微观经济学计算题练习

1、 河南 洛阳（平顶山）李恒运微观经济学计算题 1.某君对消费品x的需求函数为，分别计算价格P60和P40时的价格弹性系数。 解：由，得， 这样，于是， 即，当价格为60和40时的点价格弹性系数分别为-3和 -4/3。2.假设某商品的50为75个消费者购买，他们每个人的需求弹性为-2，另外50为25个消费者购买，他们每个人的需求弹性为-3，试问这100个消费者合计的弹性为多少? 解：设被这100个消费者购得的该商品总量为Q，其市场价格为P。 据题设，其中75人购买了其总量的一半，且他们每人对该商品的需求弹性为-2，这样，他们每人的弹性 且 又，另外25人购买了其总量之另一半，且他们每人对该商品的

2、需求弹性为-3，这样，他们每人的弹性 且 由此，这100个消费者合计的弹性为 将式(1)、(3)代入，得 将式(2)、(4)代入，得 3.若无差异曲线是一条斜率是-b的直线，价格为Px、Py，收入为M时，最优商品组合是什么? 解：预算方程为：Pxx+PyyM，其斜率为-Px/Py MRSXY=MUX/MUY=-b 由于无差异曲线是直线，这时有角解。 当bPx/Py时，角解是预算线与横轴的交点，如图319(a)所示。 这时，y0 由预算方程得，x=M/Px 最优商品组合为(M/Px，0) 当b0，求：(1)当价格为P1时的消费者剩余是多少?(2)当价格由P1变到P2时消费者剩余变化了多少? 解：

3、(1)由ga-bP，得反需求函数为设价格为p1时，需求量为q1，q1=a-bP1消费者剩余= (2)设价格为p2时，需求量为q2，q2a-bp2 消费者剩余变化量 5. X公司和Y公司是机床行业的两个竞争者。这两家公司的主要产品的需求曲线分别为： 公司X：Px1 000-5Qx，公司Y：Py1 600-4Qy。 这两家公司现在的销售量分别为100单位X和250单位Y。 (1)求X和Y当前的价格弹性。 (2)假定Y降价后，使Qy增加到300单位，同时导致X的销售量Qx下降到75单位，试问X公司产品X的交叉价格弹性是多少? 解：(a)由题设，Qx100，Qy=250，则 Px1 000-5Qx1

4Py1 600-4Qy1 600-4250600 于是x之价格弹性 y之价格弹性 (b)由题设，Qy300，Qx75 这样， Py1 600-4Qy 1 600-4300 =400 QxQx-Qx 75-100 -25 Py=Py-Py =400-600 =-200 于是，X公司产品x对Y公司产品y的交叉价格弹性 =5/7 即交叉价格弹性为5/7。6.令消费者的需求曲线为pa-bp，a、b0，并假定征收 lOOt的销售税，使得他支付的价格提高到P(1+t)。证明他损失的消费者剩余超过政府征税而提高的收益。 解：设价格为p时，消费者的需求量为q1，由p=a-bq1，得 又

5、设价格为P(1+t)时，消费者的需求量为q2，由Pa-bq2 得 消费者剩余损失 政府征税而提高的收益=(1+t)pq2-pq1 消费者剩余亏损一政府征税而提高的收益 因此，消费者剩余损失总是超过政府征税而提高的收益。 7.假定效用函数为Uq0.5+2M，q为消费的商品量，M为收入。求：(1)需求曲线；(2)反需求曲线；(3)p=0.05，q25时的消费者剩余。 解：(1)根据题意可得，商品的边际效用 单位货币的效用为 若单位商品售价为P，则单位货币的效用就是商品的边际效用除以价格，即=MU/P 于是得，即 进而得，这就是需求曲线。 (2)由，得，这就是反需求曲线。 (3)当p=0.05，q=

6、25时， 消费者剩余= 8若某消费者对X、Y的效用函数如下：U（x）=20X-X2，U（y）= 40Y-4Y2，且Px=2元，Py=4元，现有收入24元，该消费者要花完全部现有收入并获得最大效用，应购买X、Y各多少？解： 解得： 9.某消费者的效用函数为UXY，Px1元，Py2元，M =40元，现在Py突然下降到1元。试问： (1)Y价格下降的替代效应使他买更多还是更少的Y? (2)Y价格下降对Y需求的收入效应相当于他增加或减少多少收入的效应?收入效应使他买更多还是更少的Y? (3)了价格下降的替代效应使他买更多还是更少的X?收入效应使他买更多还是更少的X?Y价格下降对X需求的总效应是多少?对

7、Y需求的总效应又是多少? 解：(1)先求价格没有变化时，他购买的X和Y的量。这时已知，Px1，Py2，UXY 预算方程为： X+2Y40解 Y=X/2 X+2Y=40得 X=20（即图中0X1） Y=10（即图中0Y1） 再求购买20单位的X、10单位的Y在新价格下需要的收入。 M=Pxx+Pyy120+11030(元) 最后，求在新价格和新收入(30元)下他购买的X和Y的量。 Px=1，Py1，MUxY，MUyX MUx/Px=MUy/Py 即为：Y/1=X/1 预算约束为：X+Y30解 Y=X X+Y=30得 X=15 Y=15 因此，Y价格下降使他购买更多的y，多购买(15-10)=5单

8、位，在图中从OY1增加到OY2。 (2)先求y价格下降后，他实际购买的X和Y的量。 Px=1，Py1，M40，MUxY，MUyX 即为：Y/1=X/1 预算方程为：X+Y40解 Y=X X+Y=50得 X=20 Y=20 可见，Y价格下降的收入效应使他购买更多的Y即在图中从 OY2增加到OY3，购买(20-15)=5单位。 由于在新价格和收入为30元时，他购买15单位的X、15单位的Y。在新价格下，要使他能购买20单位X、20单位Y，需增加 10元收入，即收入为40元。所以，要增购5单位Y的话，必需增加 10元收入，即图中预算线上升到AB。 因此，Y价格下降对Y需求的收入效应相当于他增加10元

9、收入的效应。 (3)Y的价格下降的替代效应使他买更少的X，少买(20- 15)=5单位，即图中X的购买量从Ox1降为Ox2。收入效应使他购买更多的X，多买(20-15)5单位，即图中X的购买量从Ox2恢复到OX1。Y价格下降对X需求的总效应为零。 y价格下降的替代效应使他多购买5单位Y，收入效应使他也多购买5单位Y。故Y价格下降对Y需求的总效应为10单位，即图中Y1Y3=Y1Y2+Y2Y3。10. 已知生产函数为，请问：(a)该生产函数是否为齐次函数?次数为若干?(b)该生产函数的规模报酬情况。 (c)假如L与K均按其边际产量取得报酬，当L与K取得报偿后，尚有多少剩余产值?解：(a) 该生产函

10、数为齐次函数，其次数为0.8。 (b)根据a)题 可知该生产函数为规模报酬递减的生产函数。 (c)对于生产函数 这里的剩余产值是指总产量减去劳动和资本分别按边际产量取得报酬以后的余额，故 剩余产值Q-LMPPL-KMPPK 11.已知生产函数为 (a)求出劳动的边际产量及平均产量函数。 (b)考虑该生产函数的边际技术替代率函数(MRTS)的增减性。 (c)考虑该生产函数劳动的边际产量函数的增减性。 解：(a)劳动的边际产量函数MPPLdQ/dL 劳动的平均产量函数APPLQ/L (b)生产函数边际技术替代率指产量不变条件下一种生产要素增加的投入量与另一种生产要素相应减少的投入量之比，即 -K/

11、L或-dK/dL。为此，需要从生产函数中先求得K和L之间的关系，然后从这一关系中求得dK/dL。 由生产函数 Q= 得 QK+QL1OKL K(Q-10L)-QL 则边际技术替代率MRTS=-dK/dL当dK/dL0时，dK/dL0，即，故Q4是利润最大或亏损最小的产量。利润TR-TCPQ-(Q3-6Q2+30Q+40)=304-，可见，当价格为30元时，厂商会发生亏损，最小亏损额为8美元。 (3)厂商退出行业的条件是PAVC的最小值。 TCQ3 -6Q2+30Q+20， VC=Q3-6Q2+30Q AVC=VC/Q=Q2 -6Q+30要求AVC最低点的值，只要令dAVC/dQ=0，即dAVC

12、/dQ 2Q-60， Q3当Q3时AVC，可见，只要价格P0，即，故Q4是利润最大或亏损最小的产量。利润TR-TCPQ-(Q3-6Q2+30Q+40)=304-，可见，当价格为30元时，厂商会发生亏损，最小亏损额为8美元。 (3)厂商退出行业的条件是PAVC的最小值。 TCQ3 -6Q2+30Q+20， VC=Q3-6Q2+30Q AVC=VC/Q=Q2 -6Q+30要求AVC最低点的值，只要令dAVC/dQ=0，即dAVC/dQ 2Q-60， Q3当Q3时AVC，可见，只要价格P21，厂商就会停止生产。18.若很多相同厂商的长期成本函数都是LTCQ3-4Q2+ 8Q，如果正常利润是正的，厂商

13、将进入行业；如果正常利润是负的，厂商将退出行业。 (1)描述行业的长期供给函数。 (2)假设行业的需求函数为QD2 000100P，试求行业均衡价格，均衡产量和厂商的人数。解：(1)已知LTCQ3-4Q2+80则LACQ2-4Q+8，欲求LAC的最小值，只要令dLAC/dQ=0即20-40 Q2这就是说，每个厂商的产量为Q2时，长期平均成本最低，其长期平均成本为：LAC=22-42+8=4。当价格P等于长期平均成本4时，厂商既不进入，也不退出，即整个行业处于均衡状态。故行业长期供给函数即供给曲线是水平的，行业的长期供给函数为P =4。 (2)已知行业的需求曲线为QD2 000-100P，而行业

14、的供给函数为P4，把P4代入QD2 000-100P中可得：行业需求量QD2 000-10041 600 由于每个厂商长期均衡产量为2，若厂商有n个，则供给量Qs =2n。行业均衡时，QDQs，即1 6002n， n800。故整个行业均衡价格为4，均衡产量为1 600，厂商有800家。 19. 假设一个垄断厂商面临的需求曲线为P10-3Q，成本函数为TCQ2+2Q。(1)求利润极大时的产量、价格和利润。 (2)如果政府企图对该垄断厂商采取限价措施迫使其达到完全竞争产业所能达到的产量水平，则限价应为多少? (3)如果政府打算对该垄断厂商征收一笔固定的调节税，以便把该厂商所获得的超额利润都拿去，试

15、问这笔固定税的总额是多少?解：(1)已知P10-3Q，则MR10-6Q又知成本函数 TCQ2+2Q MC(TC)2Q+2利润极大化的条件是 MC=MR 即2Q+210-6Q 得Q1 把Q1代入P10-3Q中得：P10-317 利润TR-TCPQ-(Q2+20)71-（12+21）4 (2)政府采取限价措施使垄断者达到完全竞争行业所能达到的产量水平。完全竞争条件下利润极大化的条件是PMC即10-3Q20+2 Q1.6 把Q1.6代入P10-3Q中得：P10-31.65.2。此时的利润TR-TCPQ-(Q2 +2Q)5.21.6-1.62+21.6）-2.56 说明在政府限价时，厂商亏损了。 (3

16、)如果政府征收的固定调节税恰好是把该厂商的超额利润都拿走，则政府对该厂商征收的固定调节税就是4单位，征税后产量、价格都没有变，垄断厂商的超额利润为零。 20假定行业需求曲线为Q250P，每家厂商的边际成本为4。试求：（1）两个厂商的古诺反应函数。（2）古诺双寡头厂商的价格和产量。（3）若厂商数目无限增大，古诺均衡价格和产量是多少？解：（1）TR1=250-（Q1+Q2）Q1MR1=250-2Q1-Q2同理，MR2=250-2Q2-Q1根据MR=MC，得到反应函数：250-2Q1-Q2=4250-2Q2-Q1=4 （2）解得：Q1=Q2=82，P=250-（Q1+Q2）=86 （3）若厂商数目无

17、限增大，P=MC=4，Q=250-4=246 21.假设一个垄断厂商面临的需求曲线为P10-3Q，成本函数为TCQ2+2Q。 (1)求利润极大时的产量、价格和利润。 (2)如果政府企图对该垄断厂商采取限价措施迫使其达到完全竞争亍业所能达到的产量水平，则限价应为多少? (3)如果政府打算对该垄断厂商征收一笔固定的调节税，以便把该厂商所获得的超额利润都拿去，试问这笔固定税的总额是多少?(4)如果政府对该垄断厂商生产的每单位产品征收产品税1单位，新的均衡点如何?解：(1)已知P10-3Q，则MR10-6Q又知成本函数 TCQ2+2Q MC(TC)2Q+2利润极大化的条件是 MC=MR 即2Q+210

18、-6Q 得Q1 把Q1代入P10-3Q中得：P10-317 利润TR-TCPQ-(Q2+20)71-（12+21）4 (2)政府采取限价措施使垄断者达到完全竞争行业所能达到的产量水平。完全竞争条件下利润极大化的条件是PMC即10-3Q20+2 Q1.6 把Q1.6代入P10-3Q中得：P10-31.65.2。此时的利润TR-TCPQ-(Q2 +2Q)5.21.6-1.62+21.6）-2.56 说明在政府限价时，厂商亏损了。 (3)如果政府征收的固定调节税恰好是把该厂商的超额利润都拿走，则政府对该厂商征收的固定调节税就是4单位，征税后产量、价格都没有变，垄断厂商的超额利润为零。 (4)如果政府

19、对垄断厂商的每单位产品征收1单位的产品税，这种单位产品税是随着产量变化而变化的一项可变成本，它会导致垄断厂商的AC曲线和MC曲线向上移动，使原有的均衡位置发生变化。由于增加单位产品税如同增加MC，故征税后均衡条件为：MC+1MR 即(2Q+2)+110-60 Q7/80.875 把Q古代入P10-328中得：P=7.375 征收单位产品税后的利润TR-TCPQ-(Q2+2Q) 7.3750.875-(0.8752+20.875)3.9375 征收单位产品税之前，垄断厂商的均衡产量为1单位，制定的价格为7单位，利润为4单位。征收单位产品税后，均衡点位置发生了变化。垄断厂商新的均衡产量为0.875

20、单位，制定价格为 7.375单位，利润为3.9375单位。 22.假定对劳动的市场需求曲线为DL-10W+150，劳动的供给曲线为SL20W，其中SL、DL分别为劳动市场供给，需求的人数，W为每日工资。问： (a)在这一市场中，劳动与工资的均衡水平为多少? (b)假如政府希望把均衡工资提高到6元/日，其方法是将钱直接补贴给企业，然后由企业给工人提高工资。为使职工平均工资由原来工资提高到6元/日，政府需补贴给企业多少?新的就业水平是多少?企业付给职工的总补贴将是多少? (c)假如政府不直接补贴给企业，而是宣布法定最低工资为6元/日，则在这个工资水平下将需求多少劳动?失业人数是多少? 解：据题设，

21、DL-10W+150，SL20W (a)均衡时有DLSL，-10W+15020W，得W150/305 (元)，QLDLSL205100(人) (b)如图99所示，当均衡工资提高到W6时，QLSL620120，新的就业水平即为120人。 设政府给企业的单位劳动补贴为S元，则补贴后的劳动需求曲线为 DL-10(W-s)+150 将W6，QL120代入，得 S=W+DL/10-15=6+120/10-15=3 于是政府付给企业的补贴额为sQL3120360元，企业付给职工的补贴额为(W-W)QL(6-5)120120元 (c)若政府宣布法定最低工资为6元/日，则此时劳动需求 DL-10 6+1509

22、0人，而劳动供给SL=206120人，故失业人数为SL-DL120-9030人 23.假设某国的总生产函数为Q=ALrsK1-rs。其中：Q为实际国民生产总值，L为劳动，K为实物资本，r为常数，s为劳动力平均受教育年限。 (a)试导出劳动所得在国民收入中所占份额的表达式(即总产出中付给劳动工资的份额比重)；(假定劳动市场为完全竞争市场) (b)显示劳动力平均受教育年限的增加对劳动所得份额的影响； (c)说明实物资本的积累对劳动所得份额的影响。 解：(a)设P为一般物价水平，因劳动市场为完全竞争市场，故 wVMPLPMPPLPP，rsA 于是劳动所得份额为 (b) ，即劳动力平均受教育年限增加1

23、，劳动所得份额将增加r。 (c) ，即实物资本的积累对劳动所得份额没有影响。24.假设一厂商在完全竞争的产品和要素市场上从事生产经营。其生产函数为Q=48L0.5K0.5，其中Q为产品的年产出吨数，L为雇佣的工人人数，K为使用的资本单位数。产品的售价为每吨 50元，工人的年工资为14 400元，单位资本的价格为80元。在短期，资本为固定要素，该厂商共拥有3 600单位的资本。 (a)在短期，试计算： (i)该厂商劳动需求曲线的表达式； (ii)工人的均衡雇佣量； (iii)短期均衡时该厂商对劳动的点需求弹性； (iV)该厂商的年纯利润。 (b)在长期，设产品价格和劳动的工资率仍保持不变，该厂商所在行业具有成本递增性质，因为该行业扩张时资本价格会随之上涨。试计算： (i)资本的长期均衡价格； (ii)在长期该厂商雇佣的均衡工人数量。 解；(a)由生产函数及给定K3 600，得 因产品和要素市场均为完全竞争，故均衡时有W=VMPL PMPPL，又