受冲击荷载作用时构件的应力和变形计算

1、一、动荷载的概念与实例 二、等加速运动构件的应力计算 三、受冲击荷载作用时构件的应力和变形计算 一、动荷载的概念与实例 静荷载:作用在构件上的荷载由零逐渐增加到最终 值,以后就保持不变或变动不显著的荷载. 动荷载:构件明显处在加速度状态或静止构件受到 处于运动状态的物体的作用时,构件受到的荷载为动荷 载. 静应力:构件在静荷载作用下产生的应力. 特点:1.与加速度无关 2.不随时时间的改变而改变. 动应力:构件由于动荷载引起的应力. 起重机吊重物,若悬 挂在吊索上的重物W是静 止不动或以匀速直线运动 上升时,重物对吊索就是 静荷载,吊索横截面上的 应力就是静应力. 但当物体以加速度上 升(如重

2、物吊离地面的一 瞬间)时,重物对吊索就是 动荷载,此时吊索横截面 上的应力就是动应力. a 07年11月14日中午11点左 右无锡某工地升降机从百 米高空直接坠地,升降机内 17人,6人死亡,11人重伤. 上海世博会场馆 建设中心的锤击打桩. 二、等加速运动构件的应力计算 1.惯性力的概念 惯性力 = = 运动物体的质量G/g加速度a . 00 作为静荷载处理 惯性力 匀速直线状态 静止状态 构件处于 ,a 1.惯性力的概念 变加速状态 等加速状态 构件处于加速运动状态 等加速运动状况惯性力是个定值 变加速运动状况惯性力是时间的函数 (是变荷载) 这里讨论等加速运动状态 2.等加速直线运动构件

3、的应力计算 等加速直线运动： a W a g W 动荷载 D F a g W WFD W g a 1 a Ag W A W D st g a 1 stDD k g a k D 1动荷系数 a 例题 一吊车以匀加速度起吊重物Q,若吊索的横截面积为A，材料 比重为，上升加速度为a，试计算吊索中的应力。 Q a m m x Q x )(xFd a g Q a g Ax Ax 解：将吊索在x处切开，取下面 部分作为研究对象。 作用在这部分物体上的外力有： 重物的重量：Q； x段的吊索重量：Ax， 惯性力为：a g Ax a g Q ， 吊索截面上的内力：)(xFNd 根据动静法，列平衡方程： 0 X0

4、)(a g Q Qa g Ax AxxFNd 即 2.等加速直线运动构件的应力计算 解得： )1)()( g a QAxxFNd 吊索中的动应力为： )1 ()( g a A QAx A F x Nd d 当重物静止或作匀速直线运动时，吊索横截面上的静荷应力为： A QAx st 代入上式，并引入记号 ，称为动荷系数，则： g a Kd1 dstd K 2.等加速直线运动构件的应力计算 于是，动载荷作用下构件的强度条件为： )( maxmax dstd K 式中得仍取材料在静载荷作用下的许用应力。 动荷系数 的物理意义：是动载荷、动荷应力和动荷变形与 静载荷、静荷应力和静荷变形之比。因此根据胡

5、克定律，有以 下重要关系： d K st d st d st d st d d P P K 分别表示静载荷，静应力，静应变和静位移。 式中 分别表示动载荷，动应力，动应变和动位移； dddd P, stststst P, 3.动荷载作用下构件的强度条件 例题 图示20a槽钢，以等加速下降，若在0.2s的时间内速度由 1.8m/s降至0.6m/s，试求槽钢中最大弯曲正应力。已知L6m， b1m。 F运动方向 bbL o g qqq stst q qb qL 2 qb qL 2 2 2 qb 2 2 qb 2 22 qb g qL mkgqst63.22 g a qq std g a kd1 t

6、vv a t0 2 6sm 61. 1 mkNq2228 . 963.22 36 102 .24mWy y j j W M max max MPa7 .36 jdd k max MPa1 .59 D t o n a (1)圆环横截面上的应力 图示匀质等截面圆环,绕着通过环中心且 垂直于圆环平面的轴以等角速度旋转, 已知横截面面积为A,材料的容重为,壁厚 为t,求圆环横截面上的应力。 2 2 D g A a g A q nD 解：求沿圆环轴线的均匀分布惯性力集度 D q 3 圆环等角度转动时构件的应力与变形计算： 圆环横截面上的内力： o D q dN F dN F x y d dq D D 2

7、 Dqd D qF DDdN sin 2 2 0 2 2 42 g DA D q F D dN 圆环横截面上的应力： g v g D A F dN D 2 2 2 4 2 D v 式中 是圆环轴线上各点的线速度。 g v D 2 （2）圆环等角度转动 时构件的强度条件为： 圆环横截面上的应力与A无关，而与线 速度由强度条件可得容许的最大线速度为 g 旋转圆环的变形计算 在惯性力集度的作用下，圆环将胀大。令变形后的直径为 ， 则其直径变化 ，径向应变为 D DDD ED DD D D t tr )( 所以 Eg Dv E DD d 2 )1 ( 2 gE v DDDD 由上式可见，圆环直径增大主

8、要取决于其线速度。 （3）圆环等角度转动时构件的变形计算 min/100rn 2 SMKN5 . 0 x Immd100 例题 在AB轴的B端有一个质量很大的飞轮（如 下图）。与飞轮相比，轴的质量可忽略不计。轴的另 一端A装有刹车离合器。飞轮的转速为 ， 转动惯量为。轴的直径 刹车时使轴在10秒内均匀减速停止。求轴内最大动应力。 srad n o / 3 10 30 100 60 2 21 / 310 3 10 0 srad t o o d M 解：（1）飞轮与轴的转动角速度为 （2）当飞轮与轴同时做均匀减速转动时，其角加速度为 （其中负号表示 与 的方向相反，如上图。） （3）按动静法，在飞

9、轮上加上方向与 相反的 惯性力偶矩 且 mKN 3 5 . 0 ) 3 (5 . 0 xd IM t M 0 x M mKN 3 5 . 0 dt MM t M d M T M mKM 3 5 . 0 dT MM 2.67MPaPa 103 6 23 max 1067. 2 )10100( 16 3 5 . 0 p r W M （4）设作用于轴上的摩擦力矩为，由平衡方程 ，设： （5）AB轴由于摩擦力矩和惯性力偶矩 引起扭转变形， 横截面上的扭矩为，则 （6）横截面上的最大扭转剪应力为 s/40 MPa70 3 KN/m4 .76 例题15-2 图示结构中的轴AB及杆CD，其直径均为d=80m

10、m， ，材料的，钢的容重 试校核AB、CD轴的强度。 解法之一： 解；1、校核AB轴的强度（AB轴的弯曲是由于CD杆惯性力 引起的，因为CD杆的向心加速度引起了惯性力） 图15-5 g lrA g G m CD CD Ra 2 I F KN28.11 2 6 . 0 40 8 . 9 6 . 0104 .76 4 08. 0 2 3 2 amFI MkN 38. 3 4 2 . 11028.11 4 3 max lF M I d MPa 3 .67 08. 0 32 1038. 3 3 3 max W M d d （1）、CD杆的质量： （2）、CD杆的加速度： （3）、CD杆引起的惯性力 ；

11、 （4）、AB轴的 （5）、AB轴的 INd FF 25. 2 4 08 . 0 1028.11 3 3 MPa A F A F INd d 2、校核CD杆的强度（受拉，危险截面在C） 解法之二： N/mxx l l xq CD CD d 32 32 1061440 )104 .7608. 0 4 ( )( 0 x0 d q mx04. 0N/m 3 106 .24 d q mx6 . 0 N/m 3 105 .368 d q KN3 .1102 . 01 .110 104 .76)04. 06 . 0(08. 0 4 )04. 06 . 0()105 .368106 .24( 2 1 323

12、3 max Nd F MPa9 .21 08. 0 4 103 .110 2 3 max max A FN d 解：沿CD杆轴线单位长度上的惯性力（如图b所示）为 当时， 当时（c截面处）， 当时， CD杆危险面C上轴力和正应力分别为 三、受冲击荷载作用时构件的应力和变形计算 v Qa 受冲击 的构件 冲击物 冲击问题的特点：冲击问题的特点： 结构（受冲击构件）受外力（冲 击物）作用的时间很短，冲击物的速 度在很短的时间内发生很大的变化， 甚至降为零，冲击物得到一个很大的 负加速度a，结构受到冲击力的作用。 采用能量法近似计算冲击时构件内的最大应力和变形。 根据能量守恒定律，即根据能量守恒定律

13、，即 UVT :冲击物接触被冲击物后，速度0，释放出的动能；T :冲击物接触被冲击物后，所减少的势能；V :被冲击构件在冲击物的速度0时所增加的变形能。U 计算冲击问题时所作的假设：计算冲击问题时所作的假设： 1、假定冲击物为刚体，不计变形能。 2、假定被冲击物为弹性体（不考虑被冲击物体的质量）， 在整个冲击过程中保持为线弹性，即力和变形成正比。 3、假定冲击后冲击物与被冲击物附着在一起运动，不考虑 被冲击物接触后的反弹。 4、不计冲击过程中的能量(声、热、塑性变形等）的损耗， 机械守恒定律仍成立。 根据假设，工程实际上的梁、杆均可简化为弹簧来 分析。现以一弹簧代表受冲构件，受重物Q,在高度H

14、处 落下的作用，计算冲击应力。 Q H A B Q H Q H 弹簧弹簧 Q H 弹簧弹簧 D 设：受重物Q自高度 H 落下，冲击弹性系统后， 速度开始下降至0，同时弹簧变形达到最 大值 。 d 此时，全部（动）势能转化为变形能， 杆内动应力达最大值（以后要回跳）。就 以此时来计算： 释放出的动能（以势能的降低来表示） )( D HQT 增加的变形能，在弹性极限内 DD PU 2 1 Q Q P st d d P Q 被冲击构件增加的变形能 U，是等于冲 击载荷 在冲击过程中所作的功。 D P D P ：冲击物速度为 ：冲击物速度为0时，作用于杆之力。时，作用于杆之力。 C DD Q P 于是

15、变形能为于是变形能为 2 2 1 2 1 D C DD Q PU 根据能量守恒：根据能量守恒： 根据力和变形之间的关系：根据力和变形之间的关系： DD kP 且且 UT 可以得到： 2 2 1 D C d Q HQ )( 即 022 2 CDCD H 解得： CCCD H2 2 式中“+”对应的是最大变形，“-”代表的是回跳到的最 高位置。所以取正值。 即 CCCD H2 2 )( C C CCCD H H 2 11 2 2 CD k 式中式中 为冲击时的为冲击时的动荷系数动荷系数， d k C D H k 2 11 其中其中 是结构中冲击受力点在静载荷（大小为冲击物重量）是结构中冲击受力点在

16、静载荷（大小为冲击物重量） 作用下的垂直位移。作用下的垂直位移。 C D C D st DD k Q P 因为因为 所以冲击应力为所以冲击应力为 stDd k 强度条件为强度条件为 )( maxmax stDd k 因此在解决动载荷作用下的内力、应力和位移计算的问题时，因此在解决动载荷作用下的内力、应力和位移计算的问题时， 均可均可在动载荷作为静荷作用在物体上所产生的静载荷，静应力，静应在动载荷作为静荷作用在物体上所产生的静载荷，静应力，静应 变和静位移计算的基础上乘以动荷系数变和静位移计算的基础上乘以动荷系数，即，即 CDD CDD stDD stDd K K PKP K 通常情况下，。1

17、D K 1、若冲击物是以一垂直速度v作用于构件上，则由 可得： gHv2 2 C D g v k 2 11 关于动荷系数关于动荷系数 的讨论的讨论: d k 2、当h=0或v=0时，重物突然放在构件上，此时 。2 D k 3、当 时，可近似取 ，误差5%。10 2 C H C D H k 2 1 当 时，可近似取 ，误差10%。 C D H k 2 110 2 C H D k 4、 不仅与冲击物的动能有关，与载荷、构件截面尺寸有关， 更与 有关。这也是与静应力的根本不同点。构件越易变 形，刚度越小，即“柔能克刚”。 C 实例实例1 1 等截面直杆的冲击拉伸应力等截面直杆的冲击拉伸应力 L H

18、Q 已知：等截面直杆长度为已知：等截面直杆长度为L L，截面积为，截面积为A A， 杆件材料的杨氏模量为杆件材料的杨氏模量为E E，重物，重物Q Q从高从高H H处处 自由落下。自由落下。 解解：静应力和静伸长分别为静应力和静伸长分别为 A Q st EA QL st ， 动荷系数为动荷系数为 AL EAHH k st d 2 11 2 11 冲击应力为冲击应力为 AL HQE A Q A Q k stdd 2 )( 2 实例实例2 2 等截面简支梁的冲击弯曲应力等截面简支梁的冲击弯曲应力 已知：梁的抗弯刚度为已知：梁的抗弯刚度为EIEI，抗弯截面模量为，抗弯截面模量为W W。在梁的中点处受到

19、。在梁的中点处受到 重物重物Q Q从高从高H H处自由下落的冲击。处自由下落的冲击。 解：解：梁中点处的静挠度为梁中点处的静挠度为 EI QL st 48 3 A B Q H L/2L/2 动荷系数动荷系数 3 96 11 2 11 QL HEIH k st d 最大冲击应力为最大冲击应力为 2 2 maxmax 6 ) 4 ( 4 4 W AI AL HQE W QL W QL W QL kk dstdd A B Q H L/2L/2 k 如果在如果在B支座下加一弹簧，弹性系数支座下加一弹簧，弹性系数 为为k，此时梁中点处的静挠度将变为，此时梁中点处的静挠度将变为 k Q EI QL st

20、2/ 2 1 48 3 k Q EI QL 448 3 st 即即 增大，动荷系数增大，动荷系数 下降，使下降，使 下降，此即弹簧的缓冲下降，此即弹簧的缓冲 作用。作用。 d kmaxd 实例实例3 3 等截面圆轴受冲击扭转时的应力等截面圆轴受冲击扭转时的应力 等圆截面圆轴上有飞轮等圆截面圆轴上有飞轮D，以等角，以等角 速度速度 转动，飞轮的转动惯量为转动，飞轮的转动惯量为 。 由于某种原因在由于某种原因在B端突然刹车。求端突然刹车。求 此时轴内的冲击应力。此时轴内的冲击应力。 0 J 解解：飞轮动能的改变量：飞轮动能的改变量： 2 0 2 1 JT 轴的变形能轴的变形能 dnd MU 2 1

21、 ( 为冲击扭转力矩为冲击扭转力矩) nd M L nd M 2 0 2 2 1 2 J GI LM p nd 解得：解得： L GIJ M p nd 2 0 所以轴内冲击应力为所以轴内冲击应力为 2 0 2 2 0 max p p p p p nd d LW GIJ LW GIJ W M AL GJ 0 2 （与体积（与体积V=AL有关）有关） 由由 得：得：UT 如果飞轮转速如果飞轮转速 n=100r/m，转动惯量转动惯量 J0=0.5KN.m.s2， 轴直径轴直径 d=100mm，G= 80GPa，L= 1m，此时：此时： AL GJ d 0 max 2 1) 1 . 0( 4 1080

22、105 . 02 60 100 2 93 MPa528 所以对于转轴，要避免突然刹车。所以对于转轴，要避免突然刹车。 水平冲击时的动荷系数计算。水平冲击时的动荷系数计算。 Q Q v v L L 解：解：根据能量守恒：冲击过程中释放的根据能量守恒：冲击过程中释放的 动能等于杆件增加的变形能。动能等于杆件增加的变形能。 而而 dd PUv g Q T 2 1 2 1 2 (a)(a) EI LP d d 3 3 (b)(b) 设：一重量为设：一重量为Q的重物以水平速度的重物以水平速度 v 撞在撞在 直杆上，若直杆的直杆上，若直杆的E E、I I、 均为已知。均为已知。 试求杆内最大正应力。试求杆

23、内最大正应力。 z W 将将(b)(b)代入代入(a)(a)式：式： EI LP v g Q d 32 1 2 1 3 2 2 解得：解得： 3 2 3 gL EIQv P d EI QL g v Q 3 3 2 式中式中 EI QL st 3 3 表示水平冲击时假设以冲击物重量大小的力沿水平方向以静载表示水平冲击时假设以冲击物重量大小的力沿水平方向以静载 荷作用于冲击点时，该点沿水平方向的位移。荷作用于冲击点时，该点沿水平方向的位移。 所以所以 Qk g v QP d st d 2 即水平冲击时的动荷系数为即水平冲击时的动荷系数为 st d g v k 2 杆内最大动应力为杆内最大动应力为 z dstdd W QL kk maxmax )()( (表示水平冲击时假设以冲击物重量大小表示水平冲击时假设以冲击物重量大小 的力沿水平方向以静载荷作用于冲击点的力沿水平方向以静载荷作用于冲击点 时，该点沿水平方向的位移。时，该点沿水平方向的位移。) 例例3 3 起重机吊索下端与重物之间有一缓冲弹簧，每单位力引起的 伸长为 ，吊索横截面面积 ，弹性 模量 ，所吊重物质量为 Q=50KN 。以等速 v=1m/s下降，在L=20