概率论与数理统计第3章习题

1、第三章习题第三章习题 1. 在一个箱子中装有在一个箱子中装有12只开关只开关,其中其中2只是次品只是次品,在其中取两次在其中取两次,每次每次 任取一只任取一只,考虑两种试验考虑两种试验:(1)放回抽样放回抽样;(2)不放回抽样不放回抽样.我们定义随机我们定义随机 变量变量X,Y如下如下: , 1 , 0 X 若第一次取出的是正品若第一次取出的是正品, 若第一次取出的是次品若第一次取出的是次品; , 1 , 0 Y 若第二次取出的是正品若第二次取出的是正品, 若第二次取出的是次品若第二次取出的是次品. 试分别就试分别就(1),(2)两种情况两种情况,写出写出X和和Y的联合分布律的联合分布律. 解

2、解 设事件设事件Ak表示表示“第第k次取出的是正次取出的是正 品品”,k=1,2. PX=0,Y=0=P(A1A2) (1)放回抽样放回抽样 =P(A1)P(A2) 36 25 12 10 12 10 PX=0,Y=1=P(A1A2)=P(A1)P(A2) 36 5 12 2 12 10 PX=1,Y=0=P(A1A2)=P(A1)P(A2) 36 5 12 10 12 2 PX=1,Y=1=P(A1A2)=P(A1)P(A2) 36 1 12 2 12 2 X 0 1 Y 1 5/36 1/36 0 25/36 5/36 PX=i 5/6 1/61 PY=j 5/6 1/6 X和和Y的联合分

3、布律列表如下的联合分布律列表如下 (2)不不放回抽样放回抽样 PX=0,Y=0=P(A1A2) =P(A1)P(A2|A1) 66 45 11 9 12 10 PX=0,Y=1=P(A1A2) =P(A1)P(A2|A1) 66 10 11 2 12 10 PX=1,Y=0=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1) 66 10 11 10 12 2 PX=1,Y=1=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1) 66 1 11 1 12 2 X 0 1 Y 1 10/66 1/66 0 45/66 10/66 PX=i 5/6 1/61 PY=j 5/6 1/6 (1)(2) 问第问第1题中的

4、随机变量题中的随机变量X和和Y是否相互独立是否相互独立?(需说明理由需说明理由)13(1) X和和Y的边缘分布如下所示的边缘分布如下所示 解解 (1)PX=i,Y=j=PX=iPY=j对对(X,Y)所有可能取值所有可能取值 (i,j)( i ,j =0,1)都成立都成立,故故放回抽样放回抽样X和和Y相互独立相互独立. . (2)PX=1,Y=0=10/66PX=1PY=0=(1/6) (5/6)=5/36 故不故不放回抽样放回抽样X和和Y不不相互独立相互独立. . 3.设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为 其其它它, 0 42 , 20),6( ),( yxyxk yxf (

5、1)确定常数确定常数k; (2)求求PX1,Y3; (3)求求PX1,5; (4)求求PX+Y 4. 解解 (1)由归一性由归一性 2 x 4 2 y 2 0 4 2 )6(),(1dyyxdxkdxdyyxf 2 0 2 0 4 2 2 )26() 2 6(dxxkdx y xyykkxxk8)6( 2 0 2 故故k=1/8. (2) PX1,Y3 1 0 3 2 13 )6( 8 1 ),(dyyxdxdxdyyxf 1 0 1 0 3 2 2 )2 2 7 ( 8 1 ) 2 6( 8 1 dxxdx y xyy 8 3 ) 22 7 ( 8 1 1 0 2 x x (3)PX1,5

6、5 . 1 0 4 2 5 . 1 )6( 8 1 ),(dyyxdxdxdyyxf 5 . 1 0 )26( 8 1 dxx 32 27 )6( 8 1 5 . 1 0 2 xx (4)PX+Y 4= 4: ),( yxG dxdyyxf D x+y=4 G D dxdyyx)6( 8 1 2 0 4 2 )6( 8 1x dyyxdx 2 0 2 2 0 4 2 2 ) 2 46( 8 1 ) 2 6( 8 1 dx x xdx y xyy x 3 2 ) 6 26( 8 1 2 0 3 2 x xx 4 2 4 0 8/ )6( y dxyxdy 2 x 4 2 y (1) (2) (3

7、) (4) (5) 求分布函数求分布函数 yx dxdyyxfyxF),(),( 2 x 4 2 y (1)y2,- ,或或x0,- y 时时,F(x,y)=0 . (2)0 x2,2 y4时时, 2 x 4 2 y xy dyyxdxyxF 02 )6( 8 1 ),( )20122( 16 1 )102 2 6( 8 1 222 0 2 xxyxyyxxdxx y xyy x (x,y) (1) (x,y) (2) (3) x 2,2 y4时时, 2 x 4 2 y (x,y) (3) 2 02 )6( 8 1 ),( y dyyxdxyxF )1610( 8 1 )102 2 6( 8

8、1 2 2 0 2 yydxx y xyy (4)0 x2,y 4时时, 2 x 4 2 y (x,y) (4) 4 20 )6 ( 8 1 ),( x dxyxdyyxF )6 ( 8 1 2 )6( 8 1 2 4 2 2 xxdy x xy (5) x 2,y 4时时, 2 x 4 2 y (x,y)(5) 2 0 4 2 1)6( 8 1 ),(dyyxdxyxF 总之总之 4, 2, 1 20 , 4, 8/ )6( 42 , 2, 8/ )1610( 42 , 20 ,16/ )20122( , 0, 2, 0 ),( 2 2 222 yx xyxx yxyy yxxxyxyyxx

9、 yxxy yxF 或或 4. 将一枚硬币掷将一枚硬币掷3次次,以以X表示前表示前2次中出现次中出现H的次数的次数,以以Y表示表示3次次 中出现中出现H的次数的次数.求求X,Y的联合分布律以及的联合分布律以及( (X,Y) )的边缘分布律的边缘分布律. . 解解 先将试验的样本空间和先将试验的样本空间和X,Y的取值情况列表如下的取值情况列表如下: 样本点样本点eHHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT X 2 2 1 1 1 1 0 0 Y 3 2 2 2 1 1 1 0 p 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 Y 0 1 2 3 X 0 1

10、2 1 8 1 0 00 0 0 0 8 1 8 2 8 2 8 1 8 1 PX=i 4 1 4 2 4 1 8 3 PY=j 8 1 8 3 8 1 由表中可知由表中可知,X 所有可能取的所有可能取的 值为值为0,1,2, Y所有可能取所有可能取 的值为的值为0,1,2,3. X,Y的联合分布律如右表所示的联合分布律如右表所示. (X,Y)关于关于X的边缘分布律可用的边缘分布律可用X= i时时 Y取所有可能取的值的概率相加而得取所有可能取的值的概率相加而得; (X,Y)关于关于Y的边缘分布律可用的边缘分布律可用Y= j时时 X取所有可能取的值的概率相加而得取所有可能取的值的概率相加而得.

11、pk 0 1 2 3Y 8 1 8 3 8 3 8 1 pk 0 1 2X 4 1 4 2 4 1 也可以单独列表如下也可以单独列表如下: 5. 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为 其其它它, 0 0 , 10),2(8 . 4 ),( xyxxy yxf 求边缘概率密度求边缘概率密度. 解解 f(x,y) 0的区域的区域G如右图所示如右图所示 x y x=y G 01 dyyxfxfX),()( 其其它它, 0 10),2(4 . 2)2(8 . 4 2 0 xxxdyxy x 其其它它, 0 10),43(4 . 2)2(8 . 4 21 yyyydxxy y

12、dxyxfyfY),()( 8. 将某一医药公司将某一医药公司9月份和月份和8月份收到的青霉素针剂的订货单数分月份收到的青霉素针剂的订货单数分 别记为别记为X和和Y.据以往积累的资料知据以往积累的资料知X和和Y的联合分布律为的联合分布律为 PY=j1.00 PX=i 0.18 0.15 0.35 Y 51 52 53 54 55 X 51 0.06 0.05 0.05 0.01 0.01 52 0.07 0.05 0.01 0.01 0.01 53 0.05 0.10 0.10 0.05 0.05 54 0.05 0.02 0.01 0.01 0.03 55 0.05 0.06 0.05 0.

13、01 0.03 (1)求边缘分布律求边缘分布律; (2)求求8月份的订单数为月份的订单数为 51时时, 9月份订单数的条件月份订单数的条件 分布律分布律. 解解 (1)关于关于X的边缘分布律的边缘分布律 见表右见表右, 0.12 0.20 pk 51 52 53 54 55X 0.18 0.15 0.35 0.12 0.20 关于关于Y的边缘分布的边缘分布 律见表下律见表下,也可以单独列表 也可以单独列表 pk 51 52 53 54 55Y 0.28 0.28 0.22 0.09 0.13 0.280.280.220.090.13 51 51,51 5151 YP YXP YXP(2) 28

14、 6 28. 0 06. 0 51 51,53 5153 YP YXP YXP 28 5 28. 0 05. 0 X=i 51 52 53 54 55 PX=i|Y= =51 28 6 28 7 28 5 28 5 28 5 51 51,52 5152 YP YXP YXP 28 7 28. 0 07. 0 51 51,54 5154 YP YXP YXP 28 5 28. 0 05. 0 51 51,55 5155 YP YXP YXP 28 5 28. 0 05. 0 列表如下列表如下 11. 在第在第7题中题中(1)求条件概率密度求条件概率密度fX|Y(x|y),特别特别,写出当写出当Y

15、=1/2时时X的的 条件概率密度条件概率密度;(2)求条件概率密度求条件概率密度f Y|X (y|x),特别特别,分别写出当分别写出当 X=1/3, X=1/2时时Y的条件概率密度的条件概率密度;(3)求条件概率求条件概率 PY 1/4|X=1/2, PY 3/4|X=1/2. 解第解第7题已求得题已求得(X,Y)的概率密度和分别关于的概率密度和分别关于X和和Y的边缘概率密度的边缘概率密度 其其它它, 0 1, 4 21 ),( 22 yxyx yxf 其其它它, 0 11),( 8 21 )( 62 xxx xfX 其其它它, 0 10 , 2 7 )( 25 yy yfY (1) )( )

16、,( )( yf yxf yxf Y YX 只有当只有当fY(y) 0,即当即当0y 1时才有意义时才有意义, 此时此时fX|Y(x|y) 25 2 7 ),( y yxf 其其它它, 0 , 2 3 232 yxyyx x2 y 特别特别, 当当Y=1/2时时, fX|Y(x|y=1/2) 其其它它, 0 2 1 2 1 ,23 2 xx (2) )( ),( )( xf yxf xyf X XY 只有当只有当fX(x) 0,即当即当-1x1时才有意义时才有意义, 此时此时f Y |X (y | x) )( 8 21 ),( 62 xx yxf 其其它它, 0 1, 1 2 2 4 yx x

17、 y 当当X=1/3时时, f Y |X (y|x=1/3) 其其它它, 0 1 9 1 , 40 81 yy 当当X=1/2时时, f Y |X (y|x=1/2) 其其它它, 0 1 4 1 , 15 32 yy (3)PY 1/4|X=1/2dyxyf XY 41 | ) 2/ 1|(1 15 16 15 32 1 41 2 1 41 yydy PY 3/4|X=1/2dyxyf XY 43 | ) 2/ 1|( 15 7 15 16 15 32 1 43 2 1 43 yydy 其其它它, 0 1, 4 21 ),( 22 yxyx yxf 其其它它, 0 11),( 8 21 )(

18、62 xxx xfX 其其它它, 0 10 , 2 7 )( 25 yy yfY 12. 13(2) 设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为 其其它它, 0 10 ,| , 1 ),( xxy yxf 求条件概率密度求条件概率密度f Y|X (y|x) , fX|Y(x|y). 解解 如图如图,阴影部份是阴影部份是f(x,y)不为零的区域不为零的区域G x y G x=y x=-y 1 1 -1 0 先求边缘概率密度先求边缘概率密度 dyyxfxfX),()( 其其它它, 0 10 ,21xxdy x x dxyxfyfY),()( 其它其它, 0 01,11 10 ,11 1

19、 1 y y yydx yydx 其其它它, 0 1| |,|1yy )( ),( )( yf yxf yxf Y YX 当当|y|1时时 其其它它, 0 1, 1 1 1, 1 1 xy y xy y 其其它它, 0 1| , |1 1 xy y 当当0 x1时时 )( ),( )( xf yxf xyf X XY 其其它它, 0 | , 2 1 xy x 问第问第12题中的随机变量题中的随机变量X和和Y是否相互独立是否相互独立?(需说明理由需说明理由) 解解),( , 0 1| , 10|),|1 (2 )()(yxf yxyx yfxf YX 其其它它 故故X和和Y不不相互独立相互独立.

20、 . 14.设设X和和Y是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量,X在在(0,1)上服从均匀分布上服从均匀分布, Y的概率密度为的概率密度为 0, 0 0, 2 1 )( 2 y ye yf y Y (1)求求X和和Y的联合概率密度的联合概率密度; (2)设含有设含有a的二次方程为的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求试求a有实根的概率有实根的概率. 解解 (1) 其其它它, 0 10 , 1 )( x xfX 其其它它, 0 0, 10 , 2 1 )()(),( 2 yxe yfxfyxf y YX (2)方程方程a2+2Xa+Y=0中中a有实根的的条件是判别式有实根的的条件是判别式4X2

21、-4Y 0,即即X2 Y. 1 1 G 故所求概率为故所求概率为 yxD dxdyyxfYXP 2 : 2 ),( dxdye y G 2 2 1 dyedx y x 2 0 1 0 2 2 1 1 0 2 1 0 2 22 1)1 (dxedxe xx dxedy y y 2 1 0 1 2 1 =1-0.8555=0.1445 标准标准正态分布正态分布函数函数 dtex t x 2 2 2 1 )( 8555. 0)5 . 08413. 0(2)0() 1 (2 1 0 2 2 dxe x x y y=x2 D O 1 0 2 1 0 2 2 1)1 ( 2 1 dtedyey t yt

22、y 17.设设X和和Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为其概率密度分别为 其其它它, 0 10 , 1 )( x xfX 其其它它, 0 0, )( ye yf y Y 求随机变量求随机变量Z=X+Y的概率密度的概率密度. 解解 法一法一: dxxzfxfzf YXZ )()()( zx zxe xzf xz Y , 0 , )( )( o z x 1 1 x =z 当当0 x 1时时,fX(x) 0;当当xz时时,fY(z-x) 0. 总之总之,只有当只有当0 x 1且且xz时时,即即 在图示阴影区域中在图示阴影区域中,被积函数被积函数 才不为零才不为零,从而

23、从而fZ(z)才不为零才不为零. 显然显然, z1时时,dxezf xz Z 1 0 )( 1)( zxz eeee ) 1( 1 0 法二法二: dyyfyzfzf YXZ )()()( 其其它它, 0 1, 1 )( zyz yzfX 只有当只有当z-1 y z且且y0时时,即在即在 图示阴影区域中图示阴影区域中,被积函数才被积函数才 不为零不为零,从而从而fZ(z)才不为零才不为零. dyezf z y Z 01 )( z z y Z dyezf 11 )( 总之总之 1),1( zee z 10 ,1 ze z 0 , 其它其它 fZ(z)= oz y 1 y=z y =z- -1 2

24、3. 对某种电子装置的输出测量了对某种电子装置的输出测量了5次次,得到结果为得到结果为:X1,X2,X3,X4,X5. 设它们是相互独立的随机变量且都服从参数设它们是相互独立的随机变量且都服从参数 =2的瑞利分布的瑞利分布(其密度其密度 见见20题题).(1)求求Z=max(X1,X2,X3,X4,X5)的分布函数的分布函数;(2)求求PZ4. 解解 由由20题参数题参数 =2的瑞利分布的概率密度为的瑞利分布的概率密度为 0, 0 0, 4 )( 8 2 x xe x xf x 其分布函数为其分布函数为 0, 0 0,1 4 )()( 88 0 22 x xedxe x dxxfxF xx x x (1)由于由于Xi(i =1