数学与应用数学-全概率公式及其应用论文

1、全概率公式及其应用摘要 全概率公式是概率论中的一个重要公式，它是解决复杂事件的一条行之有效的途径，是化繁为简解决复杂事件的概率计算的重要手段，它的根本作用就是将复杂事件的概率化简为求解多个简单事件概率之和.文中一方面对全概率公式的有关理论进行了介绍，并且探讨了全概率公式在流水线生产口罩、新型冠状病毒的核酸检测等方面的问题，给出了相应的一些有意义的结果,证明了全概率公式在经济、医疗等很多情况下可以进行运用，同时说明全概率公式在生活中渗透越来越深；另一方面对全概率公式进行推广，介绍了推广的全概率公式的理论知识，然后将其运用到生活中可能遇到的抓阄和摸球模型这一类的实际问题中，解决了这类复杂问题中事件

2、的概率.通过这样的案例说明全概率公式可以应用到更复杂的生活实例中.关键词 全概率公式 复杂事件 应用 推广 完备事件组Law of Total Probability and Its ApplicationsAbscrat Law of total probability is an important formula in probability theory, it is an effective way to solve complex events, and it is an important means to simplify the probability calculation

3、 of complex events, its basic function is to simplify the probability of complex events to the sum of simple events. On the one hand, the paper introduces the theory of Law of total probability, and discusses the problems of Law of total probability in the production line of masks, nucleic acid dete

4、ction of 2019-ncov, etc. , the results show that Law of total probability can be used in many situations, such as economy and medical treatment, and that Law of total probability is penetrating more and more deeply into peoples life On the other hand, the paper generalizes the Law of Total Probabili

5、ty, introduces the theory of Law of total probability, and then applies it topractical problems such as the lottery and the ball model, solving the probability of an event in such a complex problem shows that Law of total probability can be applied to more complex life examples.Key words The total p

6、robability formula Complexevent Application AGeneralization Exhaustive events 目 录引言11全概率公式31.1完备事件组31.2全概率公式31.3全概率公式的内涵31.3.1数学思想31.3.2运算本质41.3.3“全”的含义41.3.4运用关键41.3.5意义价值51.4全概率公式的应用51.4.1全概率公式在经济方面的运用51.4.2全概率公式在医学方面的运用82全概率公式的推广102.1推广的全概率公式102.2推广的全概率公式的应用122.2.1推广的全概率公式在抓阄问题上的应用122.2.2推广的全概率公式

7、在摸球问题上的应用13结论15参考文献16致谢17引 言全概率公式是概率论中一个重要公式，它的根本作用就是将复杂事件的概率化繁为简，求解多个简单事件概率之和.随着日新月异的社会的进步和发展，全概率公式的研究与发展许多日常问题被用这些办法给解决，同时把全概率公式进一步推广使适用范围变得广阔而又有效，这逐渐就成为我们解决更困难问题的有效手段之一.生活许多事件并不是简单通过最简单的运算就可以算出其中的概率，大部分的复杂事件我们无法直接解决，这就需要我们考虑是否可以通过简单地方法将概率计算出来.简单事件我们会进行运算，我们是否可以将一个复杂的事件拆分成简单的事件进行计算.然后通过不停地努力全概率公式应

8、运出生.1这样生活中的许多实际问题就可以很方便的进行解决，全概率公式慢慢就成为生活中不可或缺的一条有效的工具.好的数学方法的正确使用是必不可少的，这就需要我们把对定量地问题用全概率公式进行有效地分析使用，这是为了保证结论的有效性和采取率，这样才会使生活中的许多问题得以解决的.越来越明显的渗透与结合使得生活中的概率论变得不可或缺，这就很明白的凸显全概率公式的重要性.如全概率公式被用来解决像投资、保险这样的等一系列难以主观直观判断的问题，把全概率公式灵活方便的运用可以使生活中许多难题得以方便而又简练的解决，而且这些推广形式的研究是有效拓展了全概率公式的适用范围，推广形式的研究就会被当作解决更复杂问

9、题的有效手段.这些有效手段的利用会被人们充分的认识到，从而知道推广形式的全概率公式它的重要性和价值.全概率公式及推广形式的不断在生活实际中的运用会激发人们进一步研究全概率，相关事件间的有关影响关系会被更好的理解掌握，从而发挥更加有效的为生产实践提供能够快速解决问题的信息的能力.随着我们更加深入地学习，我们可以发现生活中许多那已解决问题会被全部概率公式以一种全新的的思维方式也即是化整为零给解决掉了 2，而且通过不同方面的对公式推广后全概率公式适用范围就更加大，它的作用就变得更加不可或缺，慢慢全概率公式就会变成解决日常生活中有效得工具.当今社会的飞速发展下，有综合判断信息的能力变得尤其重要.如果决

10、策者不能较好的选取一种有效的方法，从而导致的运算步数过多、数据处理量大、数据内容遗漏严重，那会使信息综合判断出现较大误差，使得各方面出现重大损失.通过全概率公式及其推广形式的运用，不断在经济，医疗等生活情景下的大展身手，大大缩短时间，争取更大的利用率.较快帮助人们解决一些难以确定的问题.利用好全概率公式有利于加快了解研究目标事件与完备事件组的关系，为生活实际中提供更多直接有价值有效的决策性的信息.对于一个问题的解决我们需要考虑其可能性也就是估算其实施后的有效性，全概率公式就有这样的作用，所以它就这样被不断地应用于实际的生活、生产等各个领域中，从而帮助人们解决问题.在全概率公式的应用逐渐显得重要

11、的今天，很多专家学者在这些方面做了详细地研究和调查，以下就是概述.“简单的研究和探讨了全概率公式及其应用，通过全概率公式在具体例题中的运用出发，说明了生活实际运用的一个重要公式全概率公式”，这是杜镇中的研究解释3；在此之后为了全概率公式更好的利用在实际中，李全忠，刘长文，王希超在大学数学中指公式的不足与缺陷并进行改进，通过有效的改进将全概率公式能够将其按照解决实际问题的逻辑过程进行描述，有效的帮助使用者理解4；纪宏伟,李卫平在呼伦贝尔学院学报中又对全概率公式的内涵进行深度解释和剖析，深入掌握和利用了全概率公式理论及其应用5；为了适用范围更广，曹宇菁在数学的实践与认识中以简练的语言探讨了在条件概

12、率下的全概率公式及其应用，并且给出了一个新形式即独立条件下的全概率公式6；唐旭晖,李冱岸,段利霞在高等数学研究中把全概率公式的条件进行减弱，有限事件组以及无限可列事件组的应用可能性被在这个减弱的条件的情况下给出，更给出全概率应用于敏感性问题的具体实例7；在成都师范学院学报中李佳,邓有莲对全概率公式进行了两点批注作为对全概率公式地解释和说明，全概率公式被进行了充足的填补，学生学习兴趣被激发，全概率公式的各个方面的知识被了解，掌握和运用同时被进行了加深8；何春花，张晓梅在高等函授学报中通过具体实例由浅入深，由易到难让学生学习，了解全概率公式的应用技巧，以便学生理解，掌握有关知识并运用到生活实际9；

13、王鹏风在忻州师范学院学报之中，从比较简单的两个公式出发推导出全概率公式的定义，并且为了全概率公式的理解和教学进行了推广和研究给出了五步教学法10.本文在以上的研究者研究的基础上进一步将全概率公式在实际各领域内的应用进行了归纳和讨论，特别地利用全概率公式给出了当下热点问题新冠病毒的核酸检测问题和口罩生产问题的一些有意义的结果,并进一步探讨了一些复杂试验中全概率公式的推广使用.1全概率公式1.1完备事件组定义 设随机试验的样本空间为，为一组事件.如果（1） , （2）则称为样本空间 的一个划分，或称为完备事件组.11p12-13为了给出全概率公式，先介绍下面两个公式：加法公式：对于任意两个事件，有

14、，乘法公式：对于任意两个事件，若则1.2全概率公式定理 设为随机试验的样本空间，为样本空间的一个完备事件组，且,则对任一事件,有. （1）公式（1）称为全概率公式.1.3全概率公式的内涵1.3.1数学思想复杂事件的概率的求解需要一种简单方法，这就避不开全概率公式了.复杂事件被分解，就变成了两个或者若干个互不相容的简单事件，分解之后将这些简单事件相加起来，也就是求出简单事件的和的概率，最后利用加法公式求出这个比较复杂的事件的概率.通过上述解释我们可以看出全概率公式中包含着化整为零的数学思想，而在全概率公式的应用中又需要注意具体问题具体分析，这就免不了分类讨论.由此可见全概率公式蕴含了化归和分类的

15、数学思想.121.3.2运算本质通过定义我们可以轻易的看出，将加法公式和乘法公式综合运用并加以推导就可以得到全概率公式.其中包括“加”“乘”的综合运用，将难点分离简化，逐步简化步骤从而得出答案.生活应用中许多方面都用到了利用数形结合的数学思想，全概率公式也是这样.平面图形下的全概率公式就更易于理解，全概率公式的图形运算理解就是把求不规则图形的面积的问题通过已经学习的知识把它们进行转化成规则小图形面积的的求解,从而进行计算.1.3.3“全”的含义要求事件的发生概率，你会发现由多种原因引起，这些原因记作,假如事件由两两互斥的n个原因所引起，则事件发生的概率为；又由于每一个事件都有一个引起，于是的发

16、生的概率为,通过上面的分析可以看出全的含义就是“总和”的意思.直观形象由定义可以知道，每一个都是引发的原因，那就看作完备事件组是引发事件的全部原因.我们也可以通过概率分支图直观表示直观特点连线相乘，分支相加.见图B1 图B11.3.4运用关键运用全概率公式的根本点在于不能遗漏地寻找完备事件组和产生结果的原因，并且需要保证为两两互不相容的事件.弄清目标事件与完备事件组的关系.目标事件的元素不一定有中的全部元素，有时只被完备事件组中的部分事件所划分.应用全概率公式的时候要注意条件概率的计算.1.3.5意义和价值通过化归的数学的思想方法，选择正确的样本空间将事件分解成若干个简单事件进行处理，从而将分

17、析问题的思路变得条里清晰，达到化繁为简，化难为易的效果.从而帮助我们算出一复杂事件的概率.当今社会的飞速发展下，有综合判断信息的能力变得尤其重要.全概率公式在生活中的应用就会越来越来广泛.全概率公式的运用可以大大地缩减时间，从而更好更加有效地解决它在经济、医疗、物质敏感性等方面的问题.从而简单的给出决策性的知识.1.4全概率公式的应用全概率公式在经济和医疗方面有较为广泛的应用.1.4.1全概率公式在经济方面的运用在经济的最终决定被认可之前，投资商或者决策者都需要初步选择几个自己认为可行的方案，然后评估判断自己预测的那几个可能性，评估过后最终决定那个对自己最有利的方案，从而达到经济收益的最有利化

18、.全概率公式就是一个行之有效的工具.13例1 (疫情期间的口罩生产问题) 工厂生产一次性口罩有四条流水线，这四条流水线产量分别为30%，30%，25%，15%.四条流水线分别生产口罩的不合格率为.现在有商家从出场的口罩中任意抽取一件，问刚好抽到不合格口罩的概率为多少？分析 当抽取到不合格口罩的时候我们就需要考虑该口罩来自哪一条流水线，显然这口罩来自的流水线有四种可能性，分别为来自第一条流水线，来自第二条流水线，来自第三条流水线，来自第四条流水线，从而使用全概率公式估测抽取到不合格口罩的概率.解 令， .因此，由全概率公式可得答 刚好抽到不合格口罩的概率为3.05%.所以全概率公式在疫情期间也有

19、着重要的作用.例2 某五金店进了两箱产品，这两箱里都装有准备出售的灯泡，其中第一个箱子中装有10个合格的灯泡和40个不合格的灯泡，第二个箱子中装有18个合格的灯泡和12个不合格的的灯泡，先随机挑选两个灯泡箱子中的一个箱，再依次拿出两个灯泡.如果第一次拿出的灯泡是个合格品，问第二次拿出的灯泡仍是个合格品的概率是多少呢?分析 这道题就比较有趣，你需要先考虑你抽到的是哪一个箱子，可能是第一个也可能是第二个箱子，在抽完箱子后我们就需要再思考我们是第几次拿到合格品，这又有两种可能性第一次或者第二次，在这些都思考清楚之后，就可以使用全概率公式计算概率了.解 令, , ,根据全概率公式我们就可以得出以下结果

20、.答 第二次拿出合格品的概率例3 有一家牛奶厂准备选择合适的奶源地，现在有三个可供选择的奶源地，经过调查显示这三家的合格率分别为.三个奶源地的供奶量分别占本场总产量的.现在该厂决定将牛奶都运到A地，然后在A地集中出售.现有一名投资商打算投资该厂，假若投资商随机抽取了一件牛奶，其合格率能够达到就进行投资，现在问他会不会进行投资？分析 由题意可知，投资商是否会投资只需要计算一下，随机抽取的这件牛奶为合格品的概率是否不低于96%即可.可以将三个来源地看作成一个完备事件组，这也就是说我们需要考虑抽到的牛奶来自于哪一个奶源地，通过题目我们很清晰地可以了解到有三种可能性:一是这件牛奶来源于第一个奶源地，二

21、是这件牛奶来源于第二个奶源地，三是这件牛奶来源于第三个奶源地,然后由全概率公式可得出合格率.解 ， 根据题意可得 , 从而再根据全概率公式，我们可以得因为，所以该投资商不会投资这个厂.例4 某商场有冰箱10台，进货的时候就被告知里面只有7台合格品，现在已经有顾客先后买走了2台，现在又有顾客准备进行购买，问这名顾客从剩下的冰箱中买到合格品的概率是否能达到80%？分析 从剩下的冰箱中去买冰箱明显就受之前卖出的2台的影响，就这需要我们考虑之前卖出去的可能性，一是2台都是合格品，二是一台合格另一台不合格，三是2台都是不合格品.然后就可以通过全概率公式进行估算.解 设 则，.应用全概率公式得，.显然该顾

22、客买到合格品的概率达不到80%.1.4.2全概率公式在医学方面的运用在医学的应用的问题上主要需要考虑两个角度，一是控制，二是治疗。而直接有效的步骤就是对这种病进行控制，而诊断判断出疾病来自哪里是治疗的前提.要对患者进行诊断，按传统的方法一一进行排除就会发现检验会繁琐，但假如提前用全概率公式，可简化化验过程，缩短治疗时间，让医生更好的对症下药，能够更快的治疗病患.利用好全概率公式就可以更加有效的分析定性问题，从而更好地提高病人的治愈率.例5 针对某冠状病毒进行核酸检验，患这中病毒的人中呈阳性反应，而未患该冠状病毒的人中也有呈阳性，假设人群中有的患有这种病 ，问某人做这种核酸检验呈阳性反应的概率为

23、多少；若呈阳性反应，则患这种病的概率又是多少？分析 想要解决这一问题，我们就需要思考呈阳性的人是什么情况，是患有该病的还是不患有这种病症的，然后可以运用全概率公式计算出概率.解 设， , 由题意知则呈阳性的概率为 若此人呈阳性反应，则他患这种病的概率为 答 这个人呈阳性的概率为，在呈阳性的状态下患这种病的概率为.这说明在题设条件下，此人检测出阳性的可能性很小，但一旦检测呈阳性，他患这种病的可能性会大大提高，所以不可忽视. 由此可见，全概率公式对病毒的核酸检测预测有较好的效果.例6 在疫情爆发的期间某地禽流感爆发，为了疫情有效抑制，有关人士对得病的禽类进行分析检验后，简单预测这种禽流感可能是型,

24、型,型这三类病菌引起.现在知道感染型病菌可能性为，感染型病菌的可能性为，感染型病菌可能性为.感染这几种致命病菌发病概率分别为.现在问流感为型病菌的可能性大小为多少？分析 对待禽流感我们需要对症下药，现在某地爆发禽流感了，就需要考虑这种禽流感是由哪一种病菌引起的，通过题意我们可以很快给出这四种可能性，一是由型病菌引发的禽流感，二是由型病菌引发的禽流感，三是由型病菌引发的禽流感，然后就可以利用全概率公式得到各种题目所需要的概率.解 设， 由题意知，根据全概率公式我们就可以得出 又根据条件概率公式和乘法公式 故答 流感为型病菌的可能性为.例7 某甲级医院采用,四种方法医疗某种新型流感.在该流感患者身

25、上采用这四种方案医疗这种新型流感的百分比分别.他们的治疗效果治愈率分别,假设该医院接受治疗患者，问患者的治愈率为多少呢？分析 倘若该甲级医院对该流感患者进行收治，这就需要考虑用哪种方案才能最有效的帮助病患治疗出院.这个医院很明显可以为患者提供四种治疗方案，分别可能为一是采用型方法医疗该流感患者，二是采用型方法医疗该流感患者，三是采用型方法医疗该流感患者，四是采用型方法医疗该流感患者，然后就可以通过全概率公式计算出该患者的治愈出院可能性.解 令 ， 由题意可知 ,再根据全概率公式我们可以得到 .答 如果该医院接受患者，患者治愈率为.2全概率公式的推广在生活问题的许多实际问题中并不是由原因直接产生

26、结果的.而是先从原因开始经过一系列中间变化过程得到一个结果，再将这些结果视作原因才得到结果的.为了应对这些情况，解决这样的问题，我们需要对全概率公式进行推广.这样的推广的全概率公式就可以帮助我们解决更大范围的问题，下面我们开始介绍推广的全概率公式.2.1推广的全概率公式定理2 设为两两互不相容事件，且,又为个两两互不相容的事件组,且.则 （2） 证明 由全概率公式可得 （3）而 （4）将（4）式代入（3）式中得到（2）式.在这样的一个复杂定理中，我们可以将看作引发事件的原因，而由这些原因产生的结果为我们可以将这些看为中间过程，然后我们再通过这一系列中间结果推出最终结果.在之后做例题的时候，我们

27、需要注意将引发事件的原因全部一一找出来，不能出现遗漏、重复的问题，也就是；我们也要将中间结果表达出来，也就是都要有，不应该出现遗漏的现象.在应用推广的全概率公式时要知道并了解以下三点：一要了解,二要了解，三要了解然后就可以通过这个推广的全概率公式去解决有一系列中间结果的更复杂事件的概率，这样的推广的全概率公式适用范围广泛，可以帮助我们解决更复杂的概型.这样的概型我们就可以概括为“原因中间过程结果”这样的结构.这就帮助我们更方便的理解推广的全概率公式，并快速地应用到生活中地实际问题中.14 推广的全概率公式在使用时，因为借助于树状结构图来写出全概率公式.如画出的图B2.图中只需要把直线上的数据相

28、乘，然后各分支相加这样就可以得到的概率.这也可以概括为“连线相乘，支线相加.”这样的数形结合方便快捷.15 图B2 2.2推广的全概率公式的应用推广的全概率公式在生活中有更广的适用范围，下面就举出其在两种模型中的应用.2.2.1推广的全概率公式在抓阄问题上的应用例8 小明和他的朋友参加一个抽奖活动，其中“一等奖”1个，“二等奖”2个，3个“三等奖”，现在抽奖负责人规定每人只能抽一次，试问我们能否说明不管先后顺序他们抽到“一等奖”，“二等奖”，“三等奖”的机会是相等的吗？证明 设分别表示为第一人抽到“一等奖”，“二等奖”，“三等奖”；又设分别表示第一人抽取“一等奖”，“二等奖”，“三等奖”后盒内

29、的情况；表示为第二人抽到“一等奖”. 由题意知，从而设分别表示第二人抽到“一等奖”，“二等奖”，“三等将”；又设分别表示第二人抽到“一等奖”，“二等奖”“三等奖”后盒内的情况；D表示第三人抽到“一等奖”.此时可得，；，；，；，；，；，；由此，三人抽到“一等奖”的概率为 同理可得，第四人，第五人，第六人这些人抽到“一等奖”的概率均为；同理，我们也可算出小明和他的朋友抽到“二等奖”的概率均为；抽到“三等奖”的概率均为.通过上述证明我们可以知道小明和他的朋友们抽到各种奖项的机会是均等的.这个题目就可以帮助我们理解生活中的一些误区.并不是第一人抽到“一等奖”的机会更大一些.通过题目数据的验证我们可以知

30、道，不管先后抽取的顺序如何，这些人抽到各种奖的可能性都是均等的.2.2.2推广的全概率公式在摸球问题上的应用例9 现有两个粉笔盒，第一盒装有蓝色粉笔1支，白色粉笔2支,这只盒子视为A盒；第二个盒子中装有白色粉笔1支，蓝色粉笔2支，这只盒子视为B盒.现在有两个朋友小白和小兰在老师的帮助下准备玩一个游戏，先从A盒中拿一个粉笔到B盒中，再从B盒子中拿一个粉笔到A盒子中，经过这一系列的行为后，从A盒中拿出一个粉笔，粉笔是蓝色的概率是多少？解 设为从A盒子中拿一个粉笔分别为白色或蓝色放入B盒子中的情况；分别为从中拿出一个粉笔分别为白色或蓝色放入A盒子中的情况.分别表示从A盒子中拿出粉笔是白色、蓝色；分别表示从B盒子中拿出的粉笔是白色、蓝色；表示最后从A盒子中出的粉笔是蓝色的.我们可以通过图B3进行理解.由题意知，；，；，故最后从A盒子中拿出蓝色粉笔的概率为.C图B3结 论随着我们更加深入地学习，我们可以发现生活中许多那已解决的问题会被全概率公式以一种新的数学思维方式给解决掉，且之后在不同方面对公式的推广后，越来越大的全概率公式的适用范围使它的作用就变得更加不可或缺、更加重要，从而慢慢地，全概率公式也就会变成人们解决日常生活中难以判断的一类问题的行之有效的工具.在当今社会的飞速发展下，综合判断信息的能力变得尤其重要.如果决策者不能较好的选取