第四章 二项分布及其他离散型随机变量的分布

1、第四章 二项分布及其他离散型随机变量的分布 泊松分布泊松分布 离散型随机变离散型随机变 量的概率分布量的概率分布 二项分布二项分布两点分布两点分布 一、两点分布（一、两点分布（0-10-1分布）的概念分布）的概念 0 1 P(=xi)q p 两点分布就是变量的取值只有两类的分布，其所对应的 是社会调查中的二分变量。 两点分布的表示： =0； =1（0-1分布，代码） 1、请问您的性别： 0男 1女 2、请问您是否结过婚： 0是 1否 两点分布的分布律： P(=0)=q； P(=1)=p；p+q=1 两点分布（两点分布（0-10-1分布）的性质分布）的性质 1.p0；q0； 2.p+q=1 3.

2、E()=0q+1p=p; 4.D()=(0-p)2q+(1-p)2p=pq(p+q)=pq 5.0、1可以是虚拟变量，也可以是实质变量 01 q q P(=xi) 二、排列与组合二、排列与组合 （一）排列（一）排列（PermutationPermutation） 1.重复排列：从n个各不相同的东西中任取一个 ，然后放回去，再任取一个，然后又放回去，这样 下去共进行m次，所得到不同序列的种数为： 例：某单位医疗证号码为四位数，问该单位人数 最多是多少？ 种 mm n nnnnR. 次m 44 10 1010101010R 次4 2.非重复排列：从n个各不相同的东西中任取m个 排成一列 （没有东西

3、重复）。 那么，排列的种数为： 例：一条航线上共有10个航空站，问这条行线上 共有多少种不同的飞机票？ 起点 终点 种90) 110(10 2 10 p )1 (nm 种 )!( ! )1(.) 1( mn n mnnnp m n 个共m 3.全排列：从n个各不相同的东西中，任取n个的排 列，又称全配列数。 例：有四幢大楼将分配给四个单位使用，分配原则 是每个单位只允许分配一幢，共有多少种分配方案。 单位：甲乙丙丁 大楼：ABCD 种）（）（243424) 14(4 4 4 p !12.2)1( n nnnnp n （二）组合（二）组合 如果在排列的序列中，不仅没有东西重复，而且与次序也 无关

4、，这种不计次序的排列，称作组合问题。 例如：一条航线上共有10个航空站，如果两站间的票价都 不同，问有多少种票价？（甲站到乙站和乙站到甲站的票价是 一样的）。 始点 终点 从n个各不相同的东西里，任取m个出来（不管顺序），问 共有多少种取法？每一种取法称为一个组合。不同的组合总数 为： 种452/ ) 110(10/ 2 2 2 10 pp nm mnm n m mnnn P P C m m m n m n 1 ! ! ! 11 例：家庭成员共8人，问有多少对人际关系？ 例：把6个养鸡场承包给甲乙丙三个专业户，其 中甲承包1个养鸡场，乙承包2个养鸡场，丙承包3个 养鸡场，问有多少种承包方法？

5、28 12 78 )!28( ! 2 ! 8 / 2 2 2 8 2 8 ppC 601 32 5 ! 5 ! 1 ! 6 3 3 2 5 1 6 ！ ！ CCC 三、二项分布三、二项分布 二项分布是从著名的二项分布是从著名的贝努里试验贝努里试验中推导而来。所谓贝努里试中推导而来。所谓贝努里试 验，是指只有两种可能结果的随机试验。在实际问题中，有许多验，是指只有两种可能结果的随机试验。在实际问题中，有许多 随机现象只包含两个结果，如男与女，是与非，生与死，同意与随机现象只包含两个结果，如男与女，是与非，生与死，同意与 不同意，赞成与反对等等。通常，我们把其中比较关注那个结果不同意，赞成与反对等

6、等。通常，我们把其中比较关注那个结果 称为称为“成功成功”，另一个结果则称为，另一个结果则称为“失败失败”。每当情况如同贝努。每当情况如同贝努 里试验，是在相同的条件下重复里试验，是在相同的条件下重复n n次，考虑的是次，考虑的是“成功成功”的概率的概率 ，且各次试验相互独立，就可利用与二项分布有关的统计检验。，且各次试验相互独立，就可利用与二项分布有关的统计检验。 虽然许多分布较之二项分布更实用，但二项分布简单明了，况且虽然许多分布较之二项分布更实用，但二项分布简单明了，况且 其他概率分布的使用和计算逻辑与之相同。所以要理解统计检验其他概率分布的使用和计算逻辑与之相同。所以要理解统计检验 以

7、及它所涉及的许多新概念，人们几乎都乐意从二项分布以及它所涉及的许多新概念，人们几乎都乐意从二项分布 的讨论入手。的讨论入手。 二项试验：二项试验：贝努里试验贝努里试验 贝努里试验具有如下属性 试验包含了n 个相同的试验 每次试验只有两个可能的结果，即“成功”和“失败” 出现“成功”的概率 p 对每次试验结果是相同的； “失败”的概率 q 也相同，且 p + q = 1 试验是相互独立的 试验“成功”或“失败”可以计数 二项分布二项分布 二点分布：二点分布：进行一次试验，试验的结果只有两类。 例：扔掷一枚硬币的结果：0正面 1反面 如果扔掷两枚硬币，或者说，一枚硬币扔掷两次，讨 论出现正面的次数

8、： 1.出现0次的概率 2.出现1次的概率 3.出现2次的概率 1 ) 1( )0( qp pp qp 200 2 )0(qpCqqp 022 2 )2(qpCppp 111 2 ) 1(qpCqppqp 如果扔掷四枚硬币，或者说，一枚硬币扔掷四次，讨论出 现正面的次数： 1.出现0次的概率 2.出现1次的概率 3.出现2次的概率 4.出现3次的概率 5.出现4次的概率 400 4 )0(qpCqqqqp 4044 4 )4(pqpCp 22222 4 6)2(qpqpCp 31311 4 4) 1(qpqpCqqqpqqpqqpqqpqqqp 13133 4 4)3(qpqpCp 1. 二项

9、分布的数学形式 从掷硬币的试验入手。假定二项试验由重复抛掷从掷硬币的试验入手。假定二项试验由重复抛掷n n次硬币次硬币 组成，已知硬币面朝上组成，已知硬币面朝上( (成功成功) )的概率是的概率是p p，面朝下，面朝下( (失失 败败) )的概率是的概率是q q ( (显然有显然有 q q11p p) )。这样，对试验结果而。这样，对试验结果而 言，成功的次数（即硬币面朝上的次数）言，成功的次数（即硬币面朝上的次数）X X是一个离散型是一个离散型 随机变量，它的可能取值是随机变量，它的可能取值是0 0，1 1，2 2，3 3，n n。而对。而对X X的的 一个具体取值一个具体取值x x而言，根

10、据乘法规则，我们立刻可以就试而言，根据乘法规则，我们立刻可以就试 验结果计算出验结果计算出一种一种特定排列方式特定排列方式( (先先x x次面朝上，而后次面朝上，而后n nx x 次面朝下次面朝下) )实现的概率，即实现的概率，即 pppppppqqqpqqqq qp px xq qn-x n-x 由于正确解决概率问题，光考虑乘法规则是由于正确解决概率问题，光考虑乘法规则是 不够的，还要考虑加法规则，于是就不够的，还要考虑加法规则，于是就x x次成功和次成功和 （n nx x）次失败这个宏观结果而言所包含的所有）次失败这个宏观结果而言所包含的所有 组合的方式数，用符号表示组合的方式数，用符号表

11、示 这样，我们就得到了二项试验中随机变量这样，我们就得到了二项试验中随机变量X X的的 概率分布，即概率分布，即 )!( ! ! xnx n C x n xnxx n qpCxXP )( 二项分布的分布律二项分布的分布律 进行 n 次重复试验，出现“成功”的次数的概率分 布称为二项分布，记作B(n, p) 设为 n 次重复试验中事件A出现的次数， 取 x 的概 率为 二项分布二项分布（图示）（图示） =0 P(=0)=Cn0p0qn-0 =1 P(=1)=Cn1p1qn-1 =2 P(=2)=Cn2p2qn-2 =3 P(=3)=Cn3p3qn-3 =n-1 P(=0)=Cnn-1pn-1q1

12、 =n P(=n)=Cnnpnq0 譬如，二项试验是将 一枚硬币重复做8次抛掷， 假设这枚硬币是无偏的， 即 pq0.5，那么恰好 得到5次面朝上的概率是 硬币面朝 上数x 概率P(X=x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1/256= .004 8/256= .031 28/256= .109 56/256= .219 70/256= .274 56/256= .219 28/256= .109 8/256= .031 1/256= .004 合 计 1.000 219. 0 2 1 2 1 ! 3 ! 5 ! 8 55 355 8 )5(qpCP 同理，我们也可以求出 这个二项试验中硬

13、币刚好为 0，1，2，8次面朝上的 各种宏观结果的概率，全部 写出来就是右表。 2.二项分布讨论 X 0 1 2 n合计合计 P(X) 111n n qpC n n qpC 000 qpC nn n 222n n qpC 1P 二项分布为离散 型随机变量的分布。每 当试验做的是在相同的 条件下n次重复的伯努 利试验时，随机变量X 共有n+1个取值。二项 分布可以用分布律(见上 表)和折线图(见右图)来 表示。 当P=0.5时二项 分 布的图形是对称的。 E(X)= E(X)= =npnp， D(X)= D(X)= 2 2= = npqnpq 二项分布受二项分布受 p p 和和 n n 变化的影

14、响，只要确变化的影响，只要确 定了定了 p p和和 n n，成功次数，成功次数 X X 的分布也随之确定。因此的分布也随之确定。因此 ，二项分布还可简写作，二项分布还可简写作 B(B(x; n,px; n,p) )。 二项分布的概率值除了根据公式直接进行二项分布的概率值除了根据公式直接进行 计算外，还可查表求得。二项分布表的编制方法有两计算外，还可查表求得。二项分布表的编制方法有两 种：一种依据概率分布律种：一种依据概率分布律 P P( (x x) ) 编制编制( (见附表见附表2)2)。 n x pnXBxXPxF),;()()( 二项分布二项分布 1显然， 对于P=x 0， x =1,2,

15、n，有 2同样有 3当 n = 1 时，二项分布化简为 二项分布二项分布（实例）（实例） 已知100件产品中有5件次品，现从中任 取一件，有放回地抽取3次。求在所抽取的3件 产品中恰好有2件次品的概率 设 X 为所抽取的3件产品中的次品数，则 XB ( 3 , 0.05)，根据二项分布公式有 例例2 2 某特定社区人口的某特定社区人口的10%10%是少数民族，现随机是少数民族，现随机 抽取抽取6 6人，问其中恰好人，问其中恰好2 2人是少数民族的概率是多少？人是少数民族的概率是多少？ 解解 解法一：根据解法一：根据(7.3)(7.3)式直接计算式直接计算 解法二：根据附表解法二：根据附表2 2

16、中纵列中纵列n n6 6和横行和横行p p0.10.1所所 对应对应x x值，可直接查得值，可直接查得B B( (x x；6 6，0.1)0.1)的概率值的概率值 B B (2 (2；6 6，0.1)0.1)0 00984 0984 0984. 0 10 9 10 1 ! 4 ! 2 ! 6 )2( 42 422 6 qpCXP 二项分布的理论与统计分布二项分布的理论与统计分布 理论分布理论分布B(5,0.5)B(5,0.5)N=100N=100N=1000N=1000N=2000N=2000 P(P(=x)=x)频数频数频率频率频数频数频率频率频数频数频率频率 0 00.0310.0313

17、30.0300.03035350.0350.03571710.0360.036 1 10.1560.15619190.1900.1901681680.1680.1683323320.1660.166 2 20.3120.31231310.3100.3103423420.3420.3426416410.3210.321 3 30.3120.31233330.3300.3302872870.2870.2876006000.3000.300 4 40.1560.15610100.1000.1001351350.1350.1352932930.1470.147 5 50.0310.0314 40.04

18、00.04033330.0330.03363630.0320.032 2021-7-31 24 超几何分布超几何分布 适用：小群体的两分变量。假定总体分适用：小群体的两分变量。假定总体分 为为A A类和非类和非A A类，类，A A类共有类共有M M个，设从中任抽个，设从中任抽 n n个个, ,则则n n中含有中含有A A类个数类个数“”“”的概率分布的概率分布 :(x=0,1,2,.,l) l=min(M,n):(x=0,1,2,.,l) l=min(M,n) () xn x MN M n N C C Px C 2021-7-3125 四、超几何分布的数学期望值和方差四、超几何分布的数学期望值

19、和方差 如果用如果用 ， 则有则有 npXE)( () nM E X N 2 2 ()() () (1) n Nn NM M D X NN 1 )( 2 N nN npqXD pq N K p1, 2021-7-3126 例例 以随机方式自以随机方式自5 5男男3 3女的小群体中选出女的小群体中选出5 5人组成一个委员会，人组成一个委员会， 求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与变异数。求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与变异数。 解解 由题意可知：由题意可知：N N8 8M M3 3，NMNM5 5n n5 5，代入公，代入公 式，故概率分布如下：式，故概率分布如下： v 由由

20、 ， （1 1） （2 2） X0 1 2 3 合计 P=(X=x) 1/56 15/56 30/56 10/5656/56 875. 1 8 3 5 np 5022. 0 18 58 8 3 5 1 2 N nn npq 8 5 1qq 8 3 N K p 五、泊松分布的概念五、泊松分布的概念 1.用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面 积、体积之内每一事件出现次数的分布 2.泊松分布的例子 一个城市在一个月内发生的交通事故次数 消费者协会一个星期内收到的消费者投诉次数 人寿保险公司每天收到的死亡声明的人数 2021-7-31 28 泊松分布泊松分布 适用：适用：稀有事件稀有事件的研究

21、。一个事件的平均发生次数是大量实验的结果，的研究。一个事件的平均发生次数是大量实验的结果， 在这些试验中，此事件可能发生，但是发生的概率非常小。在这些试验中，此事件可能发生，但是发生的概率非常小。 泊松分布亦为离散型随机变量的概率分布泊松分布亦为离散型随机变量的概率分布，随机变量，随机变量X X为样本内成功事为样本内成功事 件的次数。若件的次数。若为成功次数的期望值，假定它为已知。而且在某一时空中为成功次数的期望值，假定它为已知。而且在某一时空中 成功的次数很少，超过成功的次数很少，超过5 5次的成功概率可忽不计，那么次的成功概率可忽不计，那么X X的某一具体取值的某一具体取值x x （即稀有事件出现的次数）的概率分布为（即稀有事件出现的次数）的概率分布为 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的平均数 e = 2.71828 x 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的次数 ()( ; ) ! x PxP xe x 2021-7-31 29 泊松分布的性质：泊松分布的性质：x x的取值为零和一切正整数；只有一的取值为零和一切正整数；只有一 个参数个参