平面的法向量与垂直证明PPT学习教案

1、会计学1 平面的法向量与垂直证明平面的法向量与垂直证明 A B C D P E F 1BF 法 ：BCCP ()BCCEEP 2 3 ACABCEDP 2 3 ACCDCEDP 1 3 CEDP 法法2：建系：建系（法（法1）共面向量定理）共面向量定理 （法（法2）法向量）法向量 两法 法法3 M 第1页/共24页 第2页/共24页 第3页/共24页 方法小结方法小结 由两个三元一次方由两个三元一次方 程组成的方程组的程组成的方程组的 解是不惟一的，为解是不惟一的，为 方便起见，取方便起见，取x=4x=4较较 合理。其实平面的合理。其实平面的 法向量不是惟一的法向量不是惟一的 。 第4页/共2

2、4页 练习巩固练习巩固 111 222 (3), , 0 0 00 x y z a xb yc z n a n ba xb yc z 根根据据法法向向量量的的定定义义建建立立关关于于的的 方方程程组组 平面的法向平面的法向 量不惟一，量不惟一， 合理取值即合理取值即 可。可。 第5页/共24页 2(1, 2,2),n （法 ）| 3n 第6页/共24页 A. 333 3.(,) 333 n A.1,2 B.1 第7页/共24页 1 n 2 n 垂直关系：垂直关系： 第8页/共24页 l a m b ml0 baba 垂直关系：垂直关系： 第9页/共24页 l uaua / u a l 垂直关系

3、：垂直关系： 第10页/共24页 ab ab nnn 已知设 ， 是平面 内的两条相交直线， 且，求证： B b a n 垂直关系：垂直关系： 第11页/共24页 练习：用练习：用向量法向量法证明：一条直线与一个平面内两条证明：一条直线与一个平面内两条 相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 已知：直线已知：直线a, b是平面是平面 内的任意两条相交直线，内的任意两条相交直线， 且且 na,nb. 求证：求证： n. n,a,bn, , .a b 证明：设直线的方向向量分别为 na,nb,n a0 n b0. ， a,b,a,b且相交， p 内任一向量 可

4、以表示为如下形式： ab, ,.pxyx yR nn ( ab)n an b0,pxyxy nn.与 内的任一直线垂直.即 第12页/共24页 垂直关系：垂直关系： 第13页/共24页 1.设设 分别是直线分别是直线l1,l2的方向向量的方向向量,根据根据 下下 列条件列条件,判断判断l1,l2的位置关系的位置关系. ba, )3, 0 , 0(),1 , 0 , 0()3( )2 , 3 , 2(),2, 2 , 1 ()2( )6, 3, 6(),2, 1, 2() 1 ( ba ba ba 平行平行 垂直垂直 平行平行 第14页/共24页 1.设设 分别是平面分别是平面,的法向量的法向量

5、,根据根据 下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系. vu, )4, 1 , 3(),5 , 3, 2()3( )4 , 4, 2(),2, 2 , 1 ()2( )4 , 4, 6(),5 , 2 , 2() 1 ( vu vu vu 垂直垂直 平行平行 相交相交 第15页/共24页 巩固性训练3 l l 1、设平面、设平面 的法向量为的法向量为(1,2,-2), 平面平面 的法向量为的法向量为 (-2,-4,k),若若 ，则，则k= ；若；若 则则 k= 。 2、已知、已知 ，且，且 的方向向量为的方向向量为(2,m,1)，平面，平面 的法向量为的法向量为(1,1/2,2),则则

6、m= . 3、若、若 的方向向量为的方向向量为(2,1,m),平面平面 的法向量为的法向量为 (1,1/2,2),且且 ，则，则m= . / /l l 4 -5 -8 4 第16页/共24页 例例1 1、在正方体、在正方体ACAC1 1中，中，E E、F F分别是分别是BBBB1 1、CACA1 1的的 中点，求证：中点，求证：EFBBEFBB1 1 EF A1C A B C D A1 B1 C1 D1 E F X Y Z 第17页/共24页 B1 E F A B CD A1 C1 D1 X Y Z N M 第18页/共24页 A D B P C M N 第19页/共24页 A D B P C

7、 M N 证明证明: 分别以分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系为坐标向量建立空间直角坐标系 则则 , ,i j k Axyz x y z , ,1 PAADABPAAC ADAB DAi ABj APk PA 且且平平面面 可可设设 (0,0,0),(0,1,0),( 1,1,0),( 1,0,0),ABCD (0,0,1)P 11 1 1 (0,0),(, ) 22 2 2 MN 11 (,0,) 22 MN ( 1,0, 1)PD (0,1,0)DC 11 (,0,) ( 1,0, 1)0 22 MNPDMNPD 11 (,0,) (0,1,0)0 22 MNDCMNDC PDDCDMNPDC 又又平平面面 第2