成第（2）小题.证明：（1）因函数在上连续，则由积分中值定理知，存在，使得.故又在上连续，在上可导，且，由罗尔中值定理知，在上至少存在一点，使得.证毕.（2）因函数在上连续，在上可导，且，由罗尔中值定理知，在上至少存在一点，使得.又由题意，再由罗尔中值定理知，在上至少存在一点，使得.证毕.例4.2.2（1）设函数在上连续，求证：存在，使得（2）设函数在上连续可导，求证：存在，使得.分析：如果令，根据第（1）小题条件即可得到，.又，可知，通过对比两个小题，可以发现如果

19、把看成，这样通过微分与积分的转换，就可以将第（1）小题转换为第（2）小题.证明：（1）反证，若否，则对任意，都有.记.由分部积分法得，故.由拉格朗日中值定理知当时，；当时，.其中，令，从而.这与矛盾，故得证.（2）反证法，若否，则对任意，都有.由拉格朗日中值定理知当时，；当时，.其中，令，从而.这与矛盾，故得证.例4.2.3设在上可微，且当时，证明：.证明：（法一）原式变形为.令，显然和满足柯西中值定理的条件，故存在，使得.令，显然和满足柯西中值定理的条件，再用一次柯西中值定理，存在，使得.又，所以.（法二）要证，只要证.令，因，故只要证明在内有.事实上，.已知，当时，故，.下面证明另一个因子

20、也大于零.事实上，记，则且.于是当时，故，证毕.注 此题是利用微分学方法证明积分不等式10P345-346，并且给出了两种证明方法.法一是将原函数变形后构造新的函数，利用柯西中值定理证明，还可以通过不同的变形方式得到新的证明方法。例4.2.411P25-27（1）设在上二次可导，证明：存在点，使得.（2）设在上连续可微，则.证明：（1）在处做泰勒展开结合，有，取，就有.不妨设，那么，于是.即，证毕.（2）设，因为，所以从而有，证毕.注 文献12P78-80在用微分中值定理证明了两个不等式是严格的，文献13P36-38用分部积分证明了这两个小题，将结论一般化并给出两个定理. 例4.2.5设在上不

21、恒为零，且其导数连续，并且有.证明：存在点，使得.证明：（1）若，结论显然成立，可以取区间上的任一点.（2）若，反证法，若否，则对任意，恒成立，于是是常值函数，恒为零，与题目中在上不恒为零矛盾，所以存在点，使得.（3）若，在上连续，满足积分中值定理，故在至少存在一点，使得.故不等式右边.因，所以.又在上连续，在上可导，则在上至少存在一点，使得.所以，整理得到.证毕.例4.2.614P14-15设函数在上二阶可导，记.证明.证明：在处泰勒展开其中.对等式两边分别积分得到.由可知，.于是证毕.例4.2.7 设函数二次可微，证明：，并且等号成立当且仅当成立.证明：因在上连续，有最大最小值.又因，故最

22、小值在内取到，所以使得.于是为极小值.由费马定理，有.在处按泰勒公式展开，使得，于是.因此.当时，取，有，当时，取，有，当且仅当，取等号，又由，可知.证毕.4.3 利用微积分中值定理判断函数零点个数例4.3.1设函数在上连续，在上可导，且，证明：在上至少存在一点，使.证明：因为函数在上连续，所以函数满足积分中值定理的条件，则至少存在一点，使得.即，又因为，所以，且由函数在上连续，在上可导，由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得.证毕.例4.3.2设函数在上连续，且，证明：在上至少有两个零点.证明：（1）若在上无零点，因为连续，所以在内不变号，不妨设，根据积分不等式性质有，这与已知矛盾，故在上至少

23、有一个零点.（2）若在上除外没有零点，则在与内分别保持不变号，因此恒正或恒负，故（或），但由条件知，矛盾.若在与上符号相同，则恒正或恒负，同样得出矛盾，因此在上至少有两个零点，证毕.例4.3.3设函数在上连续，且，证明：在上至少有两个零点.证明：记，则有，再由分部积分.由积分中值定理，使得，因，必有.再对在区间上分别运用罗尔中值定理知，至少存在，使得，即，故在上至少有两个零点，证毕.例4.3.4证明：若函数在上连续，且，则在上至少存在两点，使。又若，这时在上是否至少有三个零点？证明：假设对任意的均有，则由连续函数根的存在定理知，在内恒正或恒负.于是根据积分的保号性有或.这与矛盾.故至少存在一点

24、，使.假设在上只有一个零点，则由，可得，又因为在与每个区间内不变号，故由推广的积分第一中值定理，存在，使得与矛盾.故在上至少存在两点，使.下证，若，则在上至少有三个零点.假设在上只有两个零点，则由，可得，又因为在，每个区间内不变号，从而由推广的积分第一中值定理，存在，使得即与矛盾.故在上至少存在三个零点，证毕.注 类似可证若函数在上连续，且，则在上至少存在个零点.关于判断函数零点个数的方法有多种，上述给出的几个例题主要利用了微积分中值定理、积分的性质15P27-28等.结 论本文探究微分与积分的转换方法入手，围绕微分与积分能够利用牛顿莱布尼兹公式作为桥梁进行转换这一特点进一步展开讨论，文章首先从微分与积分相关定理出发，从理论上证明它们之间有着本质联系，然后通过举例的方式，本文主要举了微分中值定理与积分中值定理之间的转换，进一步说明了微分与积分之间的关系.此外，利用微分与积分可以相互转换这一特点证明某些在数学分析教材、数学竞赛以及研究生入学考试中的题目也是一个不错的选择.我们发现，很多微积分的证明题都可以将积分问题从微分看，利用导数和积分的转化求解，