固体物理学总复习要点

1、固体物理复习固体物理复习 第一章要求 （1）熟练掌握简立方、体心立方、面心晶体结 构； （2）熟练掌握原胞、基矢的概念，清楚晶面和熟练掌握原胞、基矢的概念，清楚晶面和 晶向的表示晶向的表示； （3）熟练掌握倒易点阵的概念，能够熟练地求 出倒格子矢量； （4）基本掌握六角密排结构，氯化铯、氯化钠 的结构、立方闪锌矿结构，金刚石结构； （5）了解晶体的对称性和点阵的基本类型； （6）了解晶系，空间群。 平均每个布拉维平均每个布拉维 原胞包含原胞包含4个格点个格点。 3 321 4 1a aaa 2.体心立方 kji a a kji a a kji a a 2 2 2 3 2 1 平均每个布拉维原平

2、均每个布拉维原 胞包含胞包含2个格点个格点。 3 321 2 1 aaaa 1.面心立方 ji a a ki a a kj a a 2 2 2 3 2 1 1a 3a 2a ia ja ka i a ja ka 1a 3a 2a 典型的晶体结构 倒格子 1.1. ij jiba2 )ji ( 2 ji 0 2.2.KR hl2 3.3. * 3 2 321 321 2 hhh hhh d K 3 3 2 2 1 1 bhbhbhKh( (h1 1h2 2h3 3) ) 4.4. 213 132 321 2 2 2 aa b aa b aa b 321aaa 其中其中 是正格基矢，是正格基矢，

3、是固体物理学原胞体积。是固体物理学原胞体积。 321,aaa 与与 3 3 2 2 1 1 bhbhbhKn ),( 321 为为整整数数hhh 所联系的各点的列阵即为所联系的各点的列阵即为倒格倒格。 1、2、3、4、6 度旋转对称操作。度旋转对称操作。 1、2、3、4、6度旋转反演对称操作。度旋转反演对称操作。 3. 3.中心反映：中心反映：i 4. 4.镜象反映：镜象反映：m 独立的对称操作独立的对称操作(8(8种种): ): C1 1、C2 2、C3 3、C4 4、C6 6 、 、i、m、S4 4。 。 2. 2.旋转反演对称操作：旋转反演对称操作： 1.1.旋转对称操作：旋转对称操作：

4、 晶体的对称性 6. 6.滑移反映面。滑移反映面。 由由1、2、3、4组成组成32种点群，加上种点群，加上5、6组成组成230种空间群。种空间群。 根据对称性，晶体可分为根据对称性，晶体可分为7大晶系，大晶系，14种布拉维晶格。种布拉维晶格。 5. 5.n度螺旋轴度螺旋轴; ; 1.1.三斜晶系三斜晶系: : , cba 0 90 cba 2.2.单斜晶系单斜晶系: : 3.3.三角晶系三角晶系: : 00 12090 cba 简单三斜简单三斜( (1) ) 简单单斜简单单斜( (2) ) 底心单斜底心单斜( (3) ) 三角三角( (4) ) 4.4.正交晶系正交晶系: : 0 90 cba

5、简单正交简单正交( (5) )，底心正交，底心正交( (6) ) 体心正交体心正交( (7) )，面心正交，面心正交( (8) ) 5.5.四角系四角系: : ( (正方晶系正方晶系) ) 0 90 cba 简单四角简单四角( (9) )，体心四角，体心四角( (10) ) 6.6.六角晶系六角晶系: : 00 12090 cba 六角六角( (11) ) 7.7.立方晶系立方晶系: : 0 90 cba简立方简立方( (12) )，体心立方，体心立方( (13) )， 面心立方面心立方( (14) ) 证明：倒格子矢量证明：倒格子矢量 垂直于密勒指数为垂直于密勒指数为 的晶面系的晶面系 12

6、3 123 Gh bh bh b=+ )( 321 hhh 1323 1323 , aaaa CACB hhhh =-=- 容易证明容易证明 1 2 3 1 2 3 0 0 h h h h h h GCA GCB 与晶面系与晶面系 正交正交)( 321 hhh 2 ij ij a b 123 123 Gh bh bh b=+ 第二章要求 （1）熟练掌握固体结合的类型及特点； （2）基本掌握惰性气体晶体的范德瓦尔斯 伦敦相互作用和雷纳德琼斯势； （3）基本掌握离子晶体：马德隆常数，相 互作用能，离子半径； （4）基本掌握共价晶体：共价结合的特点 ，轨道杂化，电离度和原子的负电性； （5）了解晶体

7、的弹性模量。 第二章 晶体的结合 负电性。 四种结合离子键离子键、共价键、金属键、 范德瓦尔斯键范德瓦尔斯键、（氢键） 每种结合的特点 例例1 1：计算正负离子相间排列，相邻离子间距为：计算正负离子相间排列，相邻离子间距为R的一维的一维 无限长离子链的马德隆常数。无限长离子链的马德隆常数。 选定某一正离子为参考离子，选定某一正离子为参考离子， 对于负离子取正号，正离子取负号，对于负离子取正号，正离子取负号， 马德隆常数马德隆常数2ln2 N j j a 1 , 1, 11 aRrr A , 3,3 33 aRrr C , 2,2 22 aRrr B A iA + B R CB C ) 4 1

8、3 1 2 1 1(2 432 )1ln( 432 xxx xx 2ln2 解解: 例例2：采用雷纳德：采用雷纳德-琼斯势，求体心立方和面心立方琼斯势，求体心立方和面心立方Ne的的 结合能之比结合能之比(说明说明Ne取面心立方结构比体心立方结构更稳定取面心立方结构比体心立方结构更稳定)。 已知已知(A12)f=12.13； (A6)f=14.45； (A12)b=9.11； (A6)b=12.25。 解解: 6/1 6 12 0 2 A A R 0 d d 0 R R U N A A RUU 12 2 6 00 2 )( f b bf bb U U E E 0 0 b f f b A A A

9、A )( )( )( )( 12 12 2 6 2 6 11. 945.14 13.1225.12 2 2 96. 0 Ne取面心立方结构比取体心立方结构更稳定取面心立方结构比取体心立方结构更稳定。 bbfb EE)()( 6 6 12 12 2)( R A R ANRU 例题3：两原子间互作用势为： 当两原子构成一稳定分子时，核间距为 ，解离能 为 ，求 和 。 28 ( )4u reV rr ab = -+ 0 3 A eV4 解答 当两原子构成一稳定分子即平衡时，其相互作用势能取 极小值，于是有： 由此得平衡时两原子间的距离为： （1） 0 39 00 ( )28 0 rr du r d

10、rrr ab = =-= 0 1 6 4 r 而平衡时的势能为： （2） 0 282 000 3 ( ) 4 u r rrr aba = -+= - 根据定义，解离能为物体全部离解成单个原子时所需要的能 量，其值等于 。已知离解能为 ，因此得： （3） 再将 代入（1），（3）两式， 得： )( 0 ru 2 0 3 4 4 eV r a = 0 12 0 3,11.602 10 rAeVerg 272 7.69 10erg cm 728 1.40 10erg cm eV4 例题2：雷纳德琼斯势为： 证明： 时，势能最小，且 ；当 时， ；说明 和 的物理意义。 126 ( )4 u r rr

11、 1.12rs=( ) u r rs=( )0u r 解答 当 时， 取最小值 ，由极值条件: 得： 于是有： 再代入u的表示式得: 0 rr=)(ru)( 0 ru 0 0 r r du dr 126 137 00 41260 rr 1 6 0 21.12rss= 126 0 00 ( )4 11 4 42 u r rr 当 时，则有: 由于 是两分子间的结合能，所以 即是两分子处于平 衡时的结合能。 具有长度的量纲，它的物理意义是， 是 互作用势能为0时两分子间的间距。 rs= 126 ( )40 u )( 0 ru 第三章第三章 晶格振动与晶体的热学特性晶格振动与晶体的热学特性 本章要求

12、 （1）熟练掌握一维单原子链的振动及色散关系熟练掌握一维单原子链的振动及色散关系； （2）熟练掌握格波、声子、声子振动态密度熟练掌握格波、声子、声子振动态密度、长、长 波近似等概念；波近似等概念； （3）熟练掌握固体热容的爱因斯坦模型、德拜模）熟练掌握固体热容的爱因斯坦模型、德拜模 型；型； （4）基本掌握一维双原子链的振动、声学支、光）基本掌握一维双原子链的振动、声学支、光 学支、色散关系和简正坐标；学支、色散关系和简正坐标； （5）了解非简谐效应：热膨胀、热传导；）了解非简谐效应：热膨胀、热传导； （6）了解中子的非弹性散射测声子能谱。）了解中子的非弹性散射测声子能谱。 模型模型 运动方程

13、运动方程 试探解试探解 色散关系色散关系 波矢波矢q范围范围 一维无限长原子链，一维无限长原子链，m，a， 晶格振动波矢的数晶格振动波矢的数 目目=晶体的原胞数晶体的原胞数 B-K条件条件 波矢波矢q取值取值 11 . nnnn xxxx n mx naqti n Ax e 2 sin2 aq m a q a Nnn xx n- -2nn+ +1n+ +2n- -1 a mm oa a m 2 一维双原子链振动一维双原子链振动 2n- -2 2n2n+ +1 2n+ +22n- -1 M m a aqnti n Ax 12 12 e nx M 2 . nnn xxx 21212 2 12 .

14、nx m 12222 2 nnn xxx naqti n Bx 2 2 e 2cos2)( 222 aqmMMmMm mM , )(22Nnn xx a q a2 2 o q a2 a2 O A 3nN种声子种声子 3N种声学声子种声学声子， ( (3n- -3) )N种光学声子种光学声子。 3nN个振动模式个振动模式 晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目 = =晶体的原胞数晶体的原胞数N， 格波振动频率数目格波振动频率数目= =晶体的自由度数晶体的自由度数mNn， 独立的振动模式数独立的振动模式数= =晶体的自由度数晶体的自由度数mNn。 N是晶体的原胞个数，是晶体的原胞个数，n是原胞内原子

15、个数，是原胞内原子个数，m是维数是维数。 声子声子：晶格振动的能量量子。能量为：晶格振动的能量量子。能量为, 准动量为准动量为 。q 三维晶格振动、声子 2.频率分布函数 定义：定义： n lim 0 )( n s q c q sV 3 1 3 d 2 计算：计算： 晶 体 比 热 3.晶体比热的爱因斯坦模型和德拜模型 1.固体比热的实验规律 (1)(1)在高温时，晶体的比热为在高温时，晶体的比热为3 3NkB； (2) (2)在低温时，绝缘体的比热按在低温时，绝缘体的比热按T3 3趋于零。趋于零。 (1)(1)晶体中原子的振动是相互晶体中原子的振动是相互 独立的；独立的； (2)(2)所有原

16、子都具有同一频率所有原子都具有同一频率 ； (3)(3)设晶体由设晶体由N个原子组成个原子组成, ,共共 有有3N个频率为个频率为 的振动的振动。 (1)(1)晶体视为连续介质晶体视为连续介质, ,格波视格波视 为弹性波；为弹性波； (2)(2)有一支纵波两支横波；有一支纵波两支横波； (3)(3)晶格振动频率在晶格振动频率在 之间之间 ( ( D为德拜频率为德拜频率) )。 D 0 D B 0 d 2 1 1e )(E Tk 2 1 1e 3 BT k NE 爱因斯坦模型爱因斯坦模型德拜模型德拜模型 2 3 D 9 N 2 2 EE 1e e E E T T TT f T fNkC V E

17、EB 3 T fNkC V D B 3 xx T T f T x x d 1e e 3 4 0 2 3 D D D 高温时与实验相吻合，低温高温时与实验相吻合，低温 时以比时以比T3 3更快的速度趋于零。更快的速度趋于零。 高低温时均与实验相吻合，且高低温时均与实验相吻合，且 温度越低，与实验吻合的越好。温度越低，与实验吻合的越好。 爱因斯坦模型爱因斯坦模型 德拜模型德拜模型 求：一维单原子点振动的声子谱密度 ，并作图。() 解： 一维单原子点振动的色散曲线如下图所示 q a a dqdq d 格波的态密度函数格波的态密度函数 格波的态密度函数g()，又称为模式密度数，其定义为 在附 近单位频

18、率间隔内的格波总数 由色散曲线的对称性可以看出， 区间对应两个同样大小 的波失区间 。 区间 对应 个振动模式，单位波失 区间对应有 个振动模式。则 范围内包含 d dq 2 a L a 2 L d 2 2 dqLdqL pp = 个振动模式。单位频率区间包含的模式数目定义为模式密 度，根据这一定义可得模式密度为 L dq d 由色散关系 得： 1 2sin() 2 qa M b v= 12 1 ()cos() 2 daqa dq M b v= 代入上式可得模式密度 12 22 0 12 ()() 1 1sin() 2 LL a M a qa b r v p p vv = - - 0 m vv

19、 第四章要求 （1）熟练掌握自由电子模型和紧束缚近似的方熟练掌握自由电子模型和紧束缚近似的方 法法； （2）基本掌握布洛赫定理基本掌握布洛赫定理，周期性边界条件， 布洛赫定理的含义及应用； （3）基本掌握一、二、三维的态密度、能态密基本掌握一、二、三维的态密度、能态密 度，费米面的计算度，费米面的计算； （4）了解一维周期场中电子运动的近自由电子了解一维周期场中电子运动的近自由电子 近似方法、能隙的计算近似方法、能隙的计算； （5）了解束缚近似原子轨道线性组合法的 近似方法、能带的计算。 且 是常数用近自由电子近似求势能的平均值，并求第一第二禁带的宽度4 ,abv= 222 1 () , (

20、)2 0,(1) mbxnanabxnab V x nabxnab v -+ = -+- 4.4电子在周期场中的势能 ob a 2a 势能据有周期性，因此只在一个周期内求平均即可，于是得 2 2 2 2 222 2 23 1 3 22 11 ( )( ) 4 11 42 8 1 6 a b a b b b b b VV x dxV x dx ab mWbx dx b mW b xx b mW b 禁带宽度为2 gn EV= 2 2 2 1 ( ) a inx a n a VV x edx a 而 所以第一禁带宽度为： 2 2 11 2 1 22( ) a ix a g a EVV x edx

21、a p - - = 22 22 2 22 22 3 1 2 42 1 2cos 422 8 b ix a b b b mW bx edx b mW bxx dx bb mW b 第二禁带宽度为; 2 4 22 2 1 22( ) a ix a g a EVV x edx a 2 22 2 2 22 22 2 1 2 42 1 2cos 42 b ix b g b b b mW Ebx edx b mW bxx dx bb W b 4.8平面正六角形晶格，六角形两个对边的间距是a,基矢为 12 1313 , 2222 aa ia j aa ia j=+= -+ 试画出此晶体的第一、第二、第三布里

22、渊区。 解： 12aak 、 和 构成的体积为 2 3 2 a 所以倒格子原胞的基失为 k 取单位矢量 垂直于 和 则 2 1 2 ()22 3 ak bij aa j i 1 2 2 ()22 3 ka bij aa 在直角坐标系下画出倒格子基矢 可见倒格子原胞基矢的夹角是 2 3 x y 2 a 2 a b1b2 b1+b2 -b1-b2 -b2-b1 1 2 3 4.10用紧束缚方法导出面心立方体s态电子能带： 01 ( )4(coscoscoscos 2222 coscos) 22 yy xz s xz k ak a k ak a E kEJJ k ak a =-+ + 并求能带底部的

23、有效质量。 解：对面心立方晶格，取参考点的坐标为 则12个最近邻的格点的坐标为 ()0,0,0 ,0 ,0, 0, 222222 aaaaaa 当只计及最近邻格点的相互作用时，其能带的表示为 01 ( ), 是最近邻格矢 n ikR sn n E kEJJeR 将上述12组坐标代入能带的表示式得： ()()()() 2222 01 ()()()() 2222 ()()()() 2222 01 ( ) 2 cos()cos( 22 xyxyxyxy xzxzxzxz yzyzyzyz aaaa ikkikkikkikk s aaaa ikkikkikkikk aaaa ikkikkikkikk

24、sxy E kEJJeeee eeee eeee aa EJJkk +-+- +-+- +-+- =-+ + + =-+ 01 )cos() 2 cos()cos()cos() 222 4coscoscoscoscoscos 222222 xyxz xzyzyz yy xxzz s a kkkk aaa kkkkkk k ak a k ak ak ak a EJJ -+ +-+- =-+ 能带底即 的最小值对应的k为 可得在能带低的有效质量为( ) s E k()0,0,0 0 22 * 22 1 2 2 i xx xx k m EJ a k 2 * 2 1 2 yy m J a h = 2

25、* 2 1 2 zz m J a h = 其它交叉项的倒数全部为0。 能带宽度为 (0)( )4 a EEA e a a p a - -= 0 22 * 22 2 2 xx a k m EA a e k 能带底的有效质量为 4.13某晶体中电子的等能面是椭球面 2 222 123 ( )() 2 y xz k kk E k mmm h =+ 求能量 之间的状态数EEdE-+ 解：等能面满足的方程为： 2 22 123 222 1 222 y xz k kk m Em Em E hhh += 这是个椭球面，椭球的体积为： 3 2 123 3 42 2 3 m m m Etp h = 由上式可知

26、1 2 123 3 4 2dm m m EdE p t h = EEdE 能量 之间的状态数为 1 2 123 323 22 (2 ) cc VV dzdm m m EdEt pp h = 第五章要求 （1）熟练掌握恒定电场作用下电子的运动熟练掌握恒定电场作用下电子的运动； （2）熟练掌握恒定磁场中电子的运动； （3）基本掌握有效质量有效质量存在正、负值的解释； （4）基本掌握用能带论解释金属、半导体和绝 缘体，掌握空穴的概念； （5）了解回旋共振、德哈斯-范阿尔芬效应 kk E m 2 2 11 )( 1 kEv k k )()(kvkv z y x zyzxz zyyxy zxyxx z

27、y x F F F k E kk E kk E kk E k E kk E kk E kk E k E a a a 2 222 2 2 22 22 2 2 2 1 晶体中电子的速度、加速度和有效质量 1.电子运动速度 2.电子有效质量与加速度 F m a * 1 有效质量有效质量m* *是固体物理学中的一个重要的概念。是固体物理学中的一个重要的概念。 （1 1）m*不是电子的惯性质量，而是能量周期场中电子受外不是电子的惯性质量，而是能量周期场中电子受外 力作用时，在外力与加速度的关系上相当于牛顿力学中的惯性质力作用时，在外力与加速度的关系上相当于牛顿力学中的惯性质 量量； （2 2）m*不是一个常数，而是不是一个常数，而是 的函数。一般情况下，它是的函数。一般情况下，它是 一个张