旋转变换模型

1、支付宝首页搜索“ 933314”领红包，每天都能领。付款前记得用红包第10讲几何变换一旋转变换模型知识关联图25等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）等边三角形（包含费马点）旋转变换对角互补模型特殊角一般角角含半角模型一般角 等线段变换（与圆相关）真题演练【练1】（2013北京中考）在 ABC中，AB AC， BAC （ 060 ），将线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD （1） 如图1，直接写出 ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图2， BCE 150，ABE 60，判断 ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结 DE，若 DEC 45，求的值.图1图2【练2

2、】（2012年北京中考）在 ABC中，BA BC , BAC , M是AC的中点，P是线段上的动点, 将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ .（1 ）若且点P与点M重合（如图1）,线段CQ的延长线交射线 BM于点D，请补全图形,并写出 CDB的度数;（2）在图2中，点P不与点B, M重合,（用含 的代数式表示），并加以证明；（3） 对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B ,BM交于点M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线 BM交于点D，且PQ QD，请直接写出 的范围.例题精讲考点1手拉手模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出

3、全等，处于各种位置的旋转模型, 及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）【例1】(14年海淀期末)已知四边形 ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB CE .(1)如图1,连接BG、DG .求证：BG DE ;(2) 如图2，如果正方形 ABCD的边长为 2，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好 使得 CG / BD , BG BD .求 BDE的度数；请直接写出正方形CEFG

4、的边长的值.【题型总结】 手拉手模型是中考中最常见的模型，突破口常见的有哪些信息？常见的考试方法有哪些?【例2】（2014年西城一模） 四边形ABCD是正方形，BEF是等腰直角三角形，BEF 90 , BE EF ,连接DF , G为DF的中点，连接EG , CG , EC。EC（1）如图24-1，若点E在CB边的延长线上，直接写出 EG与GC的位置关系及 的值；GC（2） 将图24-1中的BEF绕点B顺时针旋转至图24-2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍 然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；图图【题型总结】 此类型题目方法多样，你还能找到其他的解题方法吗？另外涉及到的

5、中点辅助线你还能说出几种?【例3】(2015年海淀九上期末)如图1，在 ABC中，BC 4，以线段AB为边作 ABD，使得AD BD ,连接DC，再以DC为边作 CDE，使得DC DE， CDE ADB .(1)如图2 ,当 ABC 45且 90时，用等式表示线段 AD, DE之间的数量关系;图1(2)将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段全图3,求线段AF的长；请直接写出线段 AF的长EF ,连接BF, AF 若(用含 的式子表示).90，依题意补CC备用图【例4】(13年房山一模)(1)如图1, ABC和厶CDE都是等边三角形，且 B、C、D三点共线，联结 AD、BE相交于点P，求证：

6、BE AD .(2)如图2,在厶BCD中，BCD 120，分别以BC、CD和BD为边在 BCD外部作等边 ABC、 等边ACDE和等边ABDF，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是 (只填序号即可) AD BE CF : BEC ADC : DPE EPC CPA 60;(3) 如图2,在(2)的条件下，求证： PB PC PD BE .图1图2 F【题型总结】到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为120.旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最

7、小，解决问题的方法是运用旋转变换.考点2:角含半角模型：全等秘籍：角含半角要旋转：构造两次全等【例1】（2012年西城期末）已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足MAN45，连结MC，NC，MN 猜想线段BM ,DN和MN之间的等量关系并证明你的结论.【例2】(2014年平谷一模)(1)如图1,点E、F分别是正方形 ABCD的边BC、CD上的点， EAF 45，连接EF ,则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF BE FD 连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足MN2 BM 2 DN 2，请证明这个等量关系；(2)在 ABC 中,A

8、B AC，点D、E分别为BC边上的两点.如图2 ,当 BAC 60DAE 30 时，BD、DE、EC应满足的等量关系是如图3，当BAC,(090 ),DAE1时，BD、DE、EC应满足的等量关2系是V 4卄【参考：sin2cos21】图2图3【题型总结】角含半角的特点有哪些，哪些是不变的量？由角含半角产生的数量关系都是有哪些？如何描述这类题 目的辅助线？考点3:对角互补模型常和角平分线性质一起考，一般有两种解题方法（全等型一90（全等型120（全等型一任意角 ）【例1】 四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角三角形ABD和直角三角形CBD，其中A和 C都是直角，另一条对角线 AC的长度为2，求

9、四边形ABCD的面积.【例2】 已知：点P是 MON的平分线上的一动点，射线 PA交射线0M于点A ,将射线PA绕点P逆时针 旋转交射线 ON于点B，且使 APB MON 180 .(1) 利用图1,求证：PA PB ；(2) 如图1,若点C是AB与0P的交点，当S pob 3S pcb时，求PB与PC的比值；图1【题型总结】对角互补模型经常在哪里题目里出现，题目中有哪些提示信息？经常和哪种图形同时出现?【例3】 (初二期末)已知：如图，在 ABC中，AB AC , BAC ，且60120 . P为 ABC内部一点，且 PC AC , PCA 120.(1) 用含 的代数式表示 APC，得 A

10、PC =;(2) 求证：BAP PCB ；(3 )求 PBC的度数.A【题型总结】-般涉及到线段的旋转都可以和圆联系起来，根据圆的相关性质解题是一种比较便捷的方法。全能突破【练1】(2015年昌平九上期末)如图，已知VABC和VADE都是等腰直角三角形，BAC DAE 90 ,AB AC，AD AE 连接BD交AE于M ,连接CE交AB于N , BD与CE交点为F ,连接AF .(1) 如图1,求证：BD CE ;(2) 如图1,求证：AF是CFD的平分线；(3) 如图2,当AC 2 , BCE 15时，求CF的长BED【练2】(2014西城九上期末)已知：ABCA DEF都是等边三角形，M是

11、BC与EF的中点，连接AD ,BE.(1) 如图1,当EF与BC在同一条直线上时，直接写出 AD与BE的数量关系和位置关系；(2) ABC固定不动，将图1中的VDEF绕点M顺时针旋转(0 90 )角，如图2所示，判断(1)中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；(3) ABC固定不动，将图1中的VDEF绕点M旋转(0 90 )角，作DH BC于点H .设 BH=x，线段AB , BE , ED , DA所围成的图形面积为 S .当AB=6 , DE=2时， 求S关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围.图1备用图【练3】(2014年朝阳一模24题)在厶ABC中，AC

12、BC，在 AED中，AD ED，点D、E分别在CA、 AB上，(1) 图，若 ACB ADE 90，则CD与BE的数量关系是 ;(2) 若 ACB ADE 120，将 AED绕点A旋转至如图所示的位置， 则CD与BE的数量关 系是；(3) 若 ACB ADE 2 (090 )，将 AED绕点A旋转至如图所示的位置， 探究线段CD与BE的数量关系，并加以证明(用含的式子表示)圉圏【练4】（2015年燕山九上期末）小辉遇到这样一个问题：如图1,在RtAABC中，BAC=90 , AB=AC,点，E在边BC 上,DAE=45 若 BD=3, CE=1，求 DE 的长.小辉发现，将绕点 A按逆时针方向

13、旋转 90o,得到VACF，连接EF （如图2），由图形旋转的性 质和等腰直角三角形的性质以及 DAE=45，可证VFAE望VDAE，得FE = DE 解VFCE , 可求得EF （即DE ）的长.请回答：在图2中， FCE的度数是, DE的长为RtVABC.参考小辉思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形 ABCD中，AB= AD ,B+ D=180 . E, F分别是边 BC, CD上的点，且1EAF = - BAD 猜想线段BE, EF, FD之间的数量关系并说明理由.2【练5】（11年石景山一模）已知：如图，正方形ABCD中，AC,BD为对角线，将 BAC绕顶点A逆时 针旋转 （04

14、5）,旋转后角的两边分别交 BD于点P、点Q，交BC ,CD于点E、点F，联结EF、EQ .（1 ）在 BAC的旋转过程中，AEQ的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；（2）探究 APQ与 AEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明.DB【练6】(2015年延庆九上期末) 已知： ABC是eO的内接三角形， AB AC，在 BAC所对弧AC 上, 任取一点D，连接AD，BD，CD，(1)如图1， BAC，直接写出 ADB的大小(用含的式子表示)；(2)如图2,如果BAC 60，求证：BD CD AD ；(3)如图 并加以证明；3，如果

15、BAC 120，那么BD CD与AD之间的数量关系是什么？写出猜测(4)如果BAC，直接写出BD CD与AD之间的数量关系C【练7】(1)如图，在四边形 ABCD中，AB AD , B D 90 , E、F分别是边BC、CD上的点，厂1且 EAF = - BAD .求证：EF BE FD ;2(2) 如图在四边形 ABCD中，AB AD， B+ D 180，E、F分别是边 BC、CD上的点，且1EAF - BAD，(1)中的结论是否仍然成立？不用证明.(3) 如图，在四边形 ABCD中，AB AD , B ADC 180 , E ,F分别是边BC ,CD延长线上1的点，且 EAF BAD ,(

16、1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.DDF【练8】 小华遇到这样一个问题，如图1, VABC中， ACB 30o BC 6, AC 5，在VABC内部有一点P，连接PA PB、PC，求PA PB PC的最小值.小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题.他的做法是，如图2,将VAPC绕点C顺时针旋转60o,得到VEDC，连接PD、

17、BE ,则BE的长即为所求.(1) 请你写出图2中，PA PB PC的最小值为 ;(2) 参考小华的思考问题的方法，解决下列问题： 如图3,菱形ABCD中， ABC 60o,在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长 度等于PA PB PC最小值的线段(保留画图痕迹，画出一条即可)； 若中菱形 ABCD的边长为4,请直接写出当PA PB PC值最小时PB的长.A图3【练9】(2014年西城二模)在 VABC , BAC为锐角，AB AC , AD平分 BAC交BC于点D .(1) 如图1,若VABC是等腰直角三角形，直接写出线段AC , CD , AB之间的数量关系；(2) BC的垂直平分线交 AD延长线于点E，交BC于点F .如图2,若 ABE 60，判断AC , CE , AB之间有怎样的数量关系并加以证明；如图3,若AC AB . 3AE，求 BAC的度数.【练10】（2014年1月西城八年级期末试题 一附加题）已知：如图，MAN为锐角，AD平分 MAN，点B，点C分别在射线 AM和AN上，AB AC.（1）若点E在线段CA上，线段EC的垂直平分线交直线 AD于点F ,直线BE交直线AD于点G，求证： EBF CAG ；EBF与 CAG的（2）若（1）中的点E运动