立体几何证明方法汇总.doc

1、中位线定理例题：已知如图：平行四边形ABCD中，BC = 6,正方形ADEF 所在平面与平面ABCD垂直，G, H分别是OF, BE的中点.(1) 求证：GH平面CDE；(2) 若CD = 2、DB = 4屁 求四棱锥F-ABCD的体积.练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABCABG中，AC=3, BC=4, AB=5, AAX=4,点D是AB的中点。求证：AG平面CDBh2. 如ABCD-AXBXCXDX是正四棱柱侧棱长为1,底面边长为2,E是棱BC的中点。求证：/平面CQE ；(2)求三棱锥D-D.BC的体积3. 如图，在四棱锥PA3CD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD丄底面ABCD, P

2、D = 4、DC = 3, E是PC的 中点。(1) 证明：PA/平面BDE；(2) 求M4D以Q4为轴旋转所围成的几何体体积。例2.如图，在矩形43CD中，43 = 2BC , EQ分别为线段AB,CD的中点，EP丄平面ABCD求证：AQ/ 平面CEP.（利用平行四边形）练习：如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，E、F分别是AB. PD的中点。求证：AF平面PCE；如图，已知P是矩形ABCD所在平面外一点，PD丄平面ABCD, M, MN/平面 PAD 如图，已知AB丄平面ACD, DE/AB, AACD是正三角形，AD二DE = 2AB,且F是CD的中点求证：AF/平 面 BCE；、已

3、知正方体ABCD.A禺CQ，。是底ABCD对角线的交点.求证：面“空比例关系，求证：MN/平面PCD(利例题3、P是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是PB、BC上的点，且空=竺 用比例关系)练习：如图，四边形为正方形，E4丄平面ABCD9 EFUAB, AB = AE = 2,EF = . (II)若点M在线段AC 上，且满足GW = -CA9求证：EW/平面FBC；面面平行-线面平行例题4如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF, Z BCF= Z CEF= 90 ,AD= V5 ,EF=2o (I)求 证：平面ABE/平面CDF(II)求证:AE/Y面DCF；(

4、利用面面平行-线面平行)练习 1、如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD丄平面ABCD 9 PD = AB = 29 E9 F 9 G分别为PC、PD. 3C的中点.(1) 求证:；PA面EFG；(2) 求三棱锥P-EFG的体积.2.如图，在直三棱柱BC-A&C中,ZAC3 = 90：E、F、G 分别是的中点，且CG 丄 Cfi4(I)求证：CG平面BEF ；3、如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂宜，小丄CD、ABCD、CD = 2AB = 2AD在EC上 找一点M，使得BM /平面ADEF，请确定M点的位置拼给出证明.4、(2012山东文)如图，几何体

5、EABCD是四棱锥，为正三角形，CB = CD、EC1BD.(I)求证：BE = DE；(H)若Z BCD = 120。, M为线段M的中点, 求证：DM 平面例题：如图，已知四棱锥P-ABCD。若底面ABCD为平行四 边形，E为PC的中点，在上取点F,过4P 和点F的平面与平面3DE的交线为FG,求证：APFG证明：连AC与BD,设交点为0,连0E。练习：1、如图，在四棱锥P-ABCQ中，侧面咖 是正三角形，且与底面A3CQ垂直，底面ABCD是边长为2的菱形. ZE4P = 6O, N是P3中点，过小N、D三点的平面交PC于M 求证：AD/MN；2、（2012浙江高考）如图，在侧棱锥垂直底面

6、的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中，AD/7BC, AD丄AB, AB二血。AD=2, BC=4,AAi=2, E是DDi的中点，F是平面BiCiE与直线AA】的交点。（1）证明：EFAiDi；（第 2o gm）3如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD丄平面BCE, BE1EC.（1）求证：平面AEC丄平面ABE；（面面垂直性质）BF1（2）点F在BE上，若DE/平面ACF,求=的值。（线面平行的性质-）D例、如图，在正方体ABCD A禺CQ中，E. F. G分别是AB. AD. CQ的中点.求证：平面0EF 平面3DG.练习：如图所示，在正方体ABCD AlBlClDl中，E、F. G

7、H分别是BC. CCH CiD AiA的中点求证:(1) EG平面 BBDD； (2)平面 BDF平面 BDH.例题：已知在正方体ABCDMQCp中，EJ分别是CjD和上的点，点P在正方体外，平面PEF与正方体相交于AC,求证：EFH平面ABCDEF交AC于W GC垂DF 菱形的对角线互相垂直：例题。己知E, F分别是正方形ABCD边AD, AB的中点, 直于A BCD所在平面。求证：EF丄平面GMC.练习：如图ABCDMQCQ是底面为正方形的长方体，求证：(1) BD丄平面ACCA(2) BD丄AC； 等腰三角形底边的中线垂直底边例1、如图，在三棱锥P-ABC中，AC = BC = 2 ,A

8、P = BP = AB, PC 丄 AC.求证：PC 丄 AB；练习：1、在三棱锥A BCD中，AB=AC,BD=DC，求证：BC丄AD 圆的直径所对的圆周角为直角 例题3.如图AB是圆O的直径，C是圆周上异于A、B的任意一点，尸丄平面ABC, (1)图中共有多少个宜角三角形？(2)若4H丄PC,且AH与PC交于H,求证：AH丄平面PBC.利用勾股定理例4在长方体ABCD-AXBXCXDX中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA. = 2 9 E是侧棱的中点。 求证；丄平面人；证明:.ABCD-AXBXCXDX为长方体，练习：如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1PA 丄 CD、PA =

9、 1, PD = g 求证：(1) PA 丄平面 A BCD（2）求四棱锥P-ABCD的体积间接法，用线面垂直的性质定理 （/丄 b、buan/丄 Z?） 例题：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，Z）AB = 60, AB = 2AD,PD丄底面ABCD,证明： 阳丄ED;P练习 1：如图，在直三棱柱 ABC-Aq 中,AC=3, BC=49AB=59 AA =4, 点D是AB的中点。（1 ）求证：AC丄BC；练习2：如图，四边形ABCD为矩形，BC丄平面A3E； 点，且3F丄平面ACE. 求证：AE丄BE；F为CE上的证明：因为BC丄平面ABE, AEu平面ABE,例1如

10、图，曲是O0的直径，刊垂宜00所在的平面，C是圆上不同于仏B的任意一点,求证：平面刊Q丄平面磁练习X如图，棱柱ABC ABG的侧面BCC且是菱形，QC丄2、如图，在直三棱柱ABC-A/C冲,点D在dG上，丄求证：(1) EF平面ABC； (2)平面4FD丄平面BB.C.C.3.如图，磁P是正方形，SA丄平面肋CD BK丄SC于K,连结DK,求证(1)平面期C丄平面砂例1：如图，在四棱锥PABCD中，侧面丄底面A BCD.侧棱PA=PD,O为AD中点“求证:PO丄平面ABCD；例2：如图，在四P-ABCD中，底面ABCD是ZD43 = 60且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂

11、直于底面ABCD(1) 若G为AD的中点，求证；BG丄平面PAD；(2) 求证：AD丄PB；练习：1、如图AB是圆O的直径，C是圆周上异于A、B的任意一点，必 丄平面ABC, (1)图中共有多少个直角三角形？(2)若AH 丄PC但AH与PC交于H,求证：平面PAC丄平面PBCAH丄平面PBC2.在四棱锥P-ABCD中，平面PAD丄平面ABCD, AB=AD, ZBAD=60 , E、F 分别是 AP、AD 的中点. 求证：平面BEF丄平面PAD3、如图.正方形ABCD所在平面与以AB为直径的半圆0所在平面ABEF互相垂直.P为半圆周上异于A, B两点的任一点.求证：直线AP丄平面PBC。平面P

12、BC丄平面APC4. 如图，三角形 ABC 中，AC=BC= 715, ABED 是2ABED丄底面ABC,且，若G、F分别是EC、BD的中 ABC；边长为的正方形，平面C(II )求几何体ADEBC的体积V。5、如图，A B, C, D为空间四点.在AABC中,AB = 2, AC = BC = y/2 .等边三角形以AB为轴运动.(I )当平面AQB丄平面ABC时，求CD；A五.体积问题1. 如图，ABCD-AXBXCXDX是正四棱柱侧棱长为1,底面边长为2, E是棱BC的中点。(1)求证：B0/平面CQE ;(2)求三棱锥D DBC的体积.练习1：三棱锥P-ABC中，和APBC都是边长为

13、的等边三角形，43 = 2, O、分别是佔、PB 的中点(1)求证：OD/平面PAC (2)求证：平面必B丄平面ABC；(3) 求三棱锥A PBC的体积.2、如图，长方体ABCD-ABCD中，AB = AA, =1, AD=29 E是3C的中点求证：平面AAE丄平面0DE； （II）求三棱锥AA.DE的体积.AiDx3、如图，在四棱锥 宀刃中，直于底而ABCD,底面個加是直角梯形，DC/AB.ZBAD=90.且A8=2AD=2DC = 2PD=4 （单位：cm ）, E为PA的中点。（1 ）如图，若主视方向与AD平行，请 作出该几何体的左视图并求出左视图面积:（2）证明：DE/平面PBC；4.

14、 己知某几何体的直观图（图1）与它的三视图（图2）,其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形已知D是这个几何体的棱AG上的中点。（I） 求出该几何体的体积；（3V3）（II）求证：宜线BCJI平面ABQ；OH）求证:平面ABX D丄平面D.5、已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据,（I）求这个组合体的体积；（ID若组合体的底部几何体记为ABCD-其中为正方形.（i）求证：丄平面AdGD； （ii）求证：P为梭儿5上一点，求A P + P G的最小值.六:等体积法求高（距离）：方如：三棱锥1S h3|sCiBE例题（2010广东文数）如图，弧AEC是半径为的半圆，

15、AC为直径， 点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC丄平面BED, FB=F（1）证明：EB丄FD （2）求点B到平面FED的距离练习已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，棱长均为J5, E、F分别是AC. 的中点,(1)求证：平面AB平面BEC(2)求点A到平面BE间的距离C1C例题四边形ABCD是菱形，边长为2, ZBCD = 6() 9经过AC作与PD平行的平面交PB与点E, ABCD的两对角线交点为F. ( I )求证：4C丄DE； (II)若= 求 点D到平面PBC的距离.3. 如图4,在四棱锥P-ABCD中，平面BAD丄平面ABCD, AB/D

16、C 9 /PAD是等边三角形，已知BD = 2AD = 4, AB = 2DC = 2$(1) 求证：BD丄平面PAD；(2) 求三棱锥A-PCD的体积.P4. 如图，己知 ABCQ中，Z.BCD = 90 , BC = CD = 、AB 丄平面BCD 9AF AF厶吩60。分别是AC,AD上的动点，且矿応“gd)(1)求证：不论兄为何值，总有EF丄平面ABC;若弓，求三棱锥A-BEF的体积.5、(2012广东文数)如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，A3丄平面PAD, AB丨ICD、PD = AD , E是PB中点,F是DC上的点，且DF = -AB9 PH为MAP中AD边上的高。 2(1) 证明：PH丄平面ABCD；(2) 若PH = yAD = 2,FC = t求三棱锥E-BCF的体积；(3) 证明：丄平面6. (2012佛山一模)如图，三棱锥P ABC中.PB丄底面ABC,ZBCA = 903, PB=C=C4 = 4, E为PC的中点,M为A3的中点，点F在P4上，RAF = 2FP.(1) 求证：BE丄平面PAC；(2) 求证：灯/平面3尸；(3) 求三棱锥F-ABE的体积.7、如图所示四棱锥P-ABCD中，P4丄底面ABCD，四边形ABCD