小波理论在图像去噪中的应用 课程报告

1、 小波理论与应用课程报告 题 目 小波理论在图像去噪中的应用2013年1月16日摘 要小波分析理论是一种新兴的信号处理理论，它在时间上和频率上都有很好的局部性，这使得小波分析非常适合于时-频分析，借助时-频局部分析特性，小波分析理论可以成为信号去噪中的一种重要工具。本文首先介绍了小波变换的发展状况以及其基本理论知识，包括连续小波变换和离散小波变换；接着对基于小波变换的图像去噪进行了概述，同时针对小波去噪的理论和方法着重进行了介绍，包括小波去噪的原理、方法、基本去噪模型和阈值去噪处理等方面的内容。最后，分别对两种小波阈值去噪进行了相应的说明，包括硬阀值去噪、软阀值去噪，表明了小波变换进行去噪的优

2、越性，具有很强的研究意义。关键词：小波分析 小波变换 阈值去噪 图像去噪 1引言1.1 研究的背景和意义21世纪，人类已经进入了信息化时代，计算机在处理各种信息中发挥着重要作用。据统计，人类从自然界获取的信息中，视觉信息占75%85%。俗话说“百闻不如一见”，有些场景或事物，不管花费多少笔墨都难以表达清楚，然而，若用一幅图像描述，可以做到一目了然。可见，在当代高度信息化的社会中，图形和图像在信息传播中所起的作用越来越大，在图像处理领域，数字图像处理得到了飞速发展。图像是信息社会人们获取信息的重要来源之一。在通过图像传感器将现实世界中的有用图像信号进行采集、量化、编码、传输、恢复的过程中，存在大

3、量影响图像质量的因素。因此图像在进行使用之前，一般都要经过严格的预处理如去噪、量化、压缩编码等。噪声的污染直接影响着对图像边缘检测、特征提取、图像分割、模式识别等处理，使人们不得不从各种角度进行探索以提高图像的质量。所以采用适当的方法尽量消除噪声是图像处理中一个非常重要的预处理步骤。然而在很多情况下，图像信息会受到各种各样的噪声影响，严重时甚至会影响到图像中的有用信息，因此，对图像的噪声进行处理就显得非常重要。1.2 研究的现状在数学上，函数逼近问题是小波去噪的本质问题，换句话说，也就是根据提出的衡量准则，如何在有小波母函数伸缩和平移所展成的函数空间中，寻找对原图像的最佳逼近，用来完成原图像和

4、噪声的区分。这个问题可以表述为： （1-1） （1-2） （1-3） （1-4） （1-5）由此可见，寻找实际图像空间到小波函数空间的最佳映射是小波去噪方法，它可以得到原图像的最佳恢复。从信号的角度看，小波去噪是一个信号滤波的问题，并且它相对传统的低通滤波器好多了。其等效框图如图1所示。图1 小波去噪的等效框图 通过对边缘进行一些处理，可以缓解低通滤波产生的边缘模糊。虽然这种方法同小波去噪相比，有点相似，但是因为小波变换的多分辨率分析特性，小波变换能够很好地保留边缘，小波变化后，在相邻尺度层间具有很强的相关性，便于特征提取和保护，因为对应图像特征(边缘等) 处的系数幅值变大。和早期的方法相比，

5、小波噪声便于系统的理论分析，因为其对边缘等特征的提取和保护是有很强的数学理论背景的。随着国内外学者的不断研究，小波去噪技术得到很快地发展和完善。在信号处理领域中，1992年，小波模极大值方法被S.Mallat和Zhong两个人提出了，具体来说，在多尺度分析中，让有用信号与噪声小波变换的模极大值呈现不同的奇异性，用计算机自动实现由粗到精的跟踪并消除各尺度下属于噪声的模极大值，接着利用属于有用信号的模极大值重构小波，模极大值方法可使信噪比提高4-7dB。因为外界的很多干扰因素，所以跟踪这种噪声是有难度的，往往需要一些经验性的判据，在实际应用中。过零点重建小波变换和模极大值重建小波变换是奇异点重建信

6、号的两种，它的缺点是结果不太精确，因为是用过零点或极大值来重建信号，只是一种逼近。近年来，小波变换的理论得到了较快的发展，而且它具备良好的时频特性，所以在实际应用中受到了人们的亲睐。其中图像的小波阈值去噪方法在众多图像去噪方法中表现得尤为突出。而且，小波变换本身是一种线形变换，而国内外的研究大多集中在如何选取一个合适的全局阈值，通过处理低于该阈值的小波系数同时保持其余小波系数值不变的方法来降噪，因而大多数方法对于类似于高斯噪声的效果较好，但对于混有脉冲噪声的混合噪声的情形处理效果并不理想。线形运算往往还会造成边缘模糊，小波分析技术正因其独特的时频局部化特性在图像信号和噪声信号的区分以及有效去除

7、噪声并保留有用信息等方面较之传统的去噪具有明显的优势，且在去噪的同时实现了图像一定程度的压缩和边缘特征的提取。所以小波去噪具有无可比拟的优越性。1.3 本文主要工作本文首先介绍了小波变换的发展状况以及其基本理论知识，包括连续小波变换和离散小波变换；接着对基于小波变换的图像去噪进行了概述，同时针对小波去噪的理论和方法着重进行了介绍，包括小波去噪的原理、方法、基本去噪模型和阈值去噪处理等方面的内容。通过上述一系列的说明，表明利用小波变换进行去噪的优越性。2小波变换的介绍2.1 小波变换的发展概况1992年，Donoho和Johnostne提出了小波阈值收缩方法(Wavelet Shrinkage)

8、，同时还给出了小波收缩阈值，并从渐近意义上证明了它是小波收缩最佳阈值的上限。人们通过对阈值的选择进行研究，提出了多种不同的阈值确定方法。后来，人们针对阈值函数的选取也进行了一些研究，并给出了不同的阈值；但是当这些方法用到非高斯、有色噪声场合中，效果却不甚理想，其最主要的原因是这些方法都基于独立同分布噪声的假设。对此，人们提出了具有尺度适应性的阈值选取法，用来解决正态分布有色噪声的小波去噪问题，而另外一些学者则研究了在比白噪声更严重的噪声情况下的小波去噪问题，并给出了显式的阈值公式。目前，基于阈值收缩的小波去噪方法的研究仍然非常活跃，近来仍不断有新的方法出现，而且也可以看出，人们的研究方向已经转

9、为如何最大限度地获得信号的先验信息并用这些信息来确定更合适的阈值或阈值向量，以达到更高的去噪效率。2.2 连续小波变换设，其傅里叶变换为，当满足允许条件(完全重构条件)： （2-1）时，我们称为母小波(Mother Wavelet)或者基本小波。它说明了基本小波具有较好的衰减性, 在其频域内。其中，当时，有，即，同时有。通常情况下，任何在频率增加时以足够快的速度消减为零(空间局域化特征)且均值为零(即)的带通滤波器的冲激响应(传递函数)，都是一个基本小波中的一部分。将母函数经过伸缩和平移后得到： （2-2）我们把它称之为一个小波序列。其中a为伸缩因子，b为平移因子。一般情况下，基本小波是以原点

10、为中心的，因此基本小波以为中心进行伸缩就得到了。基本小波被伸缩为(时变宽，而时变窄)可构成一组基函数。在大尺度a上，当时可以搜索信号细节，当时则可以知道信号的粗糙程度。对于任意的函数的连续小波变换为： （2-3）当此小波为正交小波时，其重构公式为： （2-4）在小波变换过程中必须保持能量成比例，即 （2-5）由于基小波生成的小波在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以还应该满足一般函数的约束条件： （2-6）故是一个连续函数，这意味着，为了满足重构条件，在原点必须等于零，即 （2-7）此即说明具有波动性。为了使信号重构的实现上是稳定的，除了满足重构条件外，还要求的傅立叶变换满足如下稳定

11、性条件： （2-8）式中，。连续小波变换具有以下重要性质：（1）线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和。（2）平移不变性：若的小波变换为，则的小波变换为。（3）伸缩共变性：若的小波变化为，则的小波变换为，（4）自相似性：对应于不同尺度参数a和不同平移参数b的连续小波变换之间是自相似性的。（5）冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度redundancy，小波变换的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个方面：由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也就是说，信号的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变换与傅立叶反变换是一一对应的。小波变换的核函数

12、即小波函数存在许多可能的选择(例如，它们可能是非正交小波，正交小波，双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的)。小波并不是只有一种，也不是随意选择的，其选择是有条件的。它的选择应满足定义域是紧支撑的(Compact Support)，同时还要满足平均值为零。用内积可以表示连续小波变换式，当尺度a增加时，表明是用伸展了的波形来观察整个；反之，当尺度a减小时，就是用压缩的波形来衡量局部。小波变换就能达到这个目的，它既是望远镜，又是显微镜，是一架变焦镜头。2.3 离散小波变换 2.3.1 离散小波的定义离散小波变换(Discrete Wavelet Transform) 在实际应用中，对计算机处理方面更

13、加适用。离散小波的定义表示为()： （2-9）则相应的小波变换可由下式定义： （2-10）2.3.2 尺度函数小波变换的必经之路是由尺度函数构造小波。尺度函数的构造必须满足以下条件：（1）尺度函数对所有的小波是正交的。 （2），它是一个平均函数。与小波函数相比较，其傅里叶变换具有带通特性以及低通特性。（3）尺度函数和小波密切相连，这就是构造小波正交基的途径。（4），意思是说尺度函数是范数为1的规范化函数。（5）尺度函数对于伸缩收缩来说不是正交的，对于平移是正交的。（6）有些尺度上的尺度函数可以通过线性组合得到。2.3.3 紧支集概念紧支集是小波变换中经常用到的数学概念，它是衡量小波性能的重要指

14、标。函数的支集或支撑区supp是指其最大开集的补集。函数的支集就是函数定义域的闭子集，也就是说这样一个最小的闭子集或区间，使得在之外函数为零。如果说函数是紧支集就是指的支撑区supp是紧支集，即supp，是有界闭区间。一个序列是紧支撑的，就是说有有限多的元素在域中为零，称它为有限支撑。与紧支集概念相联系的是函数的平滑性和速降性。2.3.4 正交小波变换正交小波是从多尺度分析概念直接推广过来的，具有一定的特殊性，即在信号域和小波函数域其标准化正交基都是小波函数本身，而且其存在性也并未加以证明，那么更一般来讲，对于满足一定条件的标准化正交基，任何信号在这个正交基上展开的系数也也可以线性的叠加成原信

15、号。正交小波是双正交小波的一个特例，双正交小波是正交小波去除某些程度正交上的推广。一维小波变换里说的都是正交小波变换，它是对连续信号在小波基上进行分解。与普通的滤波器的区别在于：基于小波的滤波器是可重构的，所以通过相同的滤波器可以把信号重构。小波变换由于具有变焦特性，因此能将各种频率交织在一起的信号分解成为各个不同频率段的信息，特别对于局部化的空间并有显著的高频成分的尖锐边缘的信号，小波变换可以有更紧凑的表示，因此被广泛地应用于数字图像去噪当中。3数字图像小波去噪的实现方法3.1小波去噪概述小波阈值去噪的基本思路是：（1）先对含噪信号做小波变换，得到一组小波系数； （2）通过对进行阈值处理，得

16、到估计系数，使得与两者的差值尽可能小；（3）利用进行小波重构，得到估计信号即为去噪后的信号。3.2 小波去噪原理3.2.1 去噪原则信号去噪的原则主要有两点，一是要求去噪后的信号和原信号的方差估计应该是最坏情况下的方差最小(Minmax Estimator)；二是在大部分情况下，去噪后的信号应该至少和原信号具有同等的光滑性。一般用正则性来刻划函数的光滑程度。正则性越高，函数的光滑性越好。此外，因为图像信号都是二维的，在对数字图像去噪处理时要对小波进行二维离散小波变换。二维离散小波变换往往可以由一维信号的离散小波变换推导得到，两个一维小波变换可以构成二维双正交小波变换。即首先进行方向变换，然后进

17、行方向变换，便可以完成二维正交变换；而逆变换反之就可实现。假设为一维尺度函数，为相应的小波函数，则可以得到二维小波变换的基础函数： （3-1）其中，、分别是沿着和两个方向上的一维小波函数。A是近似系数，H是水平细节系数，V是竖直细节系数，D是对数细节系数。对于图像而言，我们往往可以把它看成二维矩阵，一般我们假设图像矩阵的大小为，且有 (n为非负整数)。任何平方可积的二维函数都能够分解成为最低分辨率尺度上的平滑函数和更高尺度上的细节函数。具体的说，在经过每次小波变换后，图像便可分为四个大小为原始尺寸的四分之一的子块频带区域，它们分别是：低低(LL)、低高(LH)、高低(HL)和高高(HH)。如图

18、2所示，它分别包含了相应频带上的小波系数，相当于在水平方向和竖直方向上进行隔点采样，进行下一层小波变换时，数据就集中在LL频带。这里的LL称为近似分量，HH、LH和HL称为细节分量。小波变换通过对变换后的系数进行分析和适当的取舍再重构图像，为图像去噪提供了较好的图像表示形式，终究完成了图像的去噪处理。LL1HL1LH1HH1图2 一次离散小波变换后的频率分布 3.2.2 基本去噪模型如果一个信号被噪声污染后为，那么基本的噪声模型为： （3-2）其中为噪声，为噪声强度。在最简单的情况下可以假设为高斯白噪声，且=1。小波变换的目的就是要抑制以恢复，即尽量将去掉，并且尽量减少的损失。与在经典去噪技术

19、相比，小波分析在这方面有其优越性。尤其是的分解系数比较稀松（即非零项很少）的情况下，这种方法的效率很高。3.3阈值函数的选择 由于小波变换的小波基都是紧支集，因此小波变换具有一种“集中”的能力，可以使信号的能量在小波变换域集中于少数系数上，那么相对来说，对这些系数的取值必然大于在小波系数域内能量分散于大量小波系数的噪声的小波系数值，这个意味着对小波系数进行阀值处理可以在小波变换域中去除低于固定幅度的噪声。设是原始小波系数，表示阈值化后的小波系数，T是阈值， （3-3）代表示性函数，常用的阈值函数有： (1)硬阈值函数(见图3) （3-4） (2)软阈值函数(见图3) （3-5） 软阈值函数 硬

20、阈值函数在图3中，横坐标表示信号或图像的原始小波系数，纵坐标表示阈值化后的小波系数。在阈值去噪中，阈值函数体现了对超过和低于阈值的小波系数模的不同处理策略以及不同估计方法。图3 硬阈值函数与软阈值函数其中硬阀值的处理步骤如下：1）先把信号做小波变换，得到小波系数；2）计算出阀值，把小波系数的绝对值与阀值进行比较，小于或等于阀值的点设为零，大于阀值的点保持不变；3）再把处理过的小波系数进行小波变换来重构图像。软阀值的处理步骤如下：1）含噪图像进行小波分解，选择合适的小波，确定小波的分解层次，并对图像进行二进离散小波分解。2）对图像分解后的各级系数进行适当处理：对第1到第M层的小波系数，选择一个软

21、阈值，对每一级的小波系数进行阈值量化处理。3）图像的重构：对量化处理后的各级小波系数进行图像的小波重构。通过前面介绍的理论，利用MATLAB对两种阀值去噪编写程序，对某一图像进行分析，结果图如下：图4 原图像图5 带噪声图像图6 软阀值图像图7 硬阀值图像可见，利用MATLAB对阀值去噪进行程序编写，能够较好的实现图像去噪这一工作，相信通过小波这一数学工具，会使图像去噪这一领域得到更好的发展。4总结本文简述了小波变换的发展历史和小波变换的基本理论知识，对以小波为工具在数字图像处理方面进行了有益的探索。然后，针对小波去噪的理论和方法着重进行了介绍，包括小波去噪的原理、方法和阈值去噪处理等方面的内容。最后，对小波阈值去噪进行了介绍，包括硬阀值去噪、软阀值去噪，通过利用小波这一数学工具，相信能做到比传统算法更好的去噪效果。 致 谢在这里，首先要感谢冉启文老师这段时间辛勤的讲解，不论天气多么寒冷，每次上课，冉老师总是按时到达教室，为大家进行一个上午的教学，听冉老师的课与听以往老师的教学有很大不同，冉老师并不是一味的照本宣科，老师在讲课之前做好了充分准备，上课期间完全脱稿，用他多年以来的经验为我们讲课，浅显易懂，内容变得不是那么晦涩。冉老师在课堂上细致的讲解和丰富的板书内容帮助我对小波这一理论有了认识，并且有了较为深入的理解。其次感谢身边