横渡钱塘江模型

1、摘要本文研究了游泳者的渡江问题，通过建立平面直角坐标系、图形求解，建立了两个模型，分别给出四个问题的解决方案，求解出不同背景下的最优答案.在问题一中，已知恒定的水流速度、第一名选手的时间及相关距离，将游泳者速度分解为与江岸平行及与江岸垂直，利用位移等于速度乘以时间可求得该选手的速度为1.54，方向为南偏东.若选手以1.5的速度到达终点，可求得时间为913.39s，方向为南偏东.在问题一的条件下, 在问题二中根据选手在与江岸平行及与江岸垂直的分量上的时间相等，利用相关距离及相应的速度分量求解出选手的速度为2.19.在问题三中, 水流速度是一个结果为常值的分段函数, 根据函数特征, 因此可以将整个

2、过程分解为三部分，故选手的路径成折线形, 其中首尾两段相同. 我们给出选手速度分量的表达式，三段位移的沿江岸分量之和是1000m作为约束条件，建立总时间最小的线性规划模型，求出所需最少时间为904.03s，距离北边江岸小于200m及大于960m时，游泳方向为南偏东，距离北边江岸大于200m小于960m时，游泳方向为南偏东.在问题四中，水流速度继续为一个分段函数, 其中首尾是连续的一次函数，具有对称性, 中间是常值函数. 根据函数特征, 距离北边江岸小于200m及大于960m时，我们用物理上的类斜上抛模型模拟选手的游泳轨迹, 距离北边江岸大于200m小于960m时，我们建立与问题三中相似的模型，

3、最后求出时间最优解为840.12s.本文相关数据处理利用LINGO、mathematica软件.关键词：线性规划 类斜上抛 mathematica LINGO 直角坐标系一、 问题重述杭州的横渡钱塘江活动由来已久，在1967年开始渡江活动，全程约5000m，约有90%左右的游泳选手到达目的地。2012年横渡钱塘江在8月12日举行。2500名中外游泳爱好者参加此活动，成为历年之最。参加游泳的选手在钱江新城城市阳台下水，在钱塘江南岸码头上岸，江面宽约1160m，当日的平均水温在，江水的平均流速为1。89m/s。 70%左右的选手顺利到达目的地，第一名的成绩是14分8秒，除了气象条件外，部分选手是由

4、于路线选择错误，被江水冲到了下游，而未能准确到达终点。假设在竞渡区域两岸为平行直线，它们之间的垂直距离为1160m，从南岸码头的正对岸到城市阳台的距离为1000m。请通过数学建模来分析以下四个问题：问题一：假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为1。89m/s。试说明今年的第一名选手是沿着怎样的路线前进的，求其游泳速度的大小和方向。 如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1。5m/s的人选择游泳方向，并估计他的成绩。问题二：在问题一的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游，能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么1967年和今年能游到终点的

5、人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。问题三：若流速沿离岸边距离的分布为：（注：从城市阳台垂直向上为y轴正向）游泳选手的速度仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。问题四：若流速沿离岸边距离为连续分布，例如：或你们认为合适的连续分布，如何处理这个问题。二、 问题分析对于问题一，在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为的前提下。我们首先确定水以的速度流过的时间小于今年的第一名的成绩。那么今年的第一名选手一定是逆流而上的。其次我们假设第一名选手以的速度在南偏东的方向上游去。通过在水流和垂直于南岸方向的分速度，建立了速度和方向在垂直和水

6、流方向上的方程组。解出速度大小和南偏东的角度。游泳者保持以1.5的速度到达终点。我们先对其在轴上的时间（1160/1.5=773.33s）和水流以1.89的速度在轴上的时间（1000/1.89=529.1）进行比较。如果游泳者想正好要到达终点，那么在水流的相对的速度上一定要减小，游泳者的一定要逆流而上。可假设游泳者的1.5的速度在x轴和y轴上的分量分别为、南偏东。建立方程组解出、。，解出。对于问题二，假设问题成立，在水流为1.89速度下解出游泳者始终以和岸边垂直的方向游恰好到达终点所需要的速度，根据实际问题和最新的千米自由泳世界冠军孙杨的成绩进行比较，判断是否合理。根据题目提供的数据对终点和起

7、点路径进行计算，在和今年的进行比较分析，并根据相应数据判断游泳者的游泳方式进行比较分析。对于问题三，已知河流速度与河岸距离有关，当距离小于200m时水的流速为1.47m/s，当距离大于200m时水流速度为2.11，而选手的游泳速度不变，选手只能通过调整游泳方向来尽快的完成比赛。我们可以假设选手两种不同水流速下的游泳速度在X轴负方向的分量分别为： 、，游泳速度在Y轴正方向的分量分别为、。根据从南岸码头的正对岸到城市阳台的距离为1000m，我们可以得出一个约束条件，结合选手速度为1.5m/s且保持不变，建立与；与的约束条件。因为距离河岸两边小于200m时的水流速度都相同，所以完成这两边的两段距离所

8、需时间也相同，我们可以根据时间最少找出目标方程，建立线性规划模型。最后，我们利用LINGO软件对上述问题进行求解，得出所需最少时间。对于问题四，我们可知是在问题三的基础之上进行加深，当距离小于200m时水的流速为一次函数形式，当距离大于200m时水流速度为2.28，选手的游泳速度不变仍为1.5。同样，我们可以根据选手两种不同水流速下的游泳速度在X轴负方向的分量分别为： 、，游泳速度在Y轴正方向的分量分别为、。根据选手速度为1.5m/s且保持不变，建立与；与的约束条件，然后根据距离小于200m时水的流速一次函数表达式，计算出距离岸边距离逐渐增加时X轴正方向的加速度，然后由加速度计算出距离岸边20

9、0m时，选手X轴正方向的位移，结合第二段位移时选手的水平位移，得到南岸码头的正对岸到城市阳台的距离为1000m的约束条件。最后利用LINGO软件对上述问题进行求解，得出所需最少时间。最后本文约定所有计算结果保留小数点后两位。三、 问题假设1. 参赛选手游泳速度不受气象条件影响。2. 参赛选手体力是保持恒定的。3. 城市阳台为坐标原点（0，0），以正南方为Y轴，正西方为X轴。4. 选手在不同阶段游泳角度能分别保持恒定。四、 符号说明:表示选手速度与X轴负方向夹角。:表示选手速度南偏东角度。:选手游泳速度。：表示水流速度。：表示选手速度负X轴分量与水流的合速度。:选手速度负X轴方向分量。:选手速度

10、正Y轴方向分量。:表示问题三和四中距岸边小于等于200m时，选手速度负X轴方向分量的模。:表示问题三和四中距离岸边大于200m时，选手速度负X轴方向分量的模。:表示问题三和四中距岸边小于等于200m时，选手速度正Y轴方向分量的模。:表示问题三和四中距离岸边大于200m时，选手速度正Y轴方向分量的模。:表示问题三和四中距岸边小于等于200m时，选手游完所需要的时间。:表示问题三和四中距离岸边大于200m时，选手游完所需要的时间。:选手游完全程所需要的时间。五、 模型建立与求解问题一：5.1.1已知今年第一名选手完成全程比赛时，用了14分8秒，即848秒。河岸的垂直宽度为1160m，则该选手沿Y轴

11、正方向速度为：=1.37沿X轴正方向与水流合速度为：=1.18选手沿X轴负方向的速度分量：=-=0.71选手的速度：=1.54该矢量三角形中有： =即该选手速度为1.54，方向为南偏东5.1.2已知该游泳选手所能保持的速度为1.5，因此可以将该速度分解为X轴负方向与Y轴正方向两部分，且速度大小分别为x，y。根据选手游到终点时的X轴所需时间与Y轴所需时间相同，我们可以建立以下方程组对x，y进行求解，如下所示：运用mathematica（详见附录一）求解得：（舍去） 由该矢量三角形中有： =即该选手速度为1.5，方向为南偏东，时间为913.39s.问题二：5.2.1在问题一的假设中，我们假设游泳者

12、游泳方向始终为Y轴正方向，恰能到达终点。现设游泳者的速度为，当游泳者恰好到达终点时，则有选手到达终点时X轴正方向移动位移所需时间与Y轴正方向移动位移所需时间相同，因此我们建立以下等式对游泳者速度进行求解：=代入水流速度： =运用mathematica（详见附录二）求解得：=2.19模型检验：为了切合实际，我们从网上查得伦敦奥运会上打破1500m自由泳世界记录的我国选手孙杨的比赛成绩，并计算出他的游泳平均速度为1.72。由此可知，=2.19是不可能达到的速度，所以朝岸边垂直的方向游是不能够达终点的。5.2.2由于1967年的南岸码头码头正对岸到城市阳台的距离经过计算可得为4863.58m。人们若

13、要到达终点，要顺流而下。现在南岸码头码头正对岸到城市阳台的距离为1000m。进过计算如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游，若到达终点速度必须为2.12，但实际中千米自由泳的世界纪律为1.72。所以人们不可能做到的。必须逆流而上游用自己的速度抵消水流速度才能到达终点。相比之下顺流而下比较节约体力更容易控制自身速度和方向。所以1967年到达终点的人数比例要比今年的要大。根据以上模型我们可知，参赛选手必须有良好的体力及准确的判断力，合理的调整游泳的方向，尽量保持游泳轨迹趋于直线。这样既能节省体力又能减少游泳的路程。问题三：图一已知河流速度与河岸距离有关，当距离小于200m时水的流速为1.47m/s，当

14、距离大于200m时水流速度为2.11，而选手的游泳速度不变，选手只能通过调整游泳方向来尽快的完成比赛（如图一所示）。由上图可知，选手游泳过程可分为两个不同阶段AM、MN。当选手在AM段时，水流速度为1.47，设此时的选手X轴负方向分解速度为，Y轴正方向分解速度为，则有：同理，在MN段时，水流速度为2.11，设此时的选手X轴负方向分解速度为，Y轴正方向分解速度为，则有：当选手从A游至M点时所需时间为：=同理，为：=则A点距离M在X轴上投影的距离为：同理，M点在X轴上的投影与N点在X轴上的投影距离为：我们已知AM与NB距离相同，且AM与NB段水流速度相同，所以选手通过AM段与NB段时所需时间相同，

15、游泳方向相同。根据从南岸码头的正对岸到城市阳台的距离为1000m，因此可以得出：+=1000为了让选手游泳的路程最短所需时间T最小，我们建立以下模型：目标方程 .我们利用LINGO软件（详见附录三）求解得：=904.03s 因为， 与，为选手游泳速度X轴负方向与Y轴正方向两个不同阶段的分量，由三角函数公式可得：即选手距离河岸小于200m时，游泳方向应为南偏东即选手距离河岸大于200m时，游泳方向应为南偏东问题四由题意可知，问题四是在问题三的基础之上进行加深，当距离小于200m时水的流速为一次函数形式，当距离大于200m时水流速度为2.28（如图二所示），选手的游泳速度不变仍为1.5。图二为了充

16、分利用选手的体能，保持最快的速度渡江，我们可以将选手游泳速度的X轴上的分量充分利用，即尽可能使、小，、大。这样才能保证渡江时间最短，距离江岸前200m时，随着离河岸的距离逐渐增大，水流速度也跟着增大。因此我们可以将其看成物理上的匀加速过程，已知据江岸前200m速度为，且加速的大小为0.0114，如图下图所示，所以可以采用类斜上抛原理（以A为抛出点,加速度方向为X轴正方向）。距离江岸200m时选手到达地点为M点（NB与AM段方式相同，成中心对称，所需时间也一定相同，不做考虑）。图三设选手此时的速度方向为南偏东角，且AM段大小保持不变。速度两部分分量分别为，。则有：同理，在MN段时，水流速度为2.

17、28，设此时的选手X轴负方向分解速度为，Y轴正方向分解速度为，则有：当选手从A游至M点时所需时间为：=同理，为：=则A点距离M在X轴上投影的距离，即为类斜上抛运动中垂直下落的距离。已知角保持不变则也保持不变，因此X轴方向的运动可看为出速度为加速度为a的匀变速运动。根据匀变速位移公式：所以则A点距离M在X轴上投影的距离为：同理，M点在X轴上的投影与N点在X轴上的投影距离为：我们已知AM与NB距离相同，且AM与NB段水流速度相同，所以选手通过AM段与NB段时所需时间相同，游泳方向相同。根据从南岸码头的正对岸到城市阳台的距离为1000m，因此可以得出：+=1000为了让选手游泳的路程最短所需时间T最

18、小，我们建立以下模型：目标方程 .我们利用LINGO软件（详见附录四）求解得：=840.12s 因为， 与，为选手游泳速度X轴负方向与Y轴正方向两个不同阶段的分量，由三角函数公式可得：即选手距离河岸小于200m时，游泳方向应为南偏东即选手距离河岸大于200m时，游泳方向应为南偏东选手的游泳路线如图三所示为：AMMNNB。所用时间最少为840.12s。六、模型的评价与分析优点：（1）析问题过程中，我们首先把比赛的起点和终点建立在平面直角坐标系中。将实际的问题转化为数学中的解平面直角坐标系问题，使得在以下解题过程中变得清晰明朗。 （2）在问题的求解与建立过程中结合了大量的物理知识，结合相应的物理公

19、式有效的处理在游泳中的复杂问题，适用性更强。 （3）在解决问题时，充分应用Mathematica软件LINGO软件，灵活地解决繁杂方程的求解。 （4）我们将数学公式和图形巧妙地结合，形象的将游泳者的游泳路径在图形上表示出来。缺点：（1）在进行图形结合中，我们将选手看成一个点，这样对最终的精确度有一定的影响。（2）我们在问题中考虑的比较理想化，相对与现实中可操作性不强。七、参考文献【1】袁新生，邵大宏，郁时炼.LINGO和Excel在数学建模中的应用【M】.北京：科学出版社，2008【2】戎笑 ，于德明 . 高职数学建模竞赛培训教程（第一版）【M】.北京：清华大学出版社，2010.9【3】姜启源

20、，谢金星，叶俊.数学模型（第三版）【M】.北京：高等教育出版社，2003附录附录一：x0.791654,y1.27408,x1.37682,y0.595291附录二：Solvex2+y21.52,y/(1.49-x)200/172.42,x,yy-0.011548,x1.49996,y1.48529,x0.209528附录三：Model:min=400/y1+760/y2;x12+y12=1.52;x22+y22=1.52;400*(1.47-x1)/y1+760*(2.11-x2)/y2=1000;Objective value: 904.0228 Extended solver steps: 5 Total solver iter