第三章 刚体力学习题解答

1、第三章 习题解答3.13 某发动机飞轮在时间间隔t内的角位移为。求t时刻的角速度和角加速度。解：3.14桑塔纳汽车时速为166km/h，车轮滚动半径为0.26m，发动机转速与驱动轮转速比为0.909, 问发动机转速为每分多少转？解：设车轮半径为R=0.26m，发动机转速为n1, 驱动轮转速为n2, 汽车速度为v=166km/h。显然，汽车前进的速度就是驱动轮边缘的线速度，所以：3.15 如题3-15图所示，质量为m的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为r1和r2，求对通过其中心轴的转动惯量。解：设圆柱体长为h ，密度为，则半径为r，厚为dr的薄圆筒的质量dm为：对其轴线的转动惯量为 3.17

2、 如题3-17图所示，一半圆形细杆，半径为 ，质量为 ，求对过细杆二端 轴的转动惯量。解：如图所示，圆形细杆对过O轴且垂直于圆形细杆所在平面的轴的转动惯量为mR2，根据垂直轴定理和问题的对称性知：圆形细杆对过轴的转动惯量为mR2，由转动惯量的可加性可求得：半圆形细杆对过细杆二端 轴的转动惯量为：3.18 在质量为M，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔，圆孔中心在半径R的中点，求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量。解：大圆盘对过圆盘中心o且与盘面垂直的轴线（以下简称o轴）的转动惯量为 .由于对称放置，两个小圆盘对o轴的转动惯量相等，设为I，圆盘质量的面密度=M/R2，根据

3、平行轴定理，设挖去两个小圆盘后，剩余部分对o轴的转动惯量为I”3.19一转动系统的转动惯量为I=8.0kgm2，转速为=41.9rad/s，两制动闸瓦对轮的压力都为392N，闸瓦与轮缘间的摩擦系数为=0.4，轮半径为r=0.4m，问从开始制动到静止需多长时间？解：由转动定理：制动过程可视为匀减速转动，3.20一轻绳绕于r=0.2m的飞轮边缘，以恒力 F=98N拉绳，如题3-20图（a）所示。已知飞轮的转动惯量 J=0.5kg.m2，轴承无摩擦。求（1）飞轮的角加速度。（2）绳子拉下5m时，飞轮的角速度和动能。（3）如把重量 P=98N的物体挂在绳端，如题3-20图（b）所示，再求上面的结果。解

4、 （1）由转动定理得：（2）由定轴转动刚体的动能定理得： =490J （3）物体受力如图所示：解方程组并代入数据得：3.21现在用阿特伍德机测滑轮转动惯量。用轻线且尽可能润滑轮轴。两端悬挂重物质量各为m1=0.46kg，m2=0.5kg，滑轮半径为0.05m。自静止始，释放重物后并测得0.5s内m2下降了0.75m。滑轮转动惯量是多少？解： 隔离m2、m1及滑轮，受力及运动情况如图所示。对m2、m1分别应用牛顿第二定律：对滑轮应用转动定理： （3）质点m2作匀加速直线运动，由运动学公式：，由 、可求得 ,代入（3）中，可求得 ，代入数据：3.22质量为m，半径为 的均匀圆盘在水平面上绕中心轴转

5、动，如题3-22图所示。盘与水平面的动摩擦因数为 ，圆盘的初角速度为，问到停止转动，圆盘共转了多少圈？ 解： 如图所示： 由转动定律：M= 得： 积分得： 所以从角速度为到停止转动，圆盘共转了圈。3.23如图所示，弹簧的倔强系数k=2N/m,可视为圆盘的滑轮半径r=0.05m，质量m1=80g，设弹簧和绳的质量可不计，绳不可伸长，绳与滑轮间无相对滑动，运动中阻力不计，求1kg质量的物体从静止开始（这时弹簧不伸长）落下1米时，速度的大小等于多少（g取10m/s2）解：以地球、物体、弹簧、滑轮为系统，其能量守恒物体地桌面处为重力势能的零点，弹簧的原长为弹性势能的零点， 则有： 解方程得：代入数据计

6、算得：v=1.48m/s 。即物体下落0.5m的速度为1.48m/s 3.24如题3-24图所示，均质矩形薄板绕竖直边转动，初始角速度为，转动时受到空气的阻力。阻力垂直于板面，每一小面积所受阻力的大小与其面积及速度平方的乘积成正比，比例常数为k。试计算经过多少时间，薄板角速度减为原来的一半，设薄板竖直边长为b，宽为a，薄板质量为m。解；如图所示，取图示的阴影部分为研究对象 所以经过的时间，薄板角速度减为原来的一半。3-25一个质量为M，半径为 R并以角速度旋转的飞轮（可看作匀质圆盘），在某一瞬间突破口然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出，见题3-25图。假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖

7、直向上，（1）问它能上升多高？（2）求余下部分的角速度、角动量和转动动能。解：（1）碎片以的初速度竖直向上运动。上升的高度： （2）余下部分的角速度仍为 角动量 转动动能 3.26两滑冰运动员，在相距1.5m的两平行线上相向而行。两人质量分别为mA=60kg，mB=70kg，他们的速率分别为vA=7m.s-1， vB=6m.s-1，当二者最接近时，便拉起手来，开始绕质心作圆运动，并保持二者的距离为1.5m。求该瞬时：（1）系统对通过质心的竖直轴的总角动量；（2）系统的角速度；（3）两人拉手前、后的总动能。这一过程中能量是否守恒？解：如图所示，（1） （2） ，代入数据求得：（3）以地面为参考系

8、。拉手前的总动能：，代入数据得，拉手后的总动能：包括两个部分：（1）系统相对于质心的动能（2）系统随质心平动的动能 动能不变，总能量守恒（因为两人之间的距离不变，所以两人之间的拉力不做功，故总动能守恒，但这个拉力的冲量不为0，所以总动量不守恒）。3.27一均匀细棒长为 l，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点 O发生完全非弹性碰撞，碰撞点位于离棒中心一方l/4处，如题3-27图所示，求棒在碰撞后的瞬时绕过O点垂直于杆所在平面的轴转动的角速度。解：如图所示：碰撞前后系统对点O的角动量守恒。 碰撞前后： 碰撞前后： 由可求得：3.28如题3-28图所示

9、，一质量为m 的小球由一绳索系着，以角速度0 在无摩擦的水平面上，作半径为r0 的圆周运动.如果在绳的另一端作用一竖直向下的拉力，使小球作半径为r0/2 的圆周运动.试求：（1） 小球新的角速度；（2） 拉力所作的功.解：如图所示，小球对桌面上的小孔的角动量守恒（1）初态始角动量 ；终态始角动量 由求得：（2）拉力作功：3.29质量为0.50 kg，长为0.40 m 的均匀细棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴转动.如将此棒放在水平位置，然后任其落下，如题3-29图所示，求：（1） 当棒转过60时的角加速度和角速度；（2） 下落到竖直位置时的动能；（3） 下落到竖直位置时的角速度.解：设杆长为l，质

10、量为m (1) 由同转动定理有：代入数据可求得：由刚体定轴转动的动能定理得：，代入数据得：（也可以用转动定理求得角加速度再积分求得角速度）（2）由刚体定轴转动的动能定理得： （3）3-30如题3-30图所示，A 与B 两飞轮的轴杆由摩擦啮合器连接，A 轮的转动惯量J1 10.0 kg m2 ，开始时B 轮静止，A 轮以n1 600 r min-1 的转速转动，然后使A 与B 连接，因而B 轮得到加速而A 轮减速，直到两轮的转速都等于n 200 r min-1 为止.求：（1） B 轮的转动惯量；（2） 在啮合过程中损失的机械能.题3-30图解：研究对象：A、B系统在衔接过程中，对轴无外力矩作用，故有即： 代入数据可求得： （2） 代入数据可求得：，负号表示动能损失（减少）。题3-31图3.31质量为m长为l的匀质杆，