行列式的计算方法完整版

1、 l 本章知识结构本章知识结构 一、线性变换的定义一、线性变换的定义 定义定义1 设是F上向量空间V的一个变换. 若对于V中任意向量 , 及F中任意数k ，都有 ( ) ( ) ( ); (k )k ( ). 则称是V的一个线性变换. 二、线性变换的性质 定理定理7.1.1 设V是F上的一个向量空间，是V的一 个线性变换. (i) (0)0. 其中0是V的零向量. (ii) 设 1， ， s是V的向量，则 ( 1 s) ( 1) ( s)； (iii) , 1， ， s是V的向量. 若 k1 1ks s，则 ( )k1 ( 1) ks ( s). (iv) 若 1, s是V的线性相关的向量组，

2、 则( 1), , ( s) 也是V的线性相关的向量 组. 定理定理7.1.2 设 1, 2, , n是F上的向 量空间V的一个基， 1, 2, , n是V的 任意n个向量，则存在V的唯一的一个 线性变换，使 ( i) i，i1, 2, , n. 推论推论7.1.3 设 1, 2,， n是向量空间 V的一个基，若V的线性变换, 满足 ( i) ( i), i1, 2, , n, 则必有 . 三、线性变换的运算 线性变换的加法和数乘运算 设V是F上的一个向量空间，用L(V)表示V的一切 线性变换作成的集合. 定义定义1 设, L (V). 与 的和 定义为 () ( ) ( ) ( ), V.

3、易知也是V的线性变换. 事实上，对任意 , V, kF，有 () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( )() ( ). () (k ) (k ) (k ) k ( )k ( ) k () ( ). 定义定义2 设 L(V)，k是F中的一个数. k与的积k定义为 (k) ( )k( ( )， V. 容易验证，k也是V的一个线性变 换. 线性变换的乘法运算 定义定义3 设, L(V). 与的乘积 定 义为 ( ) ( ) ( ), V. 定理定理7.2.1 L(V)对于线性变换的加法， 数与线性变换的乘法运算构成数域F 上的一个向量空间. 可逆线性变换可逆线性变换 定

4、义定义4 设L(V)，若存在V的变换， 使得 ， 则称线性变换是可逆的, 称为的逆 变换. 定理定理7.2.2 设 L(V)， 1, 2, , n 是V的一个基. 则可逆的充要条件是 ( 1), ( 2), , ( n)线性无关. 四、线性变换的矩阵 设V是F上n维向量空间，是V的一个线性变换 ， 1 , , n是V的一个基. 由于 ( 1)，, ( n)也是V中的向量，它们都可以唯一地由基 1, , n线性表示，设为 ( 1)a11 1a21 2an1 n , ( 2)a12 1a22 2an2n ( n)a1n 1a 2n 2ann n . 令 A nn2n1n n22221 1n1211

5、 aaa aaa aaa 规定 ( 1, 2 , n)( ( 1), ( 2) , ( n) ) 则向量等式组(1)式可表示成 ( 1, 2 , n)( 1, 2 , n)A, 也可以表示成 ( ( 1), ( 2) , ( n) )=( 1, 2 , n)A . 矩阵A叫做线性变换关于基 1, 2 , n 的矩阵，矩阵A的第j列就是基向量 j的象 ( j)关于基 1, 2 , n的坐标，j=1, 2 , n. 五、向量 与 ( )在同一基下的坐标 关系 定理定理7.3.1 设是n维向量空间V的一个线 性变换，关于V的一个基 1, 2 , n 的矩阵是A. 向量 关于这个基的坐标是 (a1,

6、a2 , an)T， ( )关于这个基的坐标 是(b1, b2 , bn)T，则 n 2 1 n 2 1 a a a b b b A 定理定理7.3.2 设 1, 2, n是向量空间V 的给定的一个基，作映射f： L (V) Mn(F)，使对V的任一线性变换 ，在f之下的象是关于基 1, 2, n的矩阵A，即f ()A. 那 么f是L(V)到Mn(F)的双射，并且若, L(V)，f ()A，f ()B，则 f ()AB f (k)kA, f ()AB. 定理定理7.3.3 设 1, 2, n是向量空 间V的基， L (V)， 关于基 1, 2, n的矩阵是A.则 可逆 的充要条件是A可逆.并且

7、,当可逆 时, 1关于基的矩阵为A1. 定理定理7.3.4 一个线性变换关于两个基 的矩阵是相似的,反之,相似矩阵可 以看作同一线性变换关于两个基的 矩阵. 推论推论7.3.5 设是F上n(n0)维 向量空间V的线性变换, 关于 V的基 1, 2, , n, 1, 2, , n的矩阵分别为A,B,且由 1, 2, , n到 1, 2, , n的过渡矩阵为T,则 T-1AT=B 六、不变子空间的定义 定义1 设是F上向量空间V的一个 线性变换，W是V的一个子空间， 若W中向量在下的像仍在W中， 即对于W中任一向量，都有 ( ) V，则称W是的一个不变子空间 ，或称W在之下不变. 七、线性变换的值

8、域与核 定义定义2 设是向量空间的一个线性变换，由V 中全体向量的像构成的集合称为的值域， 记作（V）或Im ；由零向量在之下的 全体原像作成的集合称为的核，记作Ker ，即 Im= ( ) V, Ker = V ( )=0 定理定理7.4.2 设是向量空间V的线性变换，那 么Im和Ker是V的子空间，并且在之下 不变. 把Im的维数称为线性变换的秩，记作秩.把 Ker的维数称为线性变换的零度. 定理7.4.3 设是n维向量空间V的一 个线性变换， 1, 2, , n是V的 一个基， 关于这个基的矩阵是A ，则 (1) Im=L ( ( 1), ( 2) , ( n) ) (2) 的秩等于A的秩 定理7.4.4 设是n维向量空间V的一个 线性变换，则 秩 +的零度=n 八、本征值和本征向量的定义 定义1 设V是数域F上的向量空间 ，是V的线性变换. 若对F中的 数，存在V的一个非零向量 ， 使 ( ) ,. 则称是线性变换的本征值， 称 为的属于本征值的本征向量. 九、本征值和本征向量的求法 定理7.5.1 设V是F上n(0)维向量空间， L(V)，在V的基 1, 2 , n下的 矩阵为A. (i) 是的本征值当且仅当是A的在F 中的特征根； (ii) 设是的本征值，则 是的属于 本征值的本征向量当且仅当