双曲线的参数方程、抛物线的参数方程

1、二、圆锥曲线的参数方程二、圆锥曲线的参数方程 2、双曲线的参数方程 b a o x y ) M B A B A OBBy在中， ( , )M x y设 | | tanBBOBtan .b OAAx在中， | | cos OA OA cos a sec ,a sec () tan xa M yb 所以的轨迹方程是为参数所以的轨迹方程是为参数 2 a 2222 2 2 xyxy 消去参数后，得-=1,消去参数后，得-=1, b b 这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。 双曲线的参数方程双曲线的参数方程 双曲线的参数方程双曲线的参数方程 b a o x y )

2、 M B AB A sec () tan xa yb 为参数 22 22 -1(0,0) xy ab ab 的参数方程为： 3 0,2 ) 22 通常规定且，。 双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式与三角恒等式 22 22 1 xy ab 22 sec1tan 相比较而得到，所以双曲线的参数方程相比较而得到，所以双曲线的参数方程 的实质是三角代换的实质是三角代换. 说明：说明： 这里参数这里参数 叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同的倾斜角不同. 的两个焦点坐标。、求双曲线 tan34 sec32 1 y x ( 2 15,0) 练习：

3、练习： 3sec 2()_ tan x y 、双曲线为参数 的渐近线方程为 1 3 yx 22 22 1:(2)1 1 OxyP xyQPQ 例 、已知圆上一点与双曲线 上一点，求 、两点距离的最小值 2 22 222 min min (sec ,tan ) sec(tan2) tan1tan4tan42(tan1)3 5 tan1,3 44 31 Q OQ OQ PQ 解：设双曲线上点的坐标为 先求圆心到双曲线上点的最小距离 当即或时 例例2. 如图如图, 设设 M 为双曲线为双曲线 上任意一点上任意一点, O为原点为原点, 过点过点 M 作双曲线两渐近线的平行线作双曲线两渐近线的平行线,

4、分别与两分别与两 渐近线交于渐近线交于 A , B 两点两点. 探求平行四边形探求平行四边形 MAOB 的面积的面积, 由此可以发现什么结论由此可以发现什么结论? )0,( 1 2 2 2 2 ba b y a x x a b y 解解: 双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为 . 不妨设不妨设M为双曲为双曲 线右支上一点线右支上一点, 其坐标为其坐标为 , 则直线则直线MA的方的方 程为程为 )tan,sec(ba )sec(tanax a b by 将将 代入上式代入上式, 解得点解得点A的的 横坐标为横坐标为 )tan(sec 2 a xA 同理同理, 得点得点B的横坐标为的横坐标为

5、).tan(sec 2 a xB x a b y 设设 , 则则 AOx,tan a b 所以所以, MAOB 的面积为的面积为 2sin coscos 2sin| BA xx OBOAS 2sin cos4 )tan(sec 2 222 a . 22 tan 2 22 ab a baa 由此可见由此可见, 平行四边形平行四边形 MAOB 的面积恒为定值的面积恒为定值, 与点与点 M 在双曲线上的位置无关在双曲线上的位置无关. 222222 22 300 4 .(,),Pb xa ya b ab P ab PR 例例 设设 是是双双曲曲线线上上任任意意一一点点 过过点点 作作双双曲曲线线两两渐

6、渐近近线线的的平平行行线线, ,分分别别与与两两渐渐近近线线相相交交 于于点点Q Q和和R,R,求求证证:PQ:PQ 3、抛物线的参数方程 x y o M(x,y) 2 2 2.(5) tan.(6) 2 tan (5),(6),() 2 tan (5) () ypx M y x p x x y p y 设 抛 物 线 的 普 通 方 程 为 因 为 点在的 终 边 上 ， 根 据 三 角 函 数 的 定 义 可 得 由解 出， 得 到为 参 数 这 就 是 抛 物 线不 包 括 顶 点 的 参 数 方 程 2 1 ,(,0)(0,), tan 2 () 2 0 (0,0)(,) tt xpt

7、 t ypt t t t 如果令则有 为参数 当时，由参数方程表示的点正好就是抛物线 的顶点因此当时，参数方程就表 示抛物线。参数 表示抛物线上除顶点外的任意 一点与原点连线的斜率的倒数。 2 1212 12 1212 1212 2 1() 2 , 11 xpt t ypt MMtt M M AttBttCD tttt 、若曲线为参数 上异于原点的不同 两点，所对应的参数分别是则弦 所在直线的斜率是 、 ( ) c 2 2, 2(0) , OA B ypx p OAOB OMABABM M 、如图是直角坐标原点，是抛物线 上异于顶点的两动点,且 并于相交于点， 求点的轨迹方程。 x y o B

8、 A M 2, ? A BAOB 探究： 在 中， 点在什么位置时，的面积 最小？最小值是多少 2 00 32 ( 1,0) Myx MPM M P 、 设为抛物线上的动点， 给定点 ， 点为线段的中点， 求点 的轨迹方程。 1215565 215443, 7782.5,7721.5, 7782.5cos () 7721.5sin ab ab x y 、解：因为，所以 所求的椭圆的参数 方程为 为参数 1122 12 2 2( cos ,sin),(,0),(,0) , , coscos , 1sin1sin pQ B PB MB QB M PQ PQ M abP xQ x PQB M B M

9、x KKKK aa xx OPOQxxa 、 证明： 设， 因为 、 分别为与 轴的交点， 所以 由斜率公式计算得 所以为定值 222 22 2 3 (0), sec () tan ( sec,tan) , sectansectan 1111 ( sec)( tan) () 22 xyaa xa ya M aa Myxyx aaaa aa a 、证明：设等轴双曲线的普通方程为 则它的参数方程为 为参数 设是双曲线上任意一点， 则 点到两渐近线及的距离之积为 常数 。平分线段 所以抛物线的顶点的中点为原点因为 的坐标为所以 的方程为直线 的坐标为所以点 的方程为直线 的坐标为则点 的坐标分别为、

10、证明：设点 DEO DE tptE ptx tt ptyAC tptD ptx tt ptyAB ptptCptpt ptptBA ),0 , 0( )0 ,2( )2( 1 2 )0 ,2( )2( 1 2 )2,2(),2 ,2( )2 ,2(,4 21 2 1 21 1 21 2 1 21 1 2 2 22 2 2 1 2 1 22 2 2 1 5 22 (,) 2 1 (2, 2) 2 OAy kxOByx k ykx pp A ypxkk yx Bpkpkk ypx 、 解： 直线的方程为， 直线的方程为 解方程组得点 的坐标是 解方程组得点 的坐标是 )( 2 2 2 , 2 2 2 ),( 2 2 2 2 2 2 为参数 的轨迹的参数方程是的中点所以，线段 则的坐标为设点 k pk k p y pk k p x MAB pk k p pk k p