变化的电磁场习题课

1、17章小结、习题课章小结、习题课 一、基本概念一、基本概念 1. 感应电动势感应电动势 动生电动势（洛伦兹力动生电动势（洛伦兹力) 感生电动势（感应电场）感生电动势（感应电场） 2.感应电场、感应电场、3.自感自感 、4. 互感、互感、5.位移电流、位移电流、6.电磁场、电磁场、7.电电 磁波、磁波、8.电磁场的能量、电磁场的能量、9.能流密度能流密度 二、基本规律二、基本规律 1.法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 t N tt mm d d , d d , d d 2. 楞次定律（判定感应电流和感应电动势的方向）楞次定律（判定感应电流和感应电动势的方向） 3.Maxwell方程组方程组

2、S qSD 0 dS t B lE LS dd S SB0 d S t D jlH LS d)(d 0 动生电动势的计算动生电动势的计算 感生电动势的计算感生电动势的计算 ；）（lBv d 方向方向：正方向确定正方向确定；vB确定确定；楞次定律确定楞次定律确定。 ；lEi d 闭合、一段）( d d t m 方向方向：正方向确定正方向确定；感应电场感应电场；楞次定律确定楞次定律确定。 闭合、一段）( d d t m 三、计算类型三、计算类型 1. 感应电动势的计算感应电动势的计算 形式形式麦克斯韦方程组的微分麦克斯韦方程组的微分 t D jH B t B E D 0 0 0 EjHBED 0

3、, 三个描述介质性质的方程三个描述介质性质的方程 HBBHH B w m 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 VHBVwWW V mmm d 2 1 dd 自感电动势的计算自感电动势的计算 互感电动势的计算互感电动势的计算 t I L d d t I M d d 2 1 t I M d d 1 2 2. 互感和自感的计算互感和自感的计算 2 1 21 2 12 2 I W L, II M, I L m 3. 磁场能量的计算磁场能量的计算 2 2 1 LIWm 4. 位移电流和位移电流和B的的 计算计算 S t D j t IlH S D L d)( d d d 00 位移电流密度位移电流密

4、度 t D j d 四、特殊的结论四、特殊的结论 无限长螺线管的自感无限长螺线管的自感VnL 2 同轴电缆的自感同轴电缆的自感 1 2 ln 2R Rl L 1.如图，两条平行导线和一个矩形导线框如图，两条平行导线和一个矩形导线框 共面，且导线框的一个边与长导线平行，共面，且导线框的一个边与长导线平行， 到两长导线的距离分别为到两长导线的距离分别为r1,r2,已知两导已知两导 线中电流都为线中电流都为II0sint,I0,为常数，导为常数，导 线框长为线框长为a宽为宽为b，求导线框中电动势。，求导线框中电动势。 t Br Ei 2 t B r R Ei 2 2 A dx B II x r2 r

5、1 0 b a x A dx B II x r2 r1 0 b a x 解：对这类题目主要类型有解：对这类题目主要类型有I不变，线不变，线 圈以圈以v运动；运动；I变化，线圈不动；变化，线圈不动；I变变 化，线圈运动，都应先求出化，线圈运动，都应先求出B分布，然后分布，然后 求出求出mm (t),最后求出最后求出d m /dt. 选顺时针方向为选顺时针方向为的正方向，取面元的正方向，取面元 dS=adx xBaSBSB m dddd )( 21 00 22rrx I x I B )ln(ln 2 d) 11 ( 2 2 2 1 10 21 0 1 1 r br r brIa x rrxx Ia

6、 br r m )ln(lncos 2d d 2 2 1 10m r br r br t Ia t 当当cost0时，时，0, 沿逆时针方向；沿逆时针方向； 当当cost0, 沿顺时针方向沿顺时针方向。 2. 如图，长直导线如图，长直导线AB中的电流中的电流I 沿导线向沿导线向 上上,并以并以dI/dt=2A/s的变化率均匀增长的变化率均匀增长,导线导线 附近放一个与之同面的直角三角形线框附近放一个与之同面的直角三角形线框,其其 一边与导线平行一边与导线平行,位置及尺寸如图位置及尺寸如图,求线框中求线框中 的感应电动势的大小和方向。的感应电动势的大小和方向。 B A b I x y x dx

7、d h h=20cm d=5cm b=10cm 解：与上题类似，只是计算解：与上题类似，只是计算m 的难度的难度 要增加，无新的物理意义。要增加，无新的物理意义。 建立坐标系，规定顺时针方向为正。建立坐标系，规定顺时针方向为正。 SB dd m 而直角三角形斜边的方程为而直角三角形斜边的方程为 y=-2x+h=-2x+0.2 )(2 d d,dd, )(2 00 xd xIy xyS xd I B m x x xI x x xI xd xyI xd xIy bbbb d 05. 0 1 . 0 d 05. 0 2 . 02 2 d 2)(2 d 0 0 0 0 0 0 0 0 m V t I

8、t m 88 1018. 5 d d 1059. 2 d d 方向为逆时针方向方向为逆时针方向 Ix xx xI b 8 0 0 10592 050 150 050 050 .d) . . . . ( 3. 17-9 在半径在半径R=10cm的圆柱形空间充满磁感应强度均匀磁场的圆柱形空间充满磁感应强度均匀磁场 B, B以以3.010-3T/s的恒定速率增加的恒定速率增加.有一长为有一长为L=20cm 的金属棒的金属棒 放在图示位置放在图示位置,一半在磁场内部一半在磁场内部,另一半在磁场外部另一半在磁场外部,求求AB. 解法一：取解法一：取dl,已知已知AC和和CB上的上的Ei 为为 t Br

9、Ei 2 t B r R Ei 2 2 l t Bh l t Br lElE iiAC d d d 2 dcos d d 2 cosdd t B R t BR t BR h l ht BhR l t B lh hR l t B r hR l t B r R lElE R R R R iiCB d d 12 ) 63 ( d d 2 ) 3 3 tan3tan( d d 2 tanart 1 d d 2 d d d )(2 d d d 2 dcos d d 2 cosdd 2 2 11 2 2/3 2/ 2 2/3 2/ 22 2 2 22 t B R CBACAB d d )( 2 124 3

10、 )sin,( d d d d RRhRAC t B R t B AC h 2 3 60 4 3 2 2 C A B R 0 r r h 解法二：作辅助线解法二：作辅助线OA,OB,OC,OB与圆周交点于与圆周交点于D,AOC和和 扇形扇形OCD所围回路产生的电动势即为所围回路产生的电动势即为AB产生的电动势，产生的电动势， 设方向为顺时针，设方向为顺时针， C A B D O 120 30 60 t B S t m d d d d 222 ) 124 3 ( 62 1 60sin 2 1 RRRSSS CODOAC V t B R 52 1012 124 3 . d d )( R,如图所示如

11、图所示,已知磁感应强度随时间的已知磁感应强度随时间的 变化率为变化率为dB/dt,求长直导线中的感应电动势求长直导线中的感应电动势 ,并讨论其方向。并讨论其方向。 RO a B 2 2 1 )( d d R t B BS tt m 由法拉第电磁感应定律：由法拉第电磁感应定律： 若若 t B 为负，则电动势方向从右到左。为负，则电动势方向从右到左。 若若 t B 为正，则电动势方向从左到右。为正，则电动势方向从左到右。 OR a E l d B t Br ERr i 2t B r R ERr i 2 2 lEi dd cosdl t B r R 2 2 dd t BR r t B r R 22

12、22 dd / / 2 2 2 2t BR t BR 2 2 t BR 2 2 在半径为在半径为R的圆柱形空间内的圆柱形空间内,充满磁感应强度为充满磁感应强度为B的均匀磁场的均匀磁场,B的的 方向与圆柱的轴线平行方向与圆柱的轴线平行,有一无限长直导线在垂直于圆柱中心轴有一无限长直导线在垂直于圆柱中心轴 线的平面内线的平面内,两线相距为两线相距为a,aR,如图所示如图所示,已知磁感应强度随时间已知磁感应强度随时间 的变化率为的变化率为 ,求长直导线中的感应电动势求长直导线中的感应电动势,并讨论其方向并讨论其方向 tB / 解解:设设 为正为正,则感应电场的方向为逆时针方向则感应电场的方向为逆时针

13、方向tB / 方向从左向右方向从左向右若若 t B 为负，则电动势方向从右到左。为负，则电动势方向从右到左。 5. 载有电流载有电流 I 的长直导线附近的长直导线附近,放一导体半圆环放一导体半圆环 M e N与长直导线与长直导线 共面共面,且端点且端点MN 的连线与长直导线垂直。半圆环的半的连线与长直导线垂直。半圆环的半 径为径为 b ,环心环心 O 与导线相距为与导线相距为 a 。设半圆环以速度。设半圆环以速度 平行导线平移，求半圆环平行导线平移，求半圆环 内感应电动势的大小和方向以及内感应电动势的大小和方向以及MN两端的电压两端的电压 。 V NM UU I a b e o V N M 解

14、：解： 根据动生电动势根据动生电动势 MN MeN lBv d 为计算简单，可引入一条辅助线为计算简单，可引入一条辅助线 MN，构成闭合回路，构成闭合回路MeNM。 0 NMMeN 总总MNNMMeN 闭合回路总电动势闭合回路总电动势 X ba baIv x x I vlBv ba baMN MN lndd 22 00 方向与方向与x轴相反轴相反 ba ba ln Iv MeN 2 0 方向由方向由N指向指向 M ba ba ln Iv -UU MNNM 2 0 6. 无限长直导线无限长直导线,通以恒定电流通以恒定电流I有一与之共面的直角三角形有一与之共面的直角三角形 线圈线圈ABC已知已知A

15、C边长为边长为b,且与长直导线平行且与长直导线平行,BC边长为边长为a若若 线圈以垂直于导线方向的速度线圈以垂直于导线方向的速度v 向右平移向右平移,当当B点与长直导线的点与长直导线的 距离为距离为d 时，求线圈时，求线圈ABC内的感应电动势的大小和方向内的感应电动势的大小和方向. I v A B C a b c d abrabxy/)/( ra r ra r x ax br a bI x x yI d)( 2 d 2 00 )ln( 2 0 r ra a br b I 解：建立坐标系，则斜边的方程为解：建立坐标系，则斜边的方程为 r 是是t 时刻时刻B点与长直导线的距离点与长直导线的距离 0

16、 dd (ln) d2d Ibarar tarart E 0 (ln)v 2 Ibada adad E当当r =d时，时， 方向：方向：ACBA(即顺时针即顺时针) x y x dx 7. 17-13 一三角形线框一三角形线框ABC与无限长直导线共面，其与无限长直导线共面，其AB边与边与 直导线平行，位置和尺寸如图，求二者之间的互感系数。直导线平行，位置和尺寸如图，求二者之间的互感系数。 b A B C a 解：取面元解：取面元xxabxhSdtan)(dd )(xa I B 2 0 xxab xa I SBdtan)( )(2 dd 0 ab x xa xabI 0 0 dtan 2 ab

17、x xa xa xa bI 0 0 d(tan 2 ） )(lntan 2 0 ab a b b I )lntan 2 0 ba a b b I M （ x dx 8. 17-14 两导线的半径两导线的半径a，中心距离为，中心距离为d，载有大小相等方向，载有大小相等方向 相反的电流，试证明长为相反的电流，试证明长为l的一段的自感为的一段的自感为 a adl L ln 0 L I I d )(rd I r I B 22 00 rl rdr I SBSBd)(ddd 11 2 0 r rdr Il ad a d)( 11 2 0 a adIl ln 0 lnln ad a a adIl 2 0 a

18、 adl I L ln 0 课堂练习题课堂练习题 载流长直导线与矩形回路载流长直导线与矩形回路ABCD共面，导线平行于共面，导线平行于AB，如图，如图 所示，求下列情况下所示，求下列情况下ABCD中的感应电动势：中的感应电动势： （1）长直导线中的电流）长直导线中的电流I=I0不变不变, ABCD以垂直于导线的速度以垂直于导线的速度v 从图示初始位置远离导线匀速平移到某一位置时（从图示初始位置远离导线匀速平移到某一位置时（t时刻）。时刻）。 （2）长直导线中的电流）长直导线中的电流I=I0sint, ABCD不动。不动。 （3）长直导线中的电流）长直导线中的电流I=I0sint，ABCD以垂直于导线的速以垂直于导线的速 度度v远离导线匀速运动，初始位置也如图。远离导线匀速运动，初始位置也如图。 I v a b l A B C D xl x I xBl m d 2 dd 00 r brlI x r lI br r ln 2 d 1 2 0000 m （1） xl x tI xBl m d 2 sin dd 00 a batlI x x tlI ba a ln 2 sin d 1 2 sin 0000 m （2） xl x